الجبر الشامل المغلف

في الرياضيات ، الجبر الشامل المغلف لجبر لي هو الجبر الترابطي الأحادي الذي تتطابق تمثيلاته بدقة مع تمثيلات جبر لي هذا.

تُستخدم الجبريات الشاملة في نظرية تمثيل زمر لي وجبر لي. على سبيل المثال، يمكن بناء وحدات فيرما كحاصل قسمة للجبر الشامل. ^{[ 1 ]} بالإضافة إلى ذلك، يُقدّم الجبر الشامل تعريفًا دقيقًا لمؤثرات كازيمير . ولأن مؤثرات كازيمير تتبادل مع جميع عناصر جبر لي، يُمكن استخدامها لتصنيف التمثيلات. كما يسمح التعريف الدقيق باستيراد مؤثرات كازيمير إلى مجالات أخرى من الرياضيات، وتحديدًا تلك التي لها جبر تفاضلي . وتلعب هذه المؤثرات أيضًا دورًا محوريًا في بعض التطورات الحديثة في الرياضيات. على وجه الخصوص، يُقدّم نظيرها مثالًا تبادليًا للكائنات المدروسة في الهندسة غير التبادلية ، وهي الزمر الكمومية . ويمكن إثبات أن هذا النظير، من خلال نظرية جيلفاند-نايمارك ، يحتوي على جبر C* لزمرة لي المقابلة. وتعمم هذه العلاقة إلى فكرة ازدواجية تاناكا-كراين بين المجموعات الطوبولوجية المدمجة وتمثيلاتها.

من وجهة نظر تحليلية، يمكن تعريف الجبر الشامل المغلف لجبر لي لمجموعة لي بجبر المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار على المجموعة.

تتمثل فكرة الجبر الشامل المغلف في تضمين جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إلى جبر ترابطي${\displaystyle {\mathcal {A}}}$مع الهوية بطريقة تجعل عملية القوس المجردة في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتوافق مع المبدل${\displaystyle xy-yx}$في${\displaystyle {\mathcal {A}}}$والجبر${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يتم توليدها بواسطة عناصر${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$قد توجد طرق عديدة لعمل مثل هذا التضمين، ولكن هناك طريقة فريدة "أكبر" من نوعها.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$، والتي تُسمى الجبر الشامل الشامل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

تذكر أن كل جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وهي على وجه الخصوص فضاء متجهي . وبالتالي، يمكن للمرء أن يبني جبر الموترات بحرية.${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$منه. جبر الموترات هو جبر حر : فهو ببساطة يحتوي على جميع نواتج الموترات الممكنة لجميع المتجهات الممكنة في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، دون أي قيود على الإطلاق على تلك المنتجات.

أي أن المرء يبني الفضاء

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots }$

أين${\displaystyle \otimes }$هو حاصل الضرب الموتري، و${\displaystyle \oplus }$هو المجموع المباشر للفضاءات المتجهة. هنا، K هو الحقل الذي تُعرَّف عليه جبر لي. من هنا، وحتى نهاية هذه المقالة، يُوضَّح دائمًا جداء الموتر صراحةً. يتجاهله العديد من المؤلفين، إذ يمكن استنتاج موقعه عادةً من السياق مع الممارسة. هنا، نعتمد منهجًا واضحًا جدًا، لتقليل أي لبس محتمل حول معاني التعبيرات.

تتمثل الخطوة الأولى في عملية البناء في "رفع" قوس لي من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(حيثما تم تعريفه) إلى جبر الموترات${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$(حيث لا يكون كذلك)، بحيث يمكن العمل بشكل متسق مع قوس لي لموترين. يتم الرفع بشكل متكرر. لنُعرّف

${\displaystyle [a\otimes b,c]=a\otimes [b,c]+[a,c]\otimes b}$

و

${\displaystyle [a,b\otimes c]=[a,b]\otimes c+b\otimes [a,c]}$

من السهل التحقق من أن التعريف أعلاه ثنائي الخطية ومتناظر عكسيًا ؛ ويمكن أيضًا إثبات أنه يحقق متطابقة جاكوبي . والنتيجة النهائية هي الحصول على قوس لي مُعرَّف بشكل متسق على جميع${\displaystyle T({\mathfrak {g}});}$يقول أحدهم إنه قد تم "رفعه" إلى جميع${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$بالمعنى التقليدي لـ "الرفع" من فضاء أساسي (هنا، جبر لي) إلى فضاء تغطية (هنا، جبر الموترات).

