حقل مغلق جبريًا

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُقال إن الحقل F مغلق جبريًا إذا كان لكل متعددة حدود غير ثابتة ذات معاملات في F جذر في F. بعبارة أخرى، يكون الحقل مغلقًا جبريًا إذا تحققت عليه النظرية الأساسية للجبر . على سبيل المثال، حقل الأعداد الحقيقية ليس مغلقًا جبريًا لأن متعددة الحدودx2+1{\displaystyle x^{2}+1}ليس لها جذور حقيقية، بينما حقل الأعداد المركبة مغلق جبرياً.

كل مجالك{\displaystyle K}محتواة في حقل مغلق جبريًاج،{\displaystyle C,}والجذور فيج{\displaystyle C}من كثيرات الحدود ذات المعاملات فيك{\displaystyle K}تشكل حقلاً مغلقاً جبرياً يسمى الإغلاق الجبري لـك.{\displaystyle K.}بفرض وجود إغلاقين جبريين لـك{\displaystyle K}توجد بينهما تماثلات تحدد عناصرك.{\displaystyle K.}

تظهر الحقول المغلقة جبريًا في سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

أمثلة

على سبيل المثال، حقل الأعداد الحقيقية ليس مغلقًا جبريًا، لأن معادلة كثير الحدودx2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0}ليس لها حل في الأعداد الحقيقية، على الرغم من أن جميع معاملاتها (1 و0) حقيقية. وتُثبت الحجة نفسها أنه لا يوجد حقل جزئي من حقل الأعداد الحقيقية مغلق جبريًا؛ وعلى وجه الخصوص، فإن حقل الأعداد النسبية ليس مغلقًا جبريًا. في المقابل، تنص النظرية الأساسية للجبر على أن حقل الأعداد المركبة مغلق جبريًا. ومن الأمثلة الأخرى على الحقول المغلقة جبريًا حقل الأعداد الجبرية (المركبة) .

لا يوجد حقل منتهٍ F مغلق جبريًا، لأنه إذا كانت a₁ , a₂ , ..., an عناصر في F ، فإن متعددة الحدود ( x - a₁ ) ( x - a₂ ) ... ( x - an ) + 1 ليس لها جذر في F. مع ذلك، فإن اتحاد جميع الحقول المنتهية ذات خاصية ثابتة p (حيث p عدد أولي) هو حقل مغلق جبريًا، وهو في الواقع الإغلاق الجبري للحقل.          Fص{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}مع p عنصرًا.

المجالج(x){\displaystyle \mathbb {C} (x)}مجموعة الدوال الكسرية ذات المعاملات المركبة ليست مغلقة؛ على سبيل المثال، متعددة الحدودy2-x{\displaystyle y^{2}-x}له جذور±x{\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}والتي ليست عناصر منج(x){\displaystyle \mathbb {C} (x)}.

الخصائص المتكافئة

بالنظر إلى حقل F ، فإن العبارة " F مغلق جبريًا" تعادل عبارات أخرى:

كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال الوحيدة هي تلك التي من الدرجة الأولى

يكون الحقل F مغلقًا جبريًا إذا وفقط إذا كانت كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال الوحيدة في حلقة كثيرات الحدود F [ x ] هي تلك التي من الدرجة الأولى.

إنّ عبارة "كثيرات الحدود من الدرجة الأولى غير قابلة للاختزال" صحيحةٌ بشكلٍ بديهي لأي حقل. إذا كان الحقل F مغلقًا جبريًا، وكانت p ( x ) كثيرة حدود غير قابلة للاختزال في F [ x ]، فإنّ لها جذرًا a، وبالتالي فإنّ p ( x ) مضاعفٌ لـ x - a . وبما أنّ p ( x ) غير قابلة للاختزال، فهذا يعني أنّ p ( x ) = k ( x - a ) ، حيث k ∈ F \ {0} . من جهةٍ أخرى، إذا لم يكن الحقل F مغلقًا جبريًا، فإنّ هناك كثيرة حدود غير ثابتة p ( x ) في F [ x ] ليس لها جذور في F. لنفترض أنّ q ( x ) عاملٌ غير قابل للاختزال لـ p ( x ). بما أنّ p ( x ) ليس لها جذور في F ، فإنّ q ( x ) ليس لها جذور في F أيضًا . لذلك، فإنّ درجة q ( x ) أكبر من واحد، لأنّ كلّ كثيرة حدود من الدرجة الأولى لها جذرٌ واحد في F.

كل كثيرة حدود هي ناتج ضرب كثيرات حدود من الدرجة الأولى

يكون الحقل F مغلقًا جبريًا إذا وفقط إذا كان كل كثير حدود p ( x ) من الدرجة n  ≥  1، بمعاملات في F ، ينقسم إلى عوامل خطية . بعبارة أخرى ، توجد عناصر k ، x₁ ، x₂ ، ...، xₙ من الحقل F بحيث يكون p ( x ) = k ( x - x₁ )( x - x₂ ) ... ( x - xₙ ) .              

