المجموعة الجبرية الخطية

في الرياضيات ، الزمرة الجبرية الخطية هي زمرة جزئية من زمرة العناصر القابلة للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات (في عملية ضرب المصفوفات ) التي تُعرَّف بواسطة معادلات متعددة الحدود . ومن الأمثلة على ذلك المجموعة المتعامدة ، التي تُعرَّف بالعلاقة التالية:${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$أين${\displaystyle M^{T}}$هو منقول​${\displaystyle M}$.

يمكن اعتبار العديد من زمر لي زمرًا جبرية خطية على حقل الأعداد الحقيقية أو المركبة . (على سبيل المثال، يمكن اعتبار كل زمرة لي متراصة زمرة جبرية خطية على R (وهي بالضرورة غير متناحية بالنسبة لـ R ومختزلة)، كما هو الحال مع العديد من الزمر غير المتراصة مثل زمرة لي البسيطة SL( n , R ) ). صنف ويلهلم كيلينغ وإيلي كارتان زمر لي البسيطة في ثمانينيات وتسعينيات القرن التاسع عشر. في ذلك الوقت، لم يُستغل بشكل خاص حقيقة أن بنية الزمرة يمكن تعريفها بواسطة كثيرات الحدود، أي أنها زمر جبرية. من مؤسسي نظرية الزمر الجبرية ماورر وشيفالي وكولشين ( 1948 ) . في خمسينيات القرن العشرين، وضع أرماند بوريل أسسًا لنظرية الزمر الجبرية كما نعرفها اليوم. 

كان أحد الاستخدامات الأولى لهذه النظرية هو تعريف مجموعات شيڤالي .

بالنسبة لعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$، المجموعة الخطية العامة${\displaystyle GL(n)}$فوق حقل${\displaystyle k}$، تتكون من جميع العناصر القابلة للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، هي مجموعة جبرية خطية على${\displaystyle k}$يحتوي على المجموعات الفرعية

${\displaystyle U\subset B\subset GL(n)}$

تتكون من مصفوفات من الشكل، على التوالي،

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)}$و${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)}$.

المجموعة${\displaystyle U}$يُعد مثالاً على مجموعة جبرية خطية أحادية القوة ، وهي المجموعة${\displaystyle B}$يُعد مثالاً على مجموعة جبرية قابلة للحل تُسمى مجموعة بوريل الفرعية من${\displaystyle GL(n)}$من نتائج نظرية لي-كولشين أن أي مجموعة فرعية متصلة قابلة للحل من${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$يتم تصريفه إلى${\displaystyle B}$يمكن اقتران أي مجموعة فرعية أحادية القوة في${\displaystyle U}$.

مجموعة فرعية جبرية أخرى من${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$هي المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SL} (ن)}$من المصفوفات ذات المحدد 1.

المجموعة${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$تُسمى المجموعة الضربية ، ويُرمز لها عادةً بـ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$مجموعة${\displaystyle k}$-نقاط${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }(ك)}$هي المجموعة الضربية${\displaystyle k^{*}}$من العناصر غير الصفرية للحقل${\displaystyle k}$المجموعة المضافة${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$، لمن${\displaystyle k}$النقاط متماثلة مع المجموعة الجمعية لـ${\displaystyle k}$ويمكن التعبير عنها أيضًا كمجموعة مصفوفية، على سبيل المثال كمجموعة فرعية${\displaystyle U}$في${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

يتصرف هذان المثالان الأساسيان للمجموعات الجبرية الخطية التبادلية، وهما المجموعة الضربية والمجموعة الجمعية، بشكل مختلف تمامًا من حيث تمثيلاتهما الخطية (كمجموعات جبرية). كل تمثيل للمجموعة الضربية${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$هو مجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال . (جميع تمثيلاته غير القابلة للاختزال لها بُعد 1، على الشكل التالي:${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle n}$.) على النقيض من ذلك، فإن التمثيل الوحيد غير القابل للاختزال للمجموعة الجمعية${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$هو التمثيل التافه. لذا فإن كل تمثيل لـ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$(مثل التمثيل ثنائي الأبعاد المذكور أعلاه) هو امتداد متكرر للتمثيلات البسيطة، وليس مجموعًا مباشرًا (إلا إذا كان التمثيل بسيطًا). تحلل نظرية بنية الزمر الجبرية الخطية أي زمرة جبرية خطية بدلالة هاتين الزمرتين الأساسيتين وتعميماتهما، وهما الزمر الحلقية والزمر أحادية القوة، كما هو موضح أدناه.

