دوب مارتينجال

قد تكون هذه المقالة تقنية للغاية بحيث يصعب على معظم القراء فهمها . يرجى المساعدة في تحسينها لجعلها مفهومة لغير الخبراء ، دون إزالة التفاصيل التقنية. ( نوفمبر 2021 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في النظرية الرياضية للاحتمالات ، مارتينجال دوب (سميت على اسم جوزيف إل دوب ، ^[1] والمعروفة أيضًا باسم مارتينجال ليفي ) هي عملية عشوائية تقرب متغيرًا عشوائيًا معينًا ولديها خاصية مارتينجال فيما يتعلق بالترشيح المعطى . يمكن اعتبارها التسلسل المتطور لأفضل التقريبات للمتغير العشوائي بناءً على المعلومات المتراكمة حتى وقت معين.

عند تحليل المجاميع أو المسارات العشوائية أو غيرها من الدوال الإضافية للمتغيرات العشوائية المستقلة ، يمكن للمرء غالبًا تطبيق نظرية الحد المركزي أو قانون الأعداد الكبيرة أو متباينة تشيرنوف أو متباينة تشيبيشيف أو أدوات مماثلة. عند تحليل أشياء مماثلة حيث لا تكون الاختلافات مستقلة، فإن الأدوات الرئيسية هي المتباينات ومتباينة أزوما . ^{[ بحاجة لتوضيح ]}

ليكن أي متغير عشوائي مع . افترض أنه ترشيح ، أي عندما . عرف ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {E} [|Y|]<\infty }$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle s<t}$

${\displaystyle Z_{t}=\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}],}$

ثم يكون هناك مارتينجال ، ^[2] أي مارتينجال دوب ، فيما يتعلق بالترشيح . ${\displaystyle \left\{Z_{0},Z_{1},\dots \right\}}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$

لرؤية هذا، لاحظ أن

• ${\displaystyle \mathbb {E} [|Z_{t}|]=\mathbb {E} [|\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}]|]\leq \ mathbb {E} [\mathbb {E} [|Y|\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} [|Y|]<\infty }$؛
• ${\displaystyle \mathbb {E} [Z_{t}\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}]\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=Z_{t-1}}$مثل .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t-1}\subset {\mathcal {F}}_{t}}$

على وجه الخصوص، بالنسبة لأي تسلسل من المتغيرات العشوائية على مساحة الاحتمالية ووظيفة بحيث ، يمكن للمرء أن يختار ${\displaystyle \left\{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right\}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {E} [|f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})|]<\infty }$

${\displaystyle Y:=f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$

والترشيح بحيث ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{0}&:=\left\{\phi ,\Omega \right\},\\{\mathcal {F}}_{t}&:=\sigma (X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}),\forall t\geq 1,\end{aligned}}}$

أي - الجبر الناتج عن . ثم، وفقًا لتعريف مارتينجال دوب، العملية حيث ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}}$${\displaystyle \left\{Z_{0},Z_{1},\dots \right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&:=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})\mid {\mathcal {F}}_{0}]=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})],\\Z_{t}&:=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})\mid {\mathcal {F}}_{t}]=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})\mid X_{1},X_{2},\dots,X_{t}],\forall t\geq 1\end{aligned}}}$

يشكل مارتينجال دوب. لاحظ أن . يمكن استخدام هذا المارتينجال لإثبات متباينة ماكديارميد . ${\displaystyle Z_{n}=f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$

تم تقديم مارتينجال دوب بواسطة جوزيف إل. دوب في عام 1940 لإنشاء متباينات التركيز مثل متباينة ماكديارميد، والتي تنطبق على الوظائف التي تلبي خاصية الفروق المحدودة (الموضحة أدناه) عندما يتم تقييمها على وسيطات دالة مستقلة عشوائية.

تُرضي الدالة خاصية الفروق المحدودة إذا أدى استبدال قيمة إحداثي th إلى تغيير قيمة . بشكل أكثر رسمية، إذا كانت هناك ثوابت بحيث بالنسبة إلى all و all و ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}_{1}\times {\mathcal {X}}_{2}\times \cdots \times {\mathcal {X}}_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$${\displaystyle i\in[n]}$${\displaystyle x_{1}\in {\mathcal {X}}_{1},\,x_{2}\in {\mathcal {X}}_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\in {\mathcal {X}}_{n}}$

${\displaystyle \sup _{x_{i}'\in {\mathcal {X}_{i}}\left|f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i}',x_{i+1},\ldots ,x_{n})\right|\leq c_{i}.}$