مشكلة النقاط

تعتبر مشكلة النقاط ، والتي تسمى أيضًا مشكلة تقسيم الرهانات ، مشكلة كلاسيكية في نظرية الاحتمالات . كانت إحدى المشكلات الشهيرة التي حفزت بدايات نظرية الاحتمالات الحديثة في القرن السابع عشر، حيث قادت بليز باسكال إلى أول استدلال صريح حول ما يُعرف اليوم بالقيمة المتوقعة .

تتعلق المشكلة بلعبة تعتمد على الحظ بين لاعبين لديهما فرص متساوية للفوز في كل جولة. ويساهم اللاعبان بالتساوي في مبلغ الجائزة، ويتفقان مسبقاً على أن أول لاعب يفوز بعدد معين من الجولات سوف يحصل على الجائزة بالكامل. والآن لنفترض أن ظروفاً خارجية قد أوقفت اللعبة قبل أن يحقق أي من اللاعبين النصر. فكيف إذن نستطيع أن نقسم مبلغ الجائزة بالتساوي؟ من المفهوم ضمناً أن التقسيم لابد وأن يعتمد بطريقة ما على عدد الجولات التي يفوز بها كل لاعب، بحيث يحصل اللاعب الذي يقترب من الفوز على حصة أكبر من مبلغ الجائزة. ولكن المشكلة لا تقتصر على الحساب؛ بل إنها تتضمن أيضاً تحديد ما هو التقسيم "العادل" في واقع الأمر.

تناول لوكا باتشيولي هذه المشكلة في كتابه المدرسي Summa de arithmetica, engineeringa, percentagei et relativelita الصادر عام 1494. كانت طريقته هي تقسيم الرهانات بالتناسب مع عدد الجولات التي يفوز بها كل لاعب، ولم يدخل عدد الجولات اللازمة للفوز في حساباته على الإطلاق. ^[1]

في منتصف القرن السادس عشر، لاحظ نيكولو تارتاجليا أن طريقة باسيولي تؤدي إلى نتائج غير بديهية إذا توقفت اللعبة عندما تم لعب جولة واحدة فقط. في هذه الحالة، ستمنح قاعدة باسيولي الجائزة بأكملها للفائز في تلك الجولة الفردية، على الرغم من أن التقدم بجولة واحدة في وقت مبكر من لعبة طويلة ليس حاسمًا على الإطلاق. بنى تارتاجليا طريقة تتجنب هذه المشكلة بالذات من خلال تأسيس القسمة على النسبة بين حجم التقدم وطول اللعبة. ^[1] ومع ذلك، لا يزال هذا الحل غير خالٍ من المشاكل؛ في لعبة إلى 100، يتم تقسيم الرهانات بنفس الطريقة لتقدم 65-55 كما هو الحال بالنسبة لتقدم 99-89، على الرغم من أن الأولى لا تزال لعبة مفتوحة نسبيًا بينما في الحالة الثانية يكون الفوز للاعب المتقدم مؤكدًا تقريبًا. لم يكن تارتاجليا نفسه متأكدًا مما إذا كانت المشكلة قابلة للحل على الإطلاق بطريقة من شأنها إقناع كلا اللاعبين بنزاهتها: "بأي طريقة يتم بها التقسيم سيكون هناك سبب للتقاضي". ^[2]

ظهرت المشكلة مرة أخرى حوالي عام 1654 عندما طرحها شوفالييه دي ميريه على بليز باسكال . ناقش باسكال المشكلة في مراسلاته المستمرة مع بيير دي فيرما . من خلال هذه المناقشة، لم يقدم باسكال وفيرما حلاً مقنعًا ومتسقًا ذاتيًا لهذه المشكلة فحسب، بل طوروا أيضًا مفاهيم لا تزال أساسية لنظرية الاحتمالات.

كانت الفكرة الأساسية التي توصل إليها باسكال وفيرما هي أن تقسيم اللعبة لا ينبغي أن يعتمد كثيراً على تاريخ الجزء الذي حدث بالفعل من اللعبة المتقطعة، بل على الطرق المحتملة التي كان من الممكن أن تستمر بها اللعبة، لو لم يتم قطعها. ومن الواضح بديهياً أن اللاعب الذي يتقدم 7-5 في لعبة مقابل 10 لديه نفس الفرصة للفوز في النهاية مثل اللاعب الذي يتقدم 17-15 في لعبة مقابل 20، وبالتالي اعتقد باسكال وفيرما أن انقطاع اللعبة في أي من الحالتين يجب أن يؤدي إلى نفس تقسيم الرهانات. بعبارة أخرى، ما هو مهم ليس عدد الجولات التي فاز بها كل لاعب حتى الآن، ولكن عدد الجولات التي لا يزال يتعين على كل لاعب الفوز بها من أجل تحقيق النصر الإجمالي.