بالنسبة لحقل مغلق جبريًا k ، فإن جزءًا كبيرًا من بنية التنوع الجبري X على k مُشفّر في مجموعته X ( k ) من النقاط k- العقلانية ، مما يسمح بتعريف أولي لمجموعة جبرية خطية. أولًا، تُعرَّف الدالة من المجموعة المجردة GL ( n , k ) إلى k بأنها منتظمة إذا أمكن كتابتها كمتعددة حدود في عناصر مصفوفة A من الرتبة n × n وفي 1/det( A )، حيث det هو المحدد . عندئذٍ، تكون المجموعة الجبرية الخطية G على حقل مغلق جبريًا k مجموعة جزئية G ( k ) من المجموعة المجردة GL ( n , k ) لعدد طبيعي n بحيث تُعرَّف G ( k ) بانعدام مجموعة من الدوال المنتظمة.

بالنسبة لأي حقل k ، تُعرَّف المتنوعات الجبرية على k كحالة خاصة من المخططات على k . وبناءً على ذلك، فإن الزمرة الجبرية الخطية G على الحقل k هي مخطط زمرة فرعية مغلقة ملساء من GL ( n ) على k لعدد طبيعي n . وبالتحديد، تُعرَّف G بانعدام مجموعة من الدوال المنتظمة على GL ( n ) على k ، ويجب أن تتمتع هذه الدوال بالخاصية التالية: لكل جبر تبديلي من الرتبة k ، R ، فإن G ( R ) هي زمرة فرعية من الزمرة المجردة GL ( n , R ). (وبالتالي، فإن الزمرة الجبرية G على k ليست مجرد الزمرة المجردة G ( k )، بل هي عائلة الزمر G ( R ) بأكملها للجبر التبديلي من الرتبة k، R ؛ وهذه هي فلسفة وصف المخطط بواسطة دالة نقاطه ).

في كلتا اللغتين، يوجد مفهوم التشاكل بين الزمر الجبرية الخطية. على سبيل المثال، عندما تكون k مغلقة جبريًا، فإن التشاكل من G ⊂ GL ( m ) إلى H ⊂ GL ( n ) هو تشاكل بين الزمر المجردة G ( k ) → H ( k ) المعرّفة بدوال منتظمة على G. هذا يجعل الزمر الجبرية الخطية فوق k فئة . وعلى وجه الخصوص، يحدد هذا معنى أن تكون زمرتان جبريتان خطيتان متماثلتين .

في لغة المخططات، فإن المجموعة الجبرية الخطية G على حقل k هي على وجه الخصوص مخطط مجموعة على k ، أي مخطط على k بالإضافة إلى نقطة k- 1 ∈ G ( k ) وتشاكلات.

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}$

على k التي تحقق البديهيات المعتادة لعمليات الضرب والتحويلات العكسية في الزمرة (التجميعية، والعنصر المحايد، والمعكوسات). الزمرة الجبرية الخطية ملساء ومنتهية النوع على k ، وهي أفينية (كمخطط). على العكس، لكل مخطط زمرة أفيني G منتهٍ النوع على حقل k تمثيل أمين في GL ( n ) على k لبعض n . ^{[ 1 ]} مثال على ذلك هو تضمين الزمرة الجمعية _Ga في GL ( 2)، كما ذُكر أعلاه. نتيجة لذلك، يمكن اعتبار الزمر الجبرية الخطية إما زمر مصفوفية أو، بشكل أكثر تجريدًا، مخططات زمر أفينية ملساء على حقل. (يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "الزمرة الجبرية الخطية" للدلالة على أي مخطط زمرة أفيني منتهٍ النوع على حقل).