نتيجة هذا الرفع هي أن${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$يتحول إلى جبر بواسون : جبر ترابطي أحادي مع قوس لي متوافق مع قوس جبر لي الأصلي (بحسب الإنشاء). مع ذلك، فهو ليس أصغر جبر من هذا النوع؛ إذ يحتوي على عناصر أكثر بكثير من اللازم. يمكن الحصول على جبر أصغر عن طريق الإسقاط العكسي. الجبر الشامل المُغلِّف${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُعرَّف بأنه فضاء القسمة

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/\sim }$

حيث علاقة التكافؤ${\displaystyle \sim }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

للجميع${\displaystyle a,b\in T({\mathfrak {g}})}$أي أن قوس لي يُحدد علاقة التكافؤ المستخدمة لإجراء عملية القسمة. والنتيجة تبقى جبرًا ترابطيًا أحاديًا، ويمكن أخذ قوس لي لأي عنصرين. حساب النتيجة بسيط، إذا أخذنا في الاعتبار أن كل عنصر من${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$يمكن فهمها على أنها مجموعة مشاركة : ببساطة، نأخذ القوس كالمعتاد، ونبحث عن المجموعة المشاركة التي تحتوي على النتيجة. إنها أصغر جبر من هذا النوع؛ لا يمكن إيجاد أي شيء أصغر منها مع الحفاظ على بديهيات الجبر الترابطي.

The universal enveloping algebra is what remains of the tensor algebra after modding out the Poisson algebra structure. (This is a non-trivial statement; the tensor algebra has a rather complicated structure: it is, among other things, a Hopf algebra; the Poisson algebra is likewise rather complicated, with many peculiar properties. It is compatible with the tensor algebra, and so the modding can be performed. The Hopf algebra structure is conserved; this is what leads to its many novel applications, e.g. in string theory. However, for the purposes of the formal definition, none of this particularly matters.)

The construction can be performed in a slightly different (but equivalent) way. Consider the two-sided idealI generated by elements of the form

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]}$

for ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}}}$. (Note that these generators are elements of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\subset T({\mathfrak {g}})}$.) A general member of the ideal I will be linear combinations of elements of the form

${\displaystyle \cdots \otimes c\otimes d\otimes (a\otimes b-b\otimes a-[a,b])\otimes f\otimes g\otimes \cdots }$

where all lower-case letters are elements of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Since I is an ideal, we can quotient by it. The universal enveloping algebra can then be defined as^[2]

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$

الجبر الشامل المُغلِّف، أو بالأحرى الجبر الشامل المُغلِّف مع الخريطة الأساسية ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$يمتلك خاصية شاملة . ^{[ 5 ]} لنفترض أن لدينا أي خريطة جبر لي

${\displaystyle \varphi$ :{\mathfrak {g}}\to A}

إلى جبر ترابطي أحادي A (مع قوس لي في A معطى بواسطة المبدل). وبشكل أكثر تحديدًا، هذا يعني أننا نفترض

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$

للجميع${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ثم يوجد تماثل جبري أحادي وحيد

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U({\mathfrak {g}})\to A}$

بحيث

${\displaystyle \varphi ={\widehat {\varphi }}\circ h}$

أين${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$هي الخريطة المعتمدة. (الخريطة)${\displaystyle h}$يتم الحصول عليها عن طريق التضمين${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في جبر الموترات الخاص بها ، ثم تركيبها مع خريطة القسمة إلى الجبر الشامل. هذه الخريطة هي تضمين، وفقًا لنظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت.