استنتج فيرما الآن على النحو التالي: ^[3] إذا احتاج أحد اللاعبين إلى جولات أكثر للفوز واحتاج الآخر إلى ، فمن المؤكد أن شخصًا ما سيفوز باللعبة بعد جولات إضافية. لذلك، تخيل أن اللاعبين سيلعبون المزيد من الجولات؛ في المجموع، لهذه الجولات نتائج محتملة مختلفة. في بعض هذه المستقبلات المحتملة، ستكون اللعبة قد حُسمت بالفعل في عدد أقل من الجولات، ولكن لا ضرر من تخيل اللاعبين وهم يواصلون اللعب بلا هدف. إن النظر في المستقبلات الطويلة المتساوية فقط له ميزة تتمثل في إقناع المرء بسهولة بأن كل الاحتمالات متساوية الاحتمالية. وبالتالي، كان فيرما قادرًا على حساب احتمالات فوز كل لاعب، ببساطة عن طريق كتابة جدول لجميع الاستمرارات المحتملة وحساب عددها الذي سيؤدي إلى فوز كل لاعب. اعتبر فيرما الآن أنه من العدل بشكل واضح تقسيم الرهانات بما يتناسب مع تلك الاحتمالات. ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r+s-1}$${\displaystyle r+s-1}$${\displaystyle 2^{r+s-1}}$${\displaystyle r+s-1}$${\displaystyle 2^{r+s-1}}$${\displaystyle 2^{r+s-1}}$

لقد تم تحسين حل فيرما، والذي يعتبر "صحيحًا" وفقًا لمعايير اليوم، بواسطة باسكال بطريقتين. أولاً، قدم باسكال حجة أكثر تفصيلاً لاعتبار القسمة الناتجة عادلة. ثانيًا، أظهر كيفية حساب القسمة الصحيحة بكفاءة أكبر من طريقة فيرما الجدولية، والتي تصبح غير عملية تمامًا (بدون أجهزة الكمبيوتر الحديثة) إذا كان أكبر من حوالي 10. ${\displaystyle r+s-1}$

بدلاً من مجرد النظر في احتمال الفوز باللعبة المتبقية بالكامل ، ابتكر باسكال مبدأ من خطوات أصغر: افترض أن اللاعبين تمكنوا من لعب جولة واحدة فقط قبل أن يتم مقاطعتهم، وأننا قد قررنا بالفعل كيفية تقسيم الرهانات بشكل عادل بعد تلك الجولة الإضافية (ربما لأن تلك الجولة تسمح لأحد اللاعبين بالفوز). قد تؤدي الجولة الإضافية المتخيلة إلى أحد مستقبلين محتملين بتقسيمات عادلة مختلفة للرهانات، ولكن نظرًا لأن اللاعبين لديهما فرص متساوية للفوز بالجولة التالية، فيجب عليهما تقسيم الفرق بين القسمين المستقبليين بالتساوي. بهذه الطريقة يمكن استخدام معرفة الحلول العادلة في الألعاب التي بها عدد أقل من الجولات المتبقية لحساب الحلول العادلة للألعاب التي بها عدد أكبر من الجولات المتبقية. ^[4]

من الأسهل إقناع المرء بأن هذا المبدأ عادل مقارنة بجدول فيرما للمستقبلات المحتملة، والذي هو افتراضي بشكل مضاعف لأنه يجب على المرء أن يتخيل أن اللعبة تستمر أحيانًا بعد الفوز. يعد تحليل باسكال هنا أحد أقدم الأمثلة على استخدام القيم المتوقعة بدلاً من الاحتمالات عند التفكير في الاحتمالات. بعد فترة وجيزة، أصبحت هذه الفكرة أساسًا لأول أطروحة منهجية حول الاحتمالات بواسطة كريستيان هويجنز . في وقت لاحق، نشأ مفهوم الاحتمال الحديث من استخدام قيم التوقعات بواسطة باسكال وهويجنز.

إن التطبيق المباشر لقاعدة باسكال خطوة بخطوة أسرع بشكل ملحوظ من طريقة فيرما عندما تبقى العديد من الجولات. ومع ذلك، كان باسكال قادرًا على استخدامها كنقطة بداية لتطوير أساليب حسابية أكثر تقدمًا. من خلال التلاعب الذكي بالهويات التي تنطوي على ما يُعرف اليوم بمثلث باسكال (بما في ذلك العديد من البراهين الصريحة الأولى بالاستقراء ) أظهر باسكال أخيرًا أنه في لعبة حيث يحتاج اللاعب أ إلى r نقطة للفوز ويحتاج اللاعب ب إلى s نقطة للفوز، فإن التقسيم الصحيح للرهانات بين اللاعب أ (الجانب الأيسر) و ب (الجانب الأيمن) هو (باستخدام التدوين الحديث):

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}{\binom {r+s-1}{k}}{\mbox{ : }}\sum _{k=s}^{r+s-1}{\binom {r+s-1}{k}}}$حيث يمثل المصطلح عامل التركيبة .${\displaystyle {\binom {r+s-1}{k}}}$

أصبحت مشكلة تقسيم الرهانات مثالاً تحفيزيًا رئيسيًا لباسكال في أطروحته حول المثلث الحسابي . ^{[4] [5]}

ورغم أن استنباط باسكال لهذه النتيجة كان مستقلاً عن طريقة فيرما الجدولية، فمن الواضح أنها تصف أيضاً بدقة حساب النتائج المختلفة للجولات الإضافية التي اقترحها فيرما. ${\displaystyle r+s-1}$

• أندرس هالد: تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتهما قبل عام 1750. وايلي 2003، ISBN 978-0-471-47129-5 ، ص 35، 54 
• كيث ديفلين: اللعبة غير المكتملة: باسكال وفيرما والرسالة التي كتبت في القرن السابع عشر وجعلت العالم حديثاً . كتب أساسية 2010، رقم ISBN 978-0465018963 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مثلث باسكال". MathWorld .
• التطور المبكر للاحتمالات الرياضية
• مشكلة النقاط في MathForum
• شرح سهل للغاية لمشكلة النقاط من مدونة حول الاحتمالات والإحصاء.