إذا كانت F تتمتع بهذه الخاصية، فمن الواضح أن كل متعددة حدود غير ثابتة في F [ x ] لها جذر في F ؛ بعبارة أخرى، F مغلقة جبريًا. من جهة أخرى، فإن تحقق الخاصية المذكورة هنا لـ F إذا كانت F مغلقة جبريًا يتبع من الخاصية السابقة بالإضافة إلى حقيقة أنه لأي حقل K ، يمكن كتابة أي متعددة حدود في K [ x ] كحاصل ضرب متعددات حدود غير قابلة للاختزال.

كثيرات الحدود ذات الدرجة الأولية لها جذور

إذا كان لكل متعددة حدود على F من الدرجة الأولية جذر في F ، فإن لكل متعددة حدود غير ثابتة جذر في F. [ 1 ] ويترتب على ذلك أن الحقل مغلق جبريًا إذا وفقط إذا كان لكل متعددة حدود على F من الدرجة الأولية جذر في F.

لا يمتلك الحقل امتدادًا جبريًا مناسبًا

يكون الحقل F مغلقًا جبريًا إذا وفقط إذا لم يكن له امتداد جبري مناسب .

إذا لم يكن للمجموعة F امتداد جبري حقيقي، فلنفترض أن p ( x ) متعددة حدود غير قابلة للاختزال في F [ x ]. عندئذٍ، يكون خارج قسمة F [ x ] على المثالي المُوَلَّد بواسطة p ( x ) امتدادًا جبريًا لـ F درجته تساوي درجة p ( x ) . ولأنه ليس امتدادًا حقيقيًا، فإن درجته تساوي 1، وبالتالي فإن درجة p ( x ) تساوي  1 أيضًا.

من ناحية أخرى، إذا كان لـ F امتداد جبري مناسب K ، فإن متعدد الحدود الأدنى لعنصر في K  \ F غير قابل للاختزال ودرجته أكبر من 1.  

لا يمتلك الحقل امتدادًا محدودًا مناسبًا

يكون الحقل F مغلقًا جبريًا إذا وفقط إذا لم يكن له امتداد منتهٍ فعلي ، لأنه إذا استُبدل مصطلح "الامتداد الجبري" بمصطلح "الامتداد المنتهي" في البرهان السابق ، فإن البرهان يظل صحيحًا. (الامتدادات المنتهية جبرية بالضرورة).

كل تشاكل داخلي لـ F n له متجه ذاتي

يكون الحقل F مغلقًا جبريًا إذا وفقط إذا كان لكل عدد طبيعي n ، كل تطبيق خطي من F n إلى نفسه له متجه ذاتي ما .

يكون للتشاكل الداخلي لـ F<sup> n </sup> متجه ذاتي إذا وفقط إذا كان لكثير الحدود المميز له جذر ما. لذلك، عندما تكون F <sup>n</sup> مغلقة جبريًا، يكون لكل تشاكل داخلي لـ F <sup> n </sup> متجه ذاتي. من جهة أخرى، إذا كان لكل تشاكل داخلي لـ F <sup>n </sup> متجه ذاتي، فلنفترض أن p ( x ) عنصر من F [ x ]. بقسمة p(x) على معامله الرئيسي، نحصل على كثير حدود آخر q ( x ) له جذور إذا وفقط إذا كان لـ p ( x ) جذور. ولكن إذا كان q ( x ) = x <sup>n </sup> + a <sub>n - 1 </sub> x <sup> n - 1</sup> + ... + a<sub> 0</sub> ، فإن q ( x ) هو كثير الحدود المميز للمصفوفة المرافقة من الرتبة n×n.

(00⋯0-أ010⋯0-أ101⋯0-أ2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯1-أن-1).{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}

تحليل التعبيرات الكسرية

يكون الحقل F مغلقًا جبريًا إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابة كل دالة كسرية في متغير واحد x ، بمعاملات في F ، على شكل مجموع دالة متعددة الحدود مع دوال كسرية من الشكل a /( x  − b ) n ، حيث n عدد طبيعي، و a و b عنصران من F. 

إذا كانت F مغلقة جبريًا، فبما أن كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال في F [ x ] كلها من الدرجة 1، فإن الخاصية المذكورة أعلاه صحيحة بموجب نظرية التفكيك الجزئي للكسور .

من جهة أخرى، لنفترض أن الخاصية المذكورة أعلاه تنطبق على الحقل F. ليكن p ( x ) عنصرًا غير قابل للاختزال في F [ x ]. عندئذٍ، يمكن كتابة الدالة الكسرية 1/ p كمجموع دالة كثيرة الحدود q مع دوال كسرية من الشكل a /( x  – b ) ⁿ . وبالتالي، فإن التعبير الكسري 

1ص(x)-q(x)=1-ص(x)q(x)ص(x){\displaystyle {\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}

يمكن كتابة المعادلة كحاصل قسمة كثيرتي حدود، حيث يكون المقام حاصل ضرب كثيرتي حدود من الدرجة الأولى. وبما أن p ( x ) غير قابلة للاختزال، فلا بد أنها تقسم هذا الناتج، وبالتالي، يجب أن تكون أيضًا كثيرة حدود من الدرجة الأولى.