لفهمٍ كاملٍ للمجموعات الجبرية الخطية، لا بد من النظر في مخططات المجموعات الأكثر عمومية (غير الملساء). على سبيل المثال، ليكن k حقلاً مغلقاً جبرياً من الخاصية p > 0. عندئذٍ، يُولِّد التشاكل f : G _m → G _m المعرّف بـ x ↦ x ^p تشاكلاً بين المجموعات المجردة k * → k *، لكن f ليس تشاكلاً بين المجموعات الجبرية (لأن x ^{1/ p} ليست دالة منتظمة). في لغة مخططات المجموعات، ثمة سببٌ أوضح لعدم كون f تشاكلاً: f شاملة، لكن لها نواة غير تافهة ، وهي مخطط المجموعة μ _p للجذور p للوحدة. لا تظهر هذه المسألة في الخاصية الصفرية. في الواقع، كل مخطط مجموعة من النوع المنتهي على حقل k من الخاصية الصفرية يكون أملساً على k . ^{[ 2 ]} يكون مخطط المجموعة من النوع المنتهي على أي حقل k أملساً على k إذا وفقط إذا كان مختزلاً هندسياً ، أي أن تغيير الأساس${\displaystyle G_{\overline {k}}}$يتم تقليله ، حيث${\displaystyle {\overline {ك}}}$^{[ 3 ]} هو إغلاق جبري لـ k .

بما أن المخطط الأفيني X يُحدد بواسطة حلقة الدوال المنتظمة O ( X )، فإن مخطط الزمرة الأفينية G على الحقل k يُحدد بواسطة الحلقة O ( G ) ببنيتها الجبرية هوبف (الناتجة عن عمليات الضرب والتحويلات العكسية على G ). وهذا يُعطي تكافؤًا بين فئات مخططات الزمر الأفينية على k وجبر هوبف التبادلي على k (عكس الأسهم) . على سبيل المثال، جبر هوبف المُقابل للزمرة الضربية G _{_m} = GL (1) هو حلقة كثيرات حدود لوران k [ x , x ^-1 ]، مع عملية الضرب المُشترك المُعطاة بواسطة

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمكن تعريف فضاء المشتقات الثابتة يسارًا لمجموعة جبرية G بعدة طرق متكافئة: إما كفضاء مماس T₁ ( G ) عند العنصر المحايد 1 ∈ _G ( k ) ، أو كفضاء المشتقات الثابتة يسارًا . إذا كانت k مجموعة جبرية مغلقة، فإن المشتق D : O ( G ) → O ( G ) على k لحلقة الإحداثيات لـ G يكون ثابتًا يسارًا إذا

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

لكل x في G ( k )، حيث λx _: O ( G ) → O ( G ) ناتج عن الضرب من اليسار في x . بالنسبة لأي حقل k ، يُعرَّف الثبات من اليسار للاشتقاق على أنه مساواة مماثلة لخريطتين خطيتين _O ( G ) _→ O ( G ) ⊗ O ( G ) . [ ^{6 ] يُعرَّف} قوس لي لاشتقاقين _{بالعلاقة [} D1 _, D2 ] ₌ D1D2 − D2D1 .

الانتقال من G إلى${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وبالتالي ، فهي عملية تفاضل . بالنسبة لعنصر x ∈ G ( k )، فإن المشتقة عند 1 ∈ G ( k ) لخريطة الاقتران G → G ، g ↦ xgx ⁻¹ ، هي تشاكل ذاتي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، مما يعطي التمثيل المرافق :

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

على حقل ذي خاصية صفرية، يتم تحديد مجموعة فرعية متصلة H من مجموعة جبرية خطية G بشكل فريد بواسطة جبر لي الخاص بها${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$^{[ 7 ]} ولكن ليس كل جبر لي جزئي من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتوافق ذلك مع زمرة جزئية جبرية من G ، كما يتضح من مثال الطارة G = ( Gm ₎ ^² فوق C. في الخاصية الموجبة، يمكن أن توجد العديد من الزمر الجزئية المتصلة المختلفة لزمرة G لها نفس جبر لي (مرة أخرى، الطارة G = ( Gm ₎ ^² تقدم أمثلة). لهذه الأسباب، على الرغم من أهمية جبر لي للزمرة الجبرية، فإن نظرية بنية الزمر الجبرية تتطلب أدوات أكثر شمولية.