وبعبارة أخرى، إذا${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow A}$هي دالة خطية إلى جبر أحادي${\displaystyle A}$مُرضٍ${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$، ثم${\displaystyle \varphi }$يمتد إلى تشاكل جبري لـ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}:U({\mathfrak {g}})\to A}$. منذ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$يتم توليدها بواسطة عناصر من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الخريطة${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$يجب تحديدها بشكل فريد من خلال الشرط التالي:

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(X_{i_{1}}\cdots X_{i_{N}})=\varphi (X_{i_{1}})\cdots \varphi (X_{i_{N}}),\quad X_{i_{j}}\in {\mathfrak {g}}}$.

الفكرة هي أنه لا توجد علاقات أخرى في الجبر الشامل الشامل بخلاف تلك القادمة من علاقات التبادل الخاصة بـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الخريطة${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$هو محدد جيدًا، بغض النظر عن كيفية كتابة عنصر معين${\displaystyle x\in U({\mathfrak {g}})}$كتركيبة خطية من نواتج عناصر جبر لي.

تُشير الخاصية العامة للجبر المُغلِّف مباشرةً إلى أن كل تمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يعمل على فضاء متجهي${\displaystyle V}$يمتد بشكل فريد إلى تمثيل لـ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. (يأخذ${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$تُعد هذه الملاحظة مهمة لأنها تسمح (كما سيتم مناقشته أدناه) لعناصر كازيمير بالتأثير على${\displaystyle V}$هؤلاء المشغلون (من مركز ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$تعمل هذه العناصر ككميات قياسية وتوفر معلومات مهمة حول التمثيلات. ويُعد عنصر كازيمير التربيعي ذا أهمية خاصة في هذا الصدد.

تُقدّم نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت وصفًا دقيقًا لـ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. يمكن القيام بذلك بإحدى طريقتين مختلفتين: إما بالرجوع إلى أساس متجه صريح على جبر لي، أو بطريقة خالية من الإحداثيات .

يفترض${\displaystyle G}$هي زمرة لي حقيقية مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$باتباع النهج الحديث، يمكننا تحديد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$مع فضاء حقول المتجهات الثابتة من اليسار (أي، المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار من الرتبة الأولى). على وجه التحديد، إذا فكرنا في البداية في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$باعتبارها المساحة المماسية لـ${\displaystyle G}$عند نقطة التطابق، ثم كل متجه في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمتلك امتدادًا فريدًا ثابتًا من اليسار. ثم نُعرّف المتجه في الفضاء المماسي بحقل المتجهات المرتبط به والثابت من اليسار. الآن، يكون المُبدِّل (كمؤثرات تفاضلية) لحقلين متجهين ثابتين من اليسار هو حقل متجهات وثابت من اليسار أيضًا. يمكننا بعد ذلك تعريف عملية الأقواس على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$باعتباره المبدل على حقول المتجهات الثابتة من اليسار المرتبطة به. ^{[ 7 ]} يتفق هذا التعريف مع أي تعريف قياسي آخر لبنية الأقواس على جبر لي لمجموعة لي.

يمكننا بعد ذلك النظر في المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار ذات الرتبة العشوائية. كل مؤثر من هذا القبيل${\displaystyle A}$يمكن التعبير عنها (بشكل غير فريد) كمزيج خطي من نواتج حقول متجهة ثابتة من اليسار. مجموعة جميع المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار على${\displaystyle G}$يشكل جبرًا، يُرمز إليه بـ${\displaystyle D(G)}$يمكن إثبات ذلك${\displaystyle D(G)}$متماثل مع الجبر الشامل المغلف${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$[ ^{8 ]​}

