الرياضيات المتقطعة

يشمل علم الحاسوب النظري مجالات الرياضيات المتقطعة ذات الصلة بالحوسبة، ويعتمد بشكل كبير على نظرية المخططات والمنطق الرياضي . ويتضمن دراسة الخوارزميات وهياكل البيانات. يدرس علم الحوسبة ما يمكن حسابه من حيث المبدأ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمنطق، بينما يدرس علم التعقيد الوقت والمساحة والموارد الأخرى التي تستهلكها العمليات الحسابية. وترتبط نظرية الأوتوماتا ونظرية اللغات الرسمية ارتباطًا وثيقًا بعلم الحوسبة. تُستخدم شبكات بيتري وجبر العمليات لنمذجة أنظمة الحاسوب، وتُستخدم أساليب الرياضيات المتقطعة في تحليل الدوائر الإلكترونية VLSI . يطبق علم الهندسة الحسابية الخوارزميات على المشكلات الهندسية وتمثيلات الأشكال الهندسية ، بينما يطبق تحليل الصور الحاسوبية الخوارزميات على تمثيلات الصور. كما يشمل علم الحاسوب النظري دراسة مواضيع حسابية متصلة متنوعة.

تتضمن نظرية المعلومات قياس المعلومات كمياً. وترتبط بها ارتباطاً وثيقاً نظرية الترميز التي تُستخدم لتصميم طرق فعالة وموثوقة لنقل البيانات وتخزينها. كما تشمل نظرية المعلومات مواضيع متصلة مثل: الإشارات التناظرية ، والترميز التناظري ، والتشفير التناظري .

المنطق هو دراسة مبادئ الاستدلال الصحيح والاستنتاج السليم ، بالإضافة إلى الاتساق والصحة والكمال . على سبيل المثال، في معظم أنظمة المنطق (وليس في المنطق الحدسي )، يُعد قانون بيرس ((( P → Q )→ P )→ P ) نظرية. في المنطق الكلاسيكي، يمكن التحقق منه بسهولة باستخدام جدول الصواب . تُعد دراسة البرهان الرياضي ذات أهمية خاصة في المنطق، وقد تطورت لتشمل البرهان الآلي للنظريات والتحقق الرسمي من البرمجيات.

تُعدّ الصيغ المنطقية بنى منفصلة، ​​وكذلك البراهين ، التي تُشكّل أشجارًا محدودة ^{[ 10 ]} أو، بشكلٍ أعم، بنى رسوم بيانية موجهة غير دورية ^{[ 11 ] [ 12 ]} (حيث تجمع كل خطوة استدلال فرعًا واحدًا أو أكثر من فروع المقدمات للوصول إلى نتيجة واحدة). عادةً ما تُشكّل قيم الصواب للصيغ المنطقية مجموعة محدودة، تقتصر عمومًا على قيمتين: صواب وخطأ ، ولكن يمكن أن يكون المنطق أيضًا ذا قيم متصلة، مثل المنطق الضبابي . كما دُرست مفاهيم مثل أشجار البرهان اللانهائية أو أشجار الاشتقاق اللانهائية ^{[ 13 ]} ، مثل المنطق اللانهائي .

نظرية المجموعات هي فرع من الرياضيات يدرس المجموعات ، وهي عبارة عن تجمعات من العناصر، مثل {أزرق، أبيض، أحمر} أو مجموعة الأعداد الأولية (غير المحدودة) . وللمجموعات المرتبة جزئيًا والمجموعات ذات العلاقات الأخرى تطبيقات في مجالات عديدة.

في الرياضيات المتقطعة، تُعدّ المجموعات القابلة للعد (بما فيها المجموعات المنتهية ) محور التركيز الرئيسي. ويُعتبر عمل جورج كانتور ، الذي ميّز بين أنواع مختلفة من المجموعات اللانهائية ، دافعًا له دراسة المتسلسلات المثلثية، بدايةً لنظرية المجموعات كفرع من فروع الرياضيات. ويخرج تطوير نظرية المجموعات اللانهائية عن نطاق الرياضيات المتقطعة. في الواقع، تستخدم الأعمال المعاصرة في نظرية المجموعات الوصفية الرياضيات المتصلة التقليدية على نطاق واسع.

