ترتيب الهيمنة

في الرياضيات المتقطعة ، يُعد ترتيب الهيمنة (المرادفات: ترتيب الهيمنة ، ترتيب الهيمنة ، الترتيب الطبيعي ) ترتيبًا جزئيًا على مجموعة تجزئات عدد صحيح موجب n يلعب دورًا مهمًا في التوافقية الجبرية ونظرية التمثيل ، وخاصة في سياق الدوال المتناظرة ونظرية تمثيل المجموعة المتناظرة .

إذا كانت p = ( p ₁ , p ₂ ,...) و q = ( q ₁ , q ₂ ,...) عبارة عن تجزئات للعدد n ، مع ترتيب الأجزاء بترتيب تنازلي ضعيف، فإن p تسبق q في ترتيب الهيمنة إذا كان مجموع أكبر k جزء من p لأي k ≥ 1 أقل من أو يساوي مجموع أكبر k جزء من q :

${\displaystyle p\trianglelefteq q{\text{ إذا وفقط إذا }}p_{1}+\cdots +p_{k}\leq q_{1}+\cdots +q_{k}{\text{ لجميع }}k\geq 1.}$

في هذا التعريف، يتم توسيع الأقسام عن طريق إضافة أجزاء صفرية في النهاية حسب الضرورة.

• من بين تقسيمات n ، فإن (1، ...، 1) هو الأصغر و (n) هو الأكبر.
• إن ترتيب الهيمنة يستلزم الترتيب المعجمي ، أي إذا كان p يهيمن على q و p  ≠ q ، فعندئذٍ بالنسبة لأصغر i بحيث يكون p _i ≠ q _i يكون لدينا p _i > q _i . 
• تكون مجموعة التقسيمات المرتبة خطيًا (وهي مكافئة للترتيب المعجمي) إذا وفقط إذا كان n ≤ 5. وتكون متدرجة إذا وفقط إذا كان n ≤ 6. انظر الصورة على اليمين للحصول على مثال.
• يُغطي التقسيم p التقسيم q إذا وفقط إذا كان _pᵢ = qᵢ + ₁ ، _و pⱼ = qⱼ - 1 _{، و} pⱼ = _qⱼ لجميع j ≠ i و k ، وكان إما (1) k = i + 1 أو (2) qᵢ = _qⱼ (بريلاوسكي، الخاصية 2.3). انطلاقًا من _مخطط يونغ للتقسيم q ، يُستخلص مخطط يونغ للتقسيم p منه عن طريق إزالة المربع الأخير من الصف k أولًا ، ثم إلحاقه إما بنهاية الصف السابق له مباشرةً k - 1، أو بنهاية الصف i < k إذا كانت جميع الصفوف من i إلى k في مخطط يونغ للتقسيم q متساوية في الطول.
• لكل تقسيم p تقسيم مترافق (أو ثنائي) p ′ ، ومخطط يونغ الخاص به هو منقول مخطط يونغ الخاص بـ p . هذه العملية تعكس ترتيب الهيمنة:

${\displaystyle p\trianglelefteq q}$إذا وفقط إذا${\displaystyle q^{\prime }\trianglelefteq p^{\prime }.}$

• يحدد ترتيب الهيمنة عمليات الإدراج بين إغلاقات زاريسكي لفئات الاقتران للمصفوفات العديمة القوة .

تُشكّل تقسيمات العدد n شبكةً تحت ترتيب الهيمنة، ويُرمز لها بـ L _n ، وتُعدّ عملية الاقتران عمليةً مضادةً لهذه الشبكة. لوصف عمليات الشبكة بشكلٍ صريح، لكل تقسيم p، نعتبر المجموعة المرتبة المرتبطة به ( n + 1) :  

${\displaystyle {\hat {p}}=(0,p_{1},p_{1}+p_{2},\ldots ,p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}).}$

يمكن استعادة التقسيم p من المجموعة المرتبطة به المكونة من ( n + 1) من خلال تطبيق الفرق في الخطوة 1 ،${\displaystyle p_{i}={\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{i-1}.}$علاوة على ذلك، تتميز المجموعات المكونة من ( n + 1) المرتبطة بتقسيمات n بين جميع سلاسل الأعداد الصحيحة التي يبلغ طولها n  +  1 بالخصائص الثلاث التالية:

• غير متناقصة،${\displaystyle {\hat {p}}_{i}\leq {\hat {p}}_{i+1};}$
• مقعر،${\displaystyle 2{\hat {p}}_{i}\geq {\hat {p}}_{i-1}+{\hat {p}}_{i+1};}$
• الحد الابتدائي هو 0 والحد النهائي هو n ،${\displaystyle {\hat {p}}_{0}=0،{\hat {p}}_{n}=n.}$

بحسب تعريف ترتيب الهيمنة، يسبق التقسيم p التقسيم q إذا وفقط إذا كان العنصر ( n  +  1) المرتبط بـ p أقل من أو يساوي العنصر ( n  +  1) المرتبط بـ q . إذا كانت p و q و r تقسيمات، فإن${\displaystyle r\trianglelefteq p,r\trianglelefteq q}$إذا وفقط إذا${\displaystyle {\hat {r}}\leq {\hat {p}},{\hat {r}}\leq {\hat {q}}.}$إنّ أصغر قيمة لكل عنصر من عناصر متتابعتين صحيحتين غير متناقصتين ومقعرتين هي أيضًا غير متناقصة ومقعرة. لذلك، لأي تقسيمين لـ n و p و q ، فإنّ نقطة التقائهما هي تقسيم n الذي يحتوي على ( n  +  1) عنصرًا.${\displaystyle \operatorname {min} ({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i}).}$إن الفكرة البديهية لاستخدام صيغة مماثلة للوصل غير مجدية ، لأن القيمة القصوى لكل عنصر من عناصر متتابعتين مقعرتين لا يشترط أن تكون مقعرة. على سبيل المثال، عندما n  =  6، فإن التقسيمين [3,1,1,1] و[2,2,2] لهما متتابعتان مرتبطتان هما (0,3,4,5,6,6,6) و(0,2,4,6,6,6,6)، حيث أن القيمة القصوى لكل عنصر (0,3,4,6,6,6,6) لا تتوافق مع أي تقسيم. ولإثبات أن أي تقسيمين لـ n لهما وصل، يُستخدم التماثل العكسي للاقتران: وصل p و q هو التقسيم المترافق لتقاطع p ′ و q ′ .

${\displaystyle p\lor q=(p^{\prime }\land q^{\prime })^{\prime }.}$

بالنسبة للتقسيمين p و q في المثال السابق، فإن تقسيماتهما المترافقة هي [4,1,1] و [3,3] مع التقاء [3,2,1]، وهو مترافق ذاتيًا؛ لذلك، فإن وصلة p و q هي [3,2,1].

حدد توماس بريلاوسكي العديد من الثوابت للشبكة L _{_n} ، مثل الحد الأدنى للارتفاع والحد الأقصى لعدد التغطية، وصنف الفترات ذات الطول الصغير. وبينما لا تُعتبر L _{_n} شبكة توزيعية عندما يكون n ≥ 7، فإنها تشترك في بعض الخصائص مع الشبكات التوزيعية: على سبيل المثال، تأخذ دالة موبيوس الخاصة بها القيم 0 و1 و -1 فقط.  

يمكن تمثيل تقسيمات n بيانيًا باستخدام مخططات يونغ على n مربعًا. جداول يونغ القياسية هي طرق محددة لملء مخططات يونغ بالأرقام، ويمكن تعريف ترتيب جزئي عليها (يُسمى أحيانًا ترتيب الهيمنة على جداول يونغ ) بدلالة ترتيب الهيمنة على مخططات يونغ. لكي يهيمن جدول يونغ T على جدول يونغ آخر S ، يجب أن يهيمن شكل T على شكل S كتقسيم، ويجب أن يتحقق ذلك أيضًا عندما يتم اقتطاع T و S أولًا إلى جداولهما الفرعية التي تحتوي على مدخلات تصل إلى قيمة معينة k ، لكل اختيار لـ k .

وبالمثل، هناك ترتيب هيمنة على مجموعة جداول يونغ الثنائية القياسية، والتي تلعب دورًا في نظرية أحاديات الحدود القياسية .

• شبكة يونغ
• التجاوز

• ماكدونالد، إيان ج. (1979). "القسم 1.1". الدوال المتناظرة ومتعددات حدود هول . مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 5-7 . ISBN  0-19-853530-9.
• ستانلي، ريتشارد ب. (1999). التوافقية العددية . المجلد  2. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-56069-1.
• بريلاوسكي، توماس (1973). "شبكة التقسيمات الصحيحة" . الرياضيات المتقطعة . 6 (3): 201-202 . doi : 10.1016/0012-365X(73)90094-0 .