في حالة أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ينشأ هذا كجبر لي لمجموعة لي حقيقية، ويمكن استخدام المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار لتقديم برهان تحليلي لنظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت . على وجه التحديد، الجبر${\displaystyle D(G)}$يتم توليد مجموعة من المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار بواسطة عناصر (حقول المتجهات الثابتة من اليسار) التي تحقق علاقات التبادل الخاصة بـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وبالتالي، وفقًا للخاصية العامة للجبر المُغلِّف،${\displaystyle D(G)}$هو ناتج قسمة${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$وبالتالي، إذا كانت عناصر أساس PBW مستقلة خطيًا في${\displaystyle D(G)}$—وهو ما يمكن إثباته تحليليًا—يجب أن تكون مستقلة خطيًا بالتأكيد في${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$(وفي هذه المرحلة، يكون التماثل لـ${\displaystyle D(G)}$مع${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$(يتضح ذلك.)

الفضاء المتجهي الأساسي لـ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$قد يتم إعطاؤها بنية جبرية جديدة بحيث ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$و${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$وهي متماثلة كجبر ترابطي . وهذا يقود إلى مفهوم جبر الرموز.${\displaystyle \star ({\mathfrak {g}})}$فضاء كثيرات الحدود المتناظرة ، المزودة بضرب،${\displaystyle \star }$وهذا يضع البنية الجبرية لجبر لي على ما هو في الأصل جبر ترابطي قياسي. أي أن ما يحجبه مبرهنة PBW (علاقات التبادل) يعيده جبر الرموز إلى الواجهة.

يتم الحصول على الجبر عن طريق أخذ عناصر من${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$واستبدال كل مولد${\displaystyle e_{i}}$بواسطة متغير غير محدد ومتغير تبادلي${\displaystyle t_{i}}$للحصول على فضاء كثيرات الحدود المتناظرة${\displaystyle K[t_{i}]}$في الملعب${\displaystyle K}$في الواقع، التطابق بسيط للغاية: ببساطة يتم استبدال الرمز${\displaystyle t_{i}}$ل${\displaystyle e_{i}}$تُسمى متعددة الحدود الناتجة رمز العنصر المقابل من${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$. الخريطة العكسية هي

${\displaystyle w:\star ({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})}$

هذا يحل محل كل رمز${\displaystyle t_{i}}$بواسطة${\displaystyle e_{i}}$يتم الحصول على البنية الجبرية من خلال اشتراط أن يكون الناتج${\displaystyle \star }$تعمل كتماثل، أي بحيث

${\displaystyle w(p\star q)=w(p)\otimes w(q)}$

لكثيرات الحدود${\displaystyle p,q\in \star ({\mathfrak {g}}).}$

المشكلة الرئيسية في هذا البناء هي أن${\displaystyle w(p)\otimes w(q)}$ليس عضواً بشكل تافه، بل هو عضو بطبيعته في${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$كما هو مكتوب، وأنه يجب أولاً إجراء عملية إعادة ترتيب شاقة لعناصر الأساس (مع تطبيق ثوابت البنية حسب الحاجة) للحصول على عنصر من${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$في الأساس المرتب ترتيبًا صحيحًا. يمكن إعطاء تعبير صريح لهذا الناتج: وهي صيغة بيريزين . ^{[ 9 ]} وهي مشتقة أساسًا من صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف لناتج عنصرين من زمرة لي.

يُعطى التعبير المغلق بواسطة ^{[ 10 ]}

${\displaystyle p(t)\star q(t)=\left.\exp \left(t_{i}m^{i}\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right)\right)p(u)q(v)\right\vert _{u=v=t}}$

أين

${\displaystyle m(A,B)=\log \left(e^{A}e^{B}\right)-A-B}$

و${\displaystyle m^{i}}$هو مجرد${\displaystyle m}$على الأساس المختار.

الجبر الشامل لجبر هايزنبرغ هو جبر فايل (مع مراعاة أن المركز هو الوحدة)؛ هنا،${\displaystyle \star }$يُطلق على هذا المنتج اسم منتج مويال .