بالنسبة لحقل مغلق جبريًا k ، تُسمى المصفوفة g في GL ( n , k ) شبه بسيطة إذا كانت قابلة للتقطير ، وأحادية القوة إذا كانت المصفوفة g⁻¹ معدومة القوة . وبصورة مكافئة، تكون g أحادية القوة _إذا كانت جميع قيمها الذاتية تساوي 1. ويشير الشكل القانوني لجوردان للمصفوفات إلى أنه يمكن _كتابة كل عنصر g من GL ( n , k ₎ بشكل فريد كحاصل _ضرب g = g⁻¹ _{∑ ...}

لأي حقل k ، يُقال إن العنصر g من GL ( n , k ) شبه بسيط إذا أصبح قابلاً للتقطير على الإغلاق الجبري لـ k . إذا كان الحقل k كاملاً، فإن الأجزاء شبه البسيطة والأحادية القوة من g تقع أيضًا في GL ( n , k ). أخيرًا، لأي زمرة جبرية خطية G ⊂ GL ( n ) على حقل k ، تُعرَّف النقطة k من G بأنها شبه بسيطة أو أحادية القوة إذا كانت شبه بسيطة أو أحادية القوة في GL ( n , k ). (هذه الخصائص مستقلة في الواقع عن اختيار التمثيل الأمين لـ G ). إذا كان الحقل k كاملاً، فإن الأجزاء شبه البسيطة والأحادية القوة من النقطة k من G تقع تلقائيًا في G. أي ( تحليل جوردان ): يمكن كتابة كل عنصر g من G ( k ) بشكل فريد كحاصل ضرب g = g _ss g _u في G ( k ) بحيث يكون g _ss شبه بسيط، و g _u أحادي القوة، ويتبادل g _ss و g _u مع بعضهما البعض. ^{[ 8 ]} هذا يختزل مشكلة وصف فئات الترافق في G ( k ) إلى حالتي شبه البسيط وأحادي القوة.

تعني الطارة فوق حقل مغلق جبريًا k زمرة متماثلة مع ( G _{_m} ) ^ⁿ ، وهي حاصل ضرب n نسخة من الزمرة الضربية فوق k ، حيث n عدد طبيعي . بالنسبة لزمرة جبرية خطية G ، فإن الطارة القصوى في G تعني طارة في G غير محتواة في أي طارة أكبر. على سبيل المثال، زمرة المصفوفات القطرية في GL ( n ) فوق k هي طارة قصوى في GL ( n )، متماثلة مع ( G_{_m} )ⁿ. من النتائج الأساسية لهذه النظرية أن أي طارتين قصويتين في زمرة G فوق حقل مغلق جبريًا k مترافقتان بواسطة عنصر ^ما من G ( k ) . [ 9 ] رتبة G ^{تعني بُعد أي} طارة قصوى .

بالنسبة لأي حقل k ، فإن الطارة T فوق k تعني مجموعة جبرية خطية فوق k يكون تغيير قاعدتها${\displaystyle T_{\overline {k}}}$إن الإغلاق الجبري لـ k متماثل مع ( G _m ) ⁿ على${\displaystyle {\overline {k}}}$، لعدد طبيعي ما n . الطارة المنقسمة فوق k تعني زمرة متماثلة مع ( G _m ) ⁿ فوق k لبعض n . مثال على طارة غير منقسمة فوق الأعداد الحقيقية R هو

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

مع بنية المجموعة المعطاة بصيغة ضرب الأعداد المركبة x + iy . هنا، T عبارة عن طارة ذات بُعد 1 على R. وهي غير منقسمة، لأن مجموعة نقاطها الحقيقية T ( R ) هي مجموعة الدائرة ، وهي ليست متماثلة حتى كمجموعة مجردة مع Gm ( R ) = _R * .