يدرس علم التوافيق الطرق التي يمكن بها دمج أو ترتيب البنى المنفصلة. يركز علم التوافيق التعدادي على حساب عدد كائنات توافيقية معينة، فعلى سبيل المثال، توفر طريقة الاثني عشر إطارًا موحدًا لحساب التباديل والتوافيق والتقسيمات . يهتم علم التوافيق التحليلي بحصر ( أي تحديد عدد) البنى التوافيقية باستخدام أدوات من التحليل المركب ونظرية الاحتمالات . وعلى عكس علم التوافيق التعدادي الذي يستخدم صيغًا توافيقية صريحة ودوالًا مولدة لوصف النتائج، يهدف علم التوافيق التحليلي إلى الحصول على صيغ تقاربية . يهتم علم التوافيق الطوبولوجي باستخدام تقنيات من الطوبولوجيا والطوبولوجيا الجبرية / الطوبولوجيا التوافقية في علم التوافيق . أما نظرية التصميم فهي دراسة للتصاميم التوافقية ، وهي عبارة عن مجموعات من المجموعات الجزئية ذات خصائص تقاطع معينة . تدرس نظرية التقسيم مسائلَ متنوعةً في التعداد والتقارب تتعلق بتقسيمات الأعداد الصحيحة ، وهي وثيقة الصلة بمتسلسلات q ، والدوال الخاصة ، ومتعددات الحدود المتعامدة . كانت نظرية التقسيم في الأصل جزءًا من نظرية الأعداد والتحليل ، ولكنها تُعتبر الآن جزءًا من التوافقية أو مجالًا مستقلًا. أما نظرية الترتيب فهي دراسة المجموعات المرتبة جزئيًا ، سواءً كانت منتهية أو غير منتهية.

تُعتبر نظرية الرسوم البيانية، وهي دراسة الرسوم البيانية والشبكات ، جزءًا من التوافقية، لكنها نمت وتطورت لتصبح مجالًا قائمًا بذاته، ولها مشاكلها الخاصة. [ ^{14 ] تُعدّ} الرسوم البيانية من أهمّ المواضيع في الرياضيات المتقطعة، وهي من أكثر النماذج شيوعًا للهياكل الطبيعية والصناعية. يمكنها تمثيل أنواع عديدة من العلاقات وديناميكيات العمليات في الأنظمة الفيزيائية والبيولوجية والاجتماعية. في علوم الحاسوب، يمكنها تمثيل شبكات الاتصال، وتنظيم البيانات، والأجهزة الحاسوبية، وتدفق العمليات الحسابية، وغيرها. في الرياضيات، تُستخدم الرسوم البيانية في الهندسة وبعض فروع الطوبولوجيا ، مثل نظرية العقد . ترتبط نظرية الرسوم البيانية الجبرية ارتباطًا وثيقًا بنظرية الزمر، بينما ترتبط نظرية الرسوم البيانية الطوبولوجية ارتباطًا وثيقًا بالطوبولوجيا . توجد أيضًا رسوم بيانية متصلة ؛ ومع ذلك، فإن معظم الأبحاث في نظرية الرسوم البيانية تندرج ضمن مجال الرياضيات المتقطعة.

يهتم علم الأعداد بخصائص الأعداد عمومًا، وخاصة الأعداد الصحيحة . وله تطبيقات في علم التشفير وتحليل الشفرات ، لا سيما فيما يتعلق بالحساب النمطي ، والمعادلات الديوفانتية ، والتطابقات الخطية والتربيعية، والأعداد الأولية واختبار أولية الأعداد . تشمل الجوانب المنفصلة الأخرى لعلم الأعداد هندسة الأعداد . وفي علم الأعداد التحليلي ، تُستخدم أيضًا تقنيات من الرياضيات المتصلة. ومن المواضيع التي تتجاوز الكائنات المنفصلة الأعداد المتسامية ، والتقريب الديوفانتي ، والتحليل p-adic ، وحقول الدوال .

تظهر البنى الجبرية كأمثلة منفصلة وأمثلة متصلة. تشمل الجبر المنفصل ما يلي: الجبر البولياني المستخدم في البوابات المنطقية والبرمجة؛ الجبر العلائقي المستخدم في قواعد البيانات ؛ تُعد النسخ المنفصلة والمنتهية من المجموعات والحلقات والحقول مهمة في نظرية الترميز الجبري ؛ تظهر أنصاف المجموعات المنفصلة والمونويدات في نظرية اللغات الرسمية .

هناك العديد من المفاهيم والنظريات في الرياضيات المستمرة التي لها نسخ منفصلة، ​​مثل حساب التفاضل والتكامل المنفصل ، وتحويلات فورييه المنفصلة ، ​​والهندسة المنفصلة ، ​​واللوغاريتمات المنفصلة ، ​​والهندسة التفاضلية المنفصلة ، ​​وحساب التفاضل والتكامل الخارجي المنفصل ، ونظرية مورس المنفصلة ، ​​والتحسين المنفصل ، ونظرية الاحتمالات المنفصلة ، ​​وتوزيع الاحتمالات المنفصل ، ومعادلات الفرق ، والأنظمة الديناميكية المنفصلة ، ​​ومقاييس المتجهات المنفصلة  .