يحافظ الجبر الشامل على نظرية التمثيل : تمثيلات${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تتوافق بشكل فردي مع الوحدات النمطية الموجودة على${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$بصورة أكثر تجريدًا، فإن الفئة الأبيلية لجميع تمثيلات${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$متماثل مع الفئة الأبيلية لجميع الوحدات اليسارية فوق${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$.

تعتمد نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط على ملاحظة وجود تماثل، يُعرف باسم جداء كرونكر :

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})\cong U({\mathfrak {g}}_{1})\otimes U({\mathfrak {g}}_{2})}$

بالنسبة لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}}$ينتج التماثل عن رفع التضمين

${\displaystyle i({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})=i_{1}({\mathfrak {g}}_{1})\otimes 1\oplus 1\otimes i_{2}({\mathfrak {g}}_{2})}$

أين

${\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

هو ببساطة التضمين المتعارف عليه (مع رموز سفلية، على التوالي، للجبري الأول والثاني). من السهل التحقق من أن هذا التضمين قابل للرفع، وفقًا للوصفة المذكورة أعلاه. مع ذلك، انظر مناقشة بنية الجبر الثنائي في مقالة جبر الموترات لمراجعة بعض النقاط الدقيقة للقيام بذلك: على وجه الخصوص، يتوافق ناتج الخلط المستخدم هناك مع معاملات ويغنر-راكا، أي الرموز 6j و 9j، إلخ.

ومن المهم أيضًا أن الجبر الشامل المغلف لجبر لي الحر متماثل مع الجبر الترابطي الحر .

تتم عملية بناء التمثيلات عادةً عن طريق بناء وحدات فيرما ذات الأوزان الأعلى .

في سياق نموذجي حيث${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يعمل عن طريق تحويلات متناهية الصغر ، عناصر${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$تتصرف مثل المؤثرات التفاضلية ، من جميع الرتب. (انظر، على سبيل المثال، تحقيق الجبر الشامل المغلف كمؤثرات تفاضلية ثابتة من اليسار على المجموعة المرتبطة، كما نوقش أعلاه.)

المركز​${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ل${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$يمكن تحديدها من خلال مركزية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$أي عنصر من${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$يجب التنقل مع جميع${\displaystyle U({\mathfrak {g}}),}$وبالأخص مع التضمين المتعارف عليه لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$داخل${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ولهذا السبب، يُعد المركز مفيدًا بشكل مباشر لتصنيف تمثيلات${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بالنسبة لجبر لي شبه البسيط ذي الأبعاد المحدودة ، تشكل مؤثرات كازيمير أساسًا مميزًا من المركز${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ويمكن بناء هذه على النحو التالي.

المركز${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$يتوافق مع التراكيب الخطية لجميع العناصر${\displaystyle z=v\otimes w\otimes \cdots \otimes u\in U({\mathfrak {g}})}$ذلك التنقل مع جميع العناصر${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}};}$أي، الذي من أجله${\displaystyle [z,x]={\mbox{ad}}_{x}(z)=0.}$أي أنهم في صميم${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}$لذا، نحتاج إلى تقنية لحساب تلك النواة. ما لدينا هو تأثير التمثيل المرافق على${\displaystyle {\mathfrak {g}};}$نحتاج إليه${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$أسهل طريقة هي ملاحظة أن${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}}$هو اشتقاق ، ويمكن رفع فضاء الاشتقاقات إلى${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$وبالتالي إلى${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$وهذا يعني أن كليهما عبارة عن جبر تفاضلي .

بحسب التعريف،${\displaystyle \delta$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} هو اشتقاق على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان يلتزم بقانون لايبنتز :

${\displaystyle \delta ([v,w])=[\delta (v),w]+[v,\delta (w)]}$

(متى${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو فضاء حقول المتجهات الثابتة من اليسار على مجموعة${\displaystyle G}$(قوس لي هو قوس حقول المتجهات). يتم الرفع عن طريق تعريف

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (v\otimes w\otimes \cdots \otimes u)=&\,\delta (v)\otimes w\otimes \cdots \otimes u\\&+v\otimes \delta (w)\otimes \cdots \otimes u\\&+\cdots +v\otimes w\otimes \cdots \otimes \delta (u).\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$هو اشتقاق لأي${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},}$ما سبق يحدد${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$العمل على${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$و${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