كل نقطة على سطح حلقي فوق حقل k هي شبه بسيطة. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت G زمرة جبرية خطية متصلة بحيث يكون كل عنصر من${\displaystyle G({\overline {k}})}$إذا كان G شبه بسيط، فإن G عبارة عن حلقة. ^{[ 10 ]}

بالنسبة لمجموعة جبرية خطية G على حقل عام k ، لا يُتوقع أن تكون جميع الطورات القصوى في _G على k مترافقة بعناصر G ( k ). على سبيل المثال، تظهر كل من المجموعة الضربية Gm ومجموعة الدائرة T المذكورة أعلاه كطورات قصوى في SL (2) على R. مع ذلك، من الصحيح دائمًا أن أي طورين منقسمين أقصى في G على k (أي طورين منقسمين في G غير موجودين في طورة منقسمة أكبر ) يكونان مترافقين بعنصر ما من G ( k ). ^{[ 11 ]} ونتيجة لذلك، من المنطقي تعريف الرتبة k أو الرتبة المنقسمة لمجموعة G على k على أنها بُعد أي طورة منقسمة قصوى في G على k .

أظهر غروتينديك أنه بالنسبة لأي طارة قصوى T في مجموعة جبرية خطية G على حقل k ،${\displaystyle T_{\overline {k}}}$هو شكل حلقي أقصى في${\displaystyle G_{\overline {k}}}$[ ^{12 ]} يترتب على ذلك أن أي اثنين من التورات القصوى في ^G على حقل k لهما نفس البعد، على الرغم من أنهما ليسا بالضرورة متماثلين.

ليكن U _{_n} مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية في GL ( n ) ذات العناصر القطرية التي تساوي 1، على حقل k . يُطلق على مخطط المجموعة على حقل k (على سبيل المثال، مجموعة جبرية خطية) اسم "أحادي القوة" إذا كان متماثلًا مع مخطط مجموعة فرعية مغلقة من U _{_n} لبعض n . من السهل التحقق من أن المجموعة U_{_n} معدومة القوة. ونتيجة لذلك، فإن كل مخطط مجموعة أحادي القوة هو معدوم القوة.

تكون المجموعة الجبرية الخطية G على الحقل k أحادية القوة إذا وفقط إذا كان كل عنصر من عناصرها${\displaystyle G({\overline {k}})}$هو أحادي القدرة. ^{[ 13 ]}

المجموعة B _n من المصفوفات المثلثية العلوية في GL ( n ) هي ناتج شبه مباشر

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

حيث T _n هو الطارة القطرية ( G _m ) ⁿ . وبشكل أعم، فإن كل زمرة جبرية خطية متصلة وقابلة للحل هي ناتج شبه مباشر لطارة مع زمرة أحادية القوة ^، T ⋉ U. ^{[ 14} ]

تحتوي المجموعة أحادية القوة المتصلة السلسة على حقل مثالي k (على سبيل المثال، حقل مغلق جبريًا) على سلسلة تركيب مع جميع مجموعات القسمة المتماثلة مع المجموعة الجمعية G _a . ^{[ 15 ]}

تُعدّ زمر بوريل الجزئية مهمة لنظرية بنية الزمر الجبرية الخطية. بالنسبة لزمرة جبرية خطية G على حقل مغلق جبريًا k ، فإن زمرة بوريل الجزئية من G تعني زمرة جزئية ملساء متصلة قابلة للحل قصوى. على سبيل المثال، إحدى زمر بوريل الجزئية من GL ( n ) هي الزمرة الجزئية B من المصفوفات المثلثية العلوية (جميع العناصر أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا).

تتمثل إحدى النتائج الأساسية لهذه النظرية في أن أي مجموعتين جزئيتين من مجموعات بوريل لمجموعة متصلة G على حقل مغلق جبريًا k تكونان مترافقتين بواسطة عنصر ما من G ( k ). ^{[ 16 ]} (يستخدم برهان قياسي نظرية النقطة الثابتة لبوريل : بالنسبة لمجموعة متصلة قابلة للحل G تؤثر على صنف مناسب X على حقل مغلق جبريًا k ، توجد نقطة k في X ثابتة بفعل G ). ويُختزل ترافق مجموعات بوريل الجزئية في GL ( n ) إلى نظرية لي-كولشين : كل مجموعة جزئية ملساء متصلة قابلة للحل من GL ( n ) تكون مترافقة مع مجموعة جزئية من المجموعة الجزئية المثلثية العليا في GL ( n ).

