دالة متناظرة

في الرياضيات ، دالة لـ${\displaystyle n}$تكون المتغيرات متناظرة إذا كانت قيمتها ثابتة بغض النظر عن ترتيب وسائطها . على سبيل المثال، دالة${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$تكون الدالة ذات الوسيطين متناظرة إذا وفقط إذا${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$للجميع${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$بحيث${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$و${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$تقع ضمن نطاق${\displaystyle f.}$أكثر الدوال المتناظرة شيوعًا هي الدوال متعددة الحدود ، والتي يتم الحصول عليها من خلال كثيرات الحدود المتناظرة .

ومن المفاهيم ذات الصلة كثيرات الحدود المتناوبة ، التي يتغير إشارتها عند تبديل المتغيرات. وبصرف النظر عن دوال كثيرات الحدود، يمكن أن تكون الموترات التي تعمل كدوال لعدة متجهات متناظرة، وفي الواقع، فإن فضاء الموترات المتناظرة${\displaystyle k}$الموترات على فضاء متجهي${\displaystyle V}$متماثل مع فضاء كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة${\displaystyle k}$على${\displaystyle V.}$لا ينبغي الخلط بين الدوال المتناظرة والدوال الزوجية والفردية ، والتي لها نوع مختلف من التناظر.

بفرض أي دالة${\displaystyle f}$في${\displaystyle n}$بالنسبة للمتغيرات ذات القيم في مجموعة أبيلية ، يمكن إنشاء دالة متناظرة عن طريق جمع قيم${\displaystyle f}$على جميع تباديل الوسائط. وبالمثل، يمكن إنشاء دالة مضادة للتناظر عن طريق الجمع على التباديل الزوجية وطرح المجموع على التباديل الفردية . هذه العمليات غير قابلة للعكس بالطبع، وقد ينتج عنها دالة تساوي صفرًا تمامًا للدوال غير التافهة.${\displaystyle f.}$الحالة العامة الوحيدة التي${\displaystyle f}$يمكن استعادة الشكل إذا عُرفت كل من خاصية التناظر وخاصية التناظر العكسي، وذلك عندما${\displaystyle n=2}$وتقبل المجموعة الأبيلية القسمة على 2 (معكوس المضاعفة)؛ إذن${\displaystyle f}$يساوي نصف مجموع تناظره وتناظره المضاد.

• لنفترض الدالة الحقيقية$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$ بحسب التعريف، دالة متناظرة مع${\displaystyle n}$تتمتع المتغيرات بالخاصية التالية: $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ إلخ.}}}$$ بشكل عام، تظل الدالة كما هي مهما كانت تبديلات متغيراتها. وهذا يعني أنه في هذه الحالة، $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$ وهكذا دواليك، لجميع التباديل الممكنة لـ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$
• ضع في اعتبارك الدالة $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$ لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا تم تبديلها، تصبح الوظيفة $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$ وهو ما ينتج عنه نفس النتائج الأصلية تمامًا${\displaystyle f(x,y).}$
• لننظر الآن إلى الدالة $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$ لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا تم تبديلها، تصبح الوظيفة $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$ هذه الدالة ليست هي نفسها الدالة الأصلية إذا${\displaystyle a\neq b,}$مما يجعلها غير متناظرة.

• متعددة الحدود المتناوبة
• متعددة الحدود المتناظرة الأولية – دالة رياضية 
• الدوال الزوجية والفردية – الدوال التي يكون فيها f(–x) يساوي f(x) أو –f(x) 
• المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل – مفهوم في الإحصاء 
• دالة شبه متناظرة
• حلقة الدوال المتناظرة
• التناظر
• متعددة حدود فاندرموند – ناتج الفروق الزوجية 

• FN David و MG Kendall و DE Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables ، مطبعة جامعة كامبريدج .
• جوزيف بي إس كونغ، جيان كارلو روتا ، وكاثرين هـ. يان (2009) التوافقيات: طريقة روتا ، §5.1 وظائف متماثلة، ص 222-5، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-73794-4.