من نظرية PBW، يتضح أن جميع العناصر المركزية هي تركيبات خطية من كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة في عناصر الأساس.${\displaystyle e_{a}}$في جبر لي. ثوابت كازيمير هي كثيرات الحدود المتجانسة غير القابلة للاختزال ذات درجة معينة وثابتة. أي، بالنظر إلى أساس${\displaystyle e_{a}}$، عامل كازيمير من النوع${\displaystyle m}$له الشكل

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ab\cdots c}e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

حيث يوجد${\displaystyle m}$الحدود في حاصل الضرب الموتري، و${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$هو موتر متناظر تمامًا من الرتبة${\displaystyle m}$ينتمي إلى التمثيل المرافق. أي،${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$يمكن (ينبغي) اعتباره عنصراً من${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\right)^{\otimes m}.}$تذكر أن التمثيل المرافق يُعطى مباشرةً بواسطة ثوابت البنية ، وبالتالي يمكن إعطاء شكل مُفهرس صريح للمعادلات المذكورة أعلاه، بدلالة أساس جبر لي؛ وهذه في الأصل نظرية لإسرائيل غيلفاند . أي، من${\displaystyle [x,C_{(m)}]=0}$وبناءً على ذلك

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

حيث تكون ثوابت البنية

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

على سبيل المثال، عامل كازيمير التربيعي هو

${\displaystyle C_{(2)}=\kappa ^{ij}e_{i}\otimes e_{j}}$

أين${\displaystyle \kappa ^{ij}}$هي المصفوفة العكسية لصيغة كيلينج${\displaystyle \kappa _{ij}.}$ أن مشغل كازيمير${\displaystyle C_{(2)}}$ينتمي إلى المركز${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ويترتب على ذلك حقيقة أن شكل القتل ثابت تحت تأثير الفعل المرافق.

يتم تحديد مركز الجبر الشامل الشامل لجبر لي البسيط بالتفصيل بواسطة تماثل هاريش-تشاندرا .

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$إذن، يكون لها أساس من المصفوفات.

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\text{ }}E={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\text{ }}F={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

والتي تحقق المتطابقات التالية تحت القوس القياسي:

${\displaystyle [H,E]=-2E}$،${\displaystyle [H,F]=2F}$، و${\displaystyle [E,F]=-H}$

هذا يوضح لنا أن الجبر الشامل المغلف له العرض

${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2})={\frac {\mathbb {C} \langle x,y,z\rangle }{(xy-yx+2y,xz-zx-2z,yz-zy+x)}}}$

كحلقة غير تبديلية.

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت المجموعة أبيلية (أي أن القوس يساوي دائمًا صفرًا )، فإن${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$هي تبديلية؛ وإذا كانت أساسًا للفضاء المتجهي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ تم اختياره، ثم${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$يمكن تحديدها باستخدام الجبر متعدد الحدود على K ، مع متغير واحد لكل عنصر أساسي.

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت جبر لي المقابل لمجموعة لي G ، فإن${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$يمكن تعريفها بجبر المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار (من جميع الرتب) على G ؛ مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تقع داخلها كحقول متجهة ثابتة من اليسار كمؤثرات تفاضلية من الدرجة الأولى.

لربط الحالتين المذكورتين أعلاه: إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان V فضاء متجهًا كجبر لي أبيلي، فإن المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار هي مؤثرات ذات معاملات ثابتة، وهي في الواقع جبر متعدد الحدود في المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

المركز${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$يتكون من المؤثرات التفاضلية الثابتة من اليسار واليمين؛ وهذا، في حالة G غير التبادلية، غالبًا لا يتم توليده بواسطة المؤثرات من الدرجة الأولى (انظر على سبيل المثال مؤثر كازيمير لجبر لي شبه البسيط).