بالنسبة لأي حقل k ، تُعرَّف مجموعة بوريل الفرعية B من G بأنها مجموعة فرعية فوق k بحيث، فوق إغلاق جبري${\displaystyle {\overline {k}}}$من k ،${\displaystyle B_{\overline {k}}}$هي مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle G_{\overline {k}}}$وبالتالي، قد يكون لـ G زمرة فرعية بوريل على k أو قد لا يكون لها .

بالنسبة لمخطط زمرة جزئية مغلقة H من G ، فإن فضاء القسمة G / H هو مخطط شبه إسقاطي أملس على k . ^{[ 17 ]} تُسمى الزمرة الجزئية الملساء P من زمرة متصلة G زمرة مكافئة إذا كانت G / P إسقاطية على k (أو بصورة مكافئة، زمرة جزئية فعلية على k ). من الخصائص المهمة لزمر بوريل B أن G / B هي تنوع إسقاطي، يُسمى تنوع الرايات لـ G. أي أن زمر بوريل هي زمر مكافئة. بتعبير أدق، بالنسبة لـ k المغلقة جبريًا، فإن زمر بوريل هي بالضبط أصغر الزمر المكافئة لـ G ؛ والعكس صحيح، فكل زمرة جزئية تحتوي على زمرة بوريل هي زمرة مكافئة. ^{[ 18 ]} لذلك، يمكن سرد جميع الزمر المكافئة لـ G (حتى الاقتران بـ G ( k )) عن طريق سرد جميع الزمر الجبرية الخطية لـ G التي تحتوي على زمرة بوريل ثابتة. على سبيل المثال، المجموعات الفرعية P ⊂ GL (3) على k التي تحتوي على المجموعة الفرعية بوريل B للمصفوفات المثلثية العلوية هي B نفسها، والمجموعة الكاملة GL (3)، والمجموعات الفرعية الوسيطة

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$و${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

المتنوعات المتجانسة الإسقاطية المقابلة GL (3)/ P هي (على التوالي): مشعب العلم لجميع سلاسل الفضاءات الفرعية الخطية

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

مع V _i من البعد i ؛ نقطة ؛ الفضاء الإسقاطي P ² للخطوط ( الفضاءات الخطية أحادية البعد ) في A ³ ؛ والفضاء الإسقاطي المزدوج P ² للمستويات في A ³ .

تُسمى المجموعة الجبرية الخطية المتصلة G على حقل مغلق جبريًا شبه بسيطة إذا كانت كل زمرة جزئية طبيعية متصلة قابلة للحل من G تافهة. وبشكل أعم، تُسمى المجموعة الجبرية الخطية المتصلة G على حقل مغلق جبريًا اختزالية إذا كانت كل زمرة جزئية طبيعية أحادية القوة متصلة من G تافهة. ^{[ 19 ]} (لا يشترط بعض المؤلفين أن تكون المجموعات الاختزالية متصلة). المجموعة شبه البسيطة هي مجموعة اختزالية. تُسمى المجموعة G على أي حقل k شبه بسيطة أو اختزالية إذا${\displaystyle G_{\overline {k}}}$هي شبه بسيطة أو اختزالية. على سبيل المثال، المجموعة SL ( n ) المكونة من مصفوفات n × n ذات محدد يساوي 1 على أي حقل k هي شبه بسيطة، بينما الطارة غير التافهة اختزالية وليست شبه بسيطة. وبالمثل، فإن GL ( n ) اختزالية وليست شبه بسيطة (لأن مركزها Gm عبارة عن زمرة جزئية طبيعية غير تافهة، ملساء، متصلة، وقابلة للحل) _.