كثيرات الحدود والجذور الأولية نسبياً

لأي حقل F ، إذا كان كثيرتا حدود p ( x ) و q ( x ) ∈ F [ x ] أوليّتين فيما بينهما ، فإنهما لا تشتركان في جذر مشترك، لأنه لو كان a ∈ F جذرًا مشتركًا، لكانت كل من p ( x ) و q ( x ) من مضاعفات x − a ، وبالتالي لما كانتا أوليّتين فيما بينهما. والحقول التي يتحقق فيها العكس (أي الحقول التي يكون فيها كثيرتا حدود أوليّتين فيما بينهما إذا لم تشتركا في جذر مشترك) هي تحديدًا الحقول المغلقة جبريًا.  

إذا كان الحقل F مغلقًا جبريًا، فلنفترض أن p ( x ) و q ( x ) كثيرتا حدود غير أوليتين فيما بينهما، ولنفترض أن r ( x ) هو قاسمهما المشترك الأكبر . بما أن r ( x ) ليس ثابتًا، فسيكون له جذر a ، والذي سيكون بدوره جذرًا مشتركًا لـ p ( x ) و q ( x ).

إذا لم تكن F مغلقة جبريًا، فليكن p ( x ) متعدد حدود درجته 1 على الأقل وليس له جذور. عندئذٍ، فإن p ( x ) و p ( x ) ليسا أوليين فيما بينهما، ولكن ليس لهما جذور مشتركة (لأن أياً منهما ليس له جذور).

خصائص أخرى

إذا كان F حقلاً مغلقاً جبرياً، وكان n عدداً طبيعياً، فإن F يحتوي على جميع الجذور النونية للوحدة، لأنها (بحسب التعريف) هي الأصفار النونية (غير المتباينة بالضرورة) لكثير الحدود xⁿ⁻¹ . يُسمى امتداد الحقل الذي يحتويه امتداد مُوَلَّد بجذور الوحدة امتداداً دائرياً ، ويُسمى امتداد الحقل المُوَلَّد بجميع جذور الوحدة أحياناً إغلاقه الدائري . بالتالي ، فإن الحقول المغلقة جبرياً تكون مغلقة دائرياً. أما العكس فليس صحيحاً. حتى افتراض أن كل كثير حدود من الشكل xⁿ⁻¹ ينقسم إلى عوامل خطية لا يكفي لضمان أن الحقل مغلق جبرياً.    

إذا كانت عبارة يمكن التعبير عنها بلغة منطق الرتبة الأولى صحيحةً لحقل مغلق جبريًا، فإنها تكون صحيحةً لكل حقل مغلق جبريًا له نفس الخاصية . علاوة على ذلك، إذا كانت هذه العبارة صحيحةً لحقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية  ، فإنها لا تكون صحيحةً فقط لجميع الحقول المغلقة جبريًا الأخرى ذات الخاصية الصفرية  ، بل يوجد عدد طبيعي N بحيث تكون العبارة صحيحةً لكل حقل مغلق جبريًا ذي خاصية p عندما يكون p > N. [ 2 ]   

لكل حقل F امتدادٌ ما يكون مغلقًا جبريًا. يُسمى هذا الامتداد بالامتداد المغلق جبريًا . من بين جميع هذه الامتدادات ، يوجد امتداد جبري واحد فقط ( حتى التشاكل ، ولكن ليس التشاكل الوحيد ) يُسمى الإغلاق الجبري لـ F ؛ [ 3 ] ويُسمى هذا الامتداد بالإغلاق الجبري لـ F.

تتضمن نظرية الحقول المغلقة جبرياً حذف الكميات .

لا يوجد حقل منتهٍ مغلق جبريًا : إذا كان هناك مثل هذا الحقل، مع مجموعة أساسية{0،1،ك2،...،كن}{\displaystyle \{0,1,k_{2},...,k_{n}\}}بالنسبة للبعضن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }ثم متعددة الحدودx(x-1)(x-ك2)...(x-كن)+1{\displaystyle x(x-1)(x-k_{2})...(x-k_{n})+1}لن يختفي مهما كانت قيمتهx{\displaystyle x}.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ شيبمان 2007 .
  2. ↑ انظر الأقسام الفرعية الحلقات والحقول وخصائص النظريات الرياضية في القسم 2 من كتاب ج. بارويز "مقدمة في منطق الرتبة الأولى".
  3. ^ انظر جبر لانغ ، §VII.2 أو جبر فان دير وايردن، §10.1.

مراجع