ومن السمات الأخرى في نظرية زمر لي ما يلي:${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$باعتبارها جبر الالتفاف للتوزيعات المدعومة فقط عند عنصر الوحدة e من G.

يمكن الحصول على جبر المؤثرات التفاضلية في n متغيرًا بمعاملات متعددة الحدود بدءًا من جبر لي لمجموعة هايزنبرغ . انظر جبر فايل لهذا الغرض؛ يجب أخذ خارج القسمة، بحيث تعمل العناصر المركزية لجبر لي ككميات قياسية محددة.

الجبر الشامل المغلف لجبر لي ذي الأبعاد المحدودة هو جبر تربيعي مُرشَّح .

إن بناء جبر الزمر لزمرة معينة يُشابه، من نواحٍ عديدة، بناء الجبر الشامل المُغلِّف لجبر لي معين. فكلا البناءين شاملان، ويُترجمان نظرية التمثيل إلى نظرية الوحدات. علاوة على ذلك، يحمل كل من جبر الزمر والجبر الشامل المُغلِّف عمليات ضرب مشتركة طبيعية تُحوِّلهما إلى جبر هوبف . وقد تم توضيح ذلك بدقة في مقالة جبر الموترات : إذ يمتلك جبر الموترات بنية جبر هوبف، ولأن قوس لي متسق مع بنية هوبف هذه (يُحقق شروط الاتساق الخاصة بها)، فإن الجبر الشامل المُغلِّف يرثها.

بفرض وجود زمرة لي G ، يمكن إنشاء الفضاء المتجهي C( G ) للدوال المركبة المتصلة على G ، وتحويله إلى جبر C* . يتمتع هذا الجبر ببنية جبر هوبف طبيعية: بفرض وجود دالتين ${\displaystyle \varphi ,\psi \in C(G)}$يُعرّف المرء الضرب على النحو التالي:

${\displaystyle (\nabla (\varphi ,\psi ))(x)=\varphi (x)\psi (x)}$

والضرب المشترك كـ

${\displaystyle (\Delta (\varphi ))(x\otimes y)=\varphi (xy),}$

الوحدة

${\displaystyle \varepsilon (\varphi )=\varphi (e)}$

والطرف المقابل كما

${\displaystyle (S(\varphi ))(x)=\varphi (x^{-1}).}$

تنص نظرية جيلفاند-نايمارك أساسًا على أن كل جبر هوبف تبديلي متماثل مع جبر هوبف للدوال المتصلة على زمرة طوبولوجية مضغوطة G - أي أن نظرية الزمر الطوبولوجية المضغوطة ونظرية جبر هوبف التبديلي متطابقتان. بالنسبة لزمر لي، يعني هذا أن C( G ) ثنائي متماثل لـ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$بتعبير أدق، هو متماثل مع فضاء جزئي من الفضاء الثنائي${\displaystyle U^{*}({\mathfrak {g}}).}$

يمكن بعد ذلك توسيع هذه الأفكار لتشمل الحالة غير التبادلية. يبدأ المرء بتعريف جبر هوبف شبه المثلثي ، ثم يقوم بما يسمى بالتشويه الكمي للحصول على الجبر الشامل الكمي ، أو المجموعة الكمية ، باختصار.

• نظرية ميلنور-مور
• تماثل هاريش-تشاندرا

• ديكسمير، جاك (1996) [1974]، الجبر الشامل ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  11، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-0560-2، MR 0498740 
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
• هيلجاسون، سيجوردور (2001)، الهندسة التفاضلية، زمر لي، والفضاءات المتناظرة ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد  34، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، doi : 10.1090/gsm/034 ، ISBN 978-0-8218-2848-9، MR 1834454 ، S2CID 120016227  
• موسون، إيان م. (2012)، جبر لي الفائق والجبر المغلف ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد  131، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-6867-6Zbl 1255.17001​ 
• شلومو ستيرنبرغ (2004)، جبر لي ، جامعة هارفارد.
• الجبر الشامل المغلف في مختبر n