لكل زمرة لي متصلة متراصة تحويل معقد ، وهو عبارة عن زمرة جبرية اختزالية معقدة. في الواقع، يوفر هذا البناء تناظرًا أحاديًا بين زمر لي المتصلة المتراصة والزمر الاختزالية المعقدة، وصولًا إلى التشاكل. ^{[ 20 ]}

تُسمى الزمرة الجبرية الخطية G على الحقل k بسيطة (أو k- بسيطة ) إذا كانت شبه بسيطة، وغير تافهة، وكل زمرة جزئية طبيعية متصلة ملساء من G على k تكون تافهة أو مساوية لـ G. ^{[ 21 ]} (يُطلق بعض المؤلفين على هذه الخاصية اسم "شبه بسيطة") . يختلف هذا قليلاً عن مصطلحات الزمر المجردة، حيث قد يكون للزمرة الجبرية البسيطة مركز غير تافه (مع أن المركز يجب أن يكون محدودًا). ​​على سبيل المثال، لأي عدد صحيح n أكبر من أو يساوي 2، وأي حقل k ، فإن الزمرة SL ( n ) على k بسيطة، ومركزها هو مخطط الزمرة μn _للجذور النونية للوحدة .

كل مجموعة جبرية خطية متصلة G على حقل مثالي k هي (بطريقة فريدة) امتداد لمجموعة اختزالية R بواسطة مجموعة أحادية القوة متصلة ناعمة U ، تسمى الجذر الأحادي القوة لـ G :

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}$

إذا كانت الخاصية المميزة لـ k تساوي صفرًا، فسنحصل على تحليل ليفي الأكثر دقة : كل زمرة جبرية خطية متصلة G على k هي ناتج شبه مباشر${\displaystyle R\ltimes U}$^{[ 22 ]} مجموعة اختزالية بواسطة مجموعة أحادية القدرة.

تشمل الزمر الاختزالية أهم الزمر الجبرية الخطية في التطبيق العملي، مثل الزمر الكلاسيكية : GL ( n ) و SL ( n )، والزمر المتعامدة SO ( n )، والزمر التبادلية Sp (2n ) . من جهة أخرى، يُعد تعريف الزمر الاختزالية "سلبيًا" إلى حد كبير، وليس من الواضح ما إذا كان بالإمكان استخلاص الكثير من المعلومات عنها. والجدير بالذكر أن كلود شوفالي قدّم تصنيفًا كاملًا للزمر الاختزالية على حقل مغلق جبريًا: فهي تُحدد بواسطة بيانات الجذور . ^{[ 23 ]} على وجه الخصوص، تُصنف الزمر البسيطة على حقل مغلق جبريًا k (حتى القسمة بواسطة مخططات الزمر الفرعية المركزية المنتهية) بواسطة مخططات دينكين الخاصة بها . ومن اللافت للنظر أن هذا التصنيف مستقل عن خاصية k . على سبيل المثال، يمكن تعريف _زمر لي الاستثنائية G2 و _F4 و E6 _و E7 و E8 في أي خاصية ( وحتى كمخططات زمر على Z _{) .} يقول تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية أن معظم المجموعات البسيطة المنتهية تنشأ كمجموعة من النقاط k لمجموعة جبرية بسيطة على حقل منتهٍ k ، أو كمتغيرات طفيفة من هذا البناء.

كل زمرة اختزالية على حقل ما هي ناتج قسمة حاصل ضرب طارة وبعض الزمر البسيطة على مخطط زمرة مركزية منتهية. على سبيل المثال،

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

بالنسبة لأي حقل k ، تُسمى المجموعة الاختزالية G مجموعةً منقسمة إذا احتوت على طارة عظمى منقسمة فوق k (أي طارة منقسمة في G تظل عظمى فوق إغلاق جبري لـ k ). على سبيل المثال، GL ( n ) هي مجموعة اختزالية منقسمة فوق أي حقل k . وقد بيّن شيڤالي أن تصنيف المجموعات الاختزالية المنقسمة هو نفسه فوق أي حقل. في المقابل، قد يكون تصنيف المجموعات الاختزالية العشوائية صعبًا، اعتمادًا على الحقل الأساسي. على سبيل المثال، كل شكل تربيعي غير منحل q فوق حقل k يُحدد مجموعة اختزالية SO ( q )، وكل جبر بسيط مركزي A فوق k يُحدد مجموعة اختزالية _SL1 ( A ) (من عناصر ذات معيار مُختزل يساوي 1). ونتيجةً لذلك، فإن مشكلة تصنيف المجموعات الاختزالية فوق k تتضمن أساسًا مشكلة تصنيف جميع الأشكال التربيعية فوق k أو جميع الجبر البسيط المركزي فوق k . هذه المشاكل سهلة بالنسبة لـ k المغلقة جبريًا، وهي مفهومة لبعض الحقول الأخرى مثل حقول الأعداد ، ولكن بالنسبة للحقول العشوائية هناك العديد من الأسئلة المفتوحة.

تسمح الزمر الجبرية الخطية بتنوعات في عدة اتجاهات. بإغفال وجود التطبيق العكسي${\displaystyle i\colon G\to G}$[ ²⁶ ]​^​​

• مجموعات من نوع لي هي مجموعات بسيطة منتهية مبنية من مجموعات جبرية بسيطة على حقول منتهية.
• نظرية لانغ
• مجموعة الأعلام المعممة ، تحليل بروهات ، زوج BN ، زمرة ويل ، زمرة كارتان الفرعية ، زمرة من النوع المرافق ، الاستقراء المكافئ
• الشكل الحقيقي (نظرية لي) ، مخطط ساتيك
• المجموعة الجبرية الأديلية ، حدسية ويل حول أعداد تاماغاوا
• تصنيف لانجلاندز ، برنامج لانجلاندز ، برنامج لانجلاندز الهندسي
• تورسور ، علم التماثل غير التبادلي ، المجموعة الخاصة ، الثابت التماثلي ، البعد الأساسي ، حدسية كنيسر-تيتس ، حدسية سير الثانية
• مجموعة شبه اختزالية
• نظرية غالوا التفاضلية
• التوزيع على مجموعة جبرية خطية

• أندرسن، إتش إتش ؛ جانتزن، جيه سي ؛ سورجل، دبليو (1994)، تمثيلات المجموعات الكمومية عند جذر الوحدة من الرتبة p والمجموعات شبه البسيطة في الخاصية p : استقلال p، النجمية، المجلد.  220، Société Mathématique de France ، ISSN 0303-1179 ، MR 1272539  
• بوريل، أرماند (1991) [1969]، الزمر الجبرية الخطية (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-97370-2MR 1102012​ 
• بروكر، ثيودور. توم ديك، تامو (1985)، تمثيلات مجموعات الكذب المدمجة ، سبرينغر نيتشر ، ISBN 0-387-13678-9، MR 0781344 
• كونراد ، بريان (2014)، “مخططات المجموعة الاختزالية” (PDF) ، Autour des schémas en groupes ، المجلد.  1، باريس: Société Mathématique de France ، الصفحات من 93 إلى 444، ISBN  978-2-85629-794-0MR 3309122​ 
• ديلين، بيير ؛ ميلن، جيه إس (1982)، "فئات تاناكيان" ، دورات هودج، والدوافع، ومتنوعات شيمورا ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  900، سبرينغر نيتشر ، الصفحات 101-228 ، ISBN  3-540-11174-3، MR 0654325 
• دي ميدتس، توم (2019)، الزمر الجبرية الخطية (ملاحظات الدورة) (ملف PDF) ، جامعة غنت
• همفريز، جيمس إي. (1975)، الزمر الجبرية الخطية ، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90108-6، MR 0396773 
• كولشين، إي آر (1948)، "المجموعات المصفوفية الجبرية ونظرية بيكارد-فيسيو للمعادلات التفاضلية الخطية العادية المتجانسة"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 49 (1): 1-42 ، doi : 10.2307/1969111 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1969111 ، MR 0024884   
• ميلن، جيه إس (2017)، الزمر الجبرية: نظرية مخططات الزمر من النوع المحدود على حقل ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-1107167483MR 3729270​ 
• سبرينغر، توني أ. (1998) [1981]، الزمر الجبرية الخطية (  الطبعة الثانية)، نيويورك: بيركهاوزر، ISBN 0-8176-4021-5MR 1642713​ 

• "المجموعة الجبرية الخطية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]