نظرية القياس الضبابي

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعنى نظرية القياس الضبابي بالقياسات المعممة التي تُستبدل فيها الخاصية الجمعية بخاصية الرتابة الأضعف. ويُعدّ القياس الضبابي (أو السعة ، انظر [ 1 ] ) المفهومَ الأساسي في هذه النظرية، وقد قدّمه شوكيه عام 1953، ثمّ عرّفه سوغينو بشكل مستقل عام 1974 في سياق التكاملات الضبابية . وتوجد فئات عديدة من القياسات الضبابية، منها قياسات المعقولية/الاعتقاد ، وقياسات الإمكانية/الضرورة ، وقياسات الاحتمال ، وهي مجموعة فرعية من القياسات الكلاسيكية .

التعريفات

يتركX{\displaystyle \mathbf {X} }كن عالماً من الخطاب ،ج{\displaystyle {\mathcal {C}}}لتكن فئة من المجموعات الجزئية منX{\displaystyle \mathbf {X} }، وهـ،F∈ج{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}دالة​ز:ج→R{\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }أين

  1. ∅∈ج⇒ز(∅)=0{\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0}
  2. هـ⊆F⇒ز(هـ)≤ز(F){\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}

يُطلق عليه اسم المقياس الضبابي . ويُطلق على المقياس الضبابي اسم المقياس المعياري أو المنتظم إذاز(X)=1{\displaystyle g(\mathbf {X} )=1}.

خصائص المقاييس الضبابية

المقياس الضبابي هو:

  • مادة مضافة إن وجدتهـ،F∈ج{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}بحيثهـ∩F=∅{\displaystyle E\cap F=\emptyset }لديناز(هـ∪F)=ز(هـ)+ز(F).{\displaystyle g(E\cup F)=g(E)+g(F).}؛
  • معيارية فائقة إن وجدتهـ،F∈ج{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}لديناز(هـ∪F)+ز(هـ∩F)≥ز(هـ)+ز(F){\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}؛
  • فرعي إذا كان لأيهـ،F∈ج{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}لديناز(هـ∪F)+ز(هـ∩F)≤ز(هـ)+ز(F){\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}؛
  • مادة مضافة فائقة إن وجدتهـ،F∈ج{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}بحيثهـ∩F=∅{\displaystyle E\cap F=\emptyset }لديناز(هـ∪F)≥ز(هـ)+ز(F){\displaystyle g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)}؛
  • إضافة فرعية إن وجدتهـ،F∈ج{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}بحيثهـ∩F=∅{\displaystyle E\cap F=\emptyset }لديناز(هـ∪F)≤ز(هـ)+ز(F){\displaystyle g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)}؛
  • متناظر إذا كان لأيهـ،F∈ج{\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}لدينا|هـ|=|F|{\displaystyle |E|=|F|}يشير إلىز(هـ)=ز(F){\displaystyle g(E)=g(F)}؛
  • منطقي إذا كان لأيهـ∈ج{\displaystyle E\in {\mathcal {C}}}لديناز(هـ)=0{\displaystyle g(E)=0}أوز(هـ)=1{\displaystyle g(E)=1}.

يُعدّ فهم خصائص المقاييس الضبابية مفيدًا في التطبيقات العملية. فعند استخدام مقياس ضبابي لتعريف دالة مثل تكامل سوغينو أو تكامل شوكيه ، تُصبح هذه الخصائص بالغة الأهمية لفهم سلوك الدالة. على سبيل المثال، يختزل تكامل شوكيه بالنسبة لمقياس ضبابي جمعي إلى تكامل ليبيغ . في الحالات المنفصلة، ​​ينتج عن المقياس الضبابي المتناظر عامل المتوسط ​​المرجح المرتب (OWA). أما المقاييس الضبابية شبه المعيارية فتنتج عنها دوال محدبة، بينما تنتج المقاييس الضبابية فوق المعيارية دوال مقعرة عند استخدامها لتعريف تكامل شوكيه.

تمثيل موبيوس

ليكن g مقياسًا ضبابيًا. يُعطى تمثيل موبيوس لـ g بواسطة دالة المجموعة M ، حيث لكلهـ،F⊆X{\displaystyle E,F\subseteq X}،

م(هـ)=∑F⊆هـ(-1)|هـ∖F|ز(F).{\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).}

البديهيات المكافئة في تمثيل موبيوس هي:

  1. م(∅)=0{\displaystyle M(\emptyset )=0}.
  2. ∑F⊆هـ|أنا∈Fم(F)≥0{\displaystyle \sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0}للجميعهـ⊆X{\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }وكل شيءأنا∈هـ{\displaystyle i\in E}

يُطلق على المقياس الضبابي في تمثيل موبيوس M اسم المقياس المعياري إذا كان∑هـ⊆Xم(هـ)=1.{\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.}

يمكن استخدام تمثيل موبيوس لتحديد المجموعات الفرعية من X التي تتفاعل مع بعضها البعض. على سبيل المثال، يكون للمقياس الضبابي الجمعي جميع قيم موبيوس مساوية للصفر باستثناء القيم الفردية. ويمكن استعادة المقياس الضبابي g في التمثيل القياسي من صيغة موبيوس باستخدام تحويل زيتا.

ز(هـ)=∑F⊆هـم(F)،∀هـ⊆X.{\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .}

افتراضات التبسيط للمقاييس الضبابية

تُعرَّف المقاييس الضبابية على شبه حلقة من المجموعات أو فئة رتيبة ، والتي قد تكون دقيقة مثل مجموعة القوى لـ X ، وحتى في الحالات المنفصلة، ​​يمكن أن يصل عدد المتغيرات إلى 2 | X | . لهذا السبب، في سياق تحليل القرار متعدد المعايير وغيره من التخصصات، تم إدخال افتراضات تبسيطية على المقياس الضبابي بحيث يكون تحديده واستخدامه أقل تكلفة حسابية. على سبيل المثال، عند افتراض أن المقياس الضبابي جمعي ، فإنه سيتحقق ما يلي:ز(هـ)=∑أنا∈هـز({أنا}){\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}ويمكن تقييم قيم المقياس الضبابي من قيم X. وبالمثل، يُعرَّف المقياس الضبابي المتناظر بشكل فريد بواسطة قيم | X |. ومن المقاييس الضبابية المهمة التي يمكن استخدامها مقياس سوغينو أوλ{\displaystyle \lambda }-القياس الضبابي والقياسات الإضافية k ، التي قدمها سوجينو [ 2 ] وغرابيش [ 3 ] على التوالي.

مقياس سوجينو λ

سوجينوλ{\displaystyle \lambda }يُعدّ المقياس الضبابي حالة خاصة من المقاييس الضبابية المُعرّفة بشكل تكراري. وله التعريف التالي:

تعريف

يتركX={x1،...،xن}{\displaystyle \mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace } لتكن مجموعة منتهية ولتكنλ∈(-1،+∞){\displaystyle \lambda \in (-1,+\infty )}. أ. سوجينوλ{\displaystyle \lambda }-measure هي دالةز:2X→[0،1]{\displaystyle g:2^{X}\to [0,1]}بحيث

  1. ز(X)=1{\displaystyle g(X)=1}.
  2. لوأ،ب⊆X{\displaystyle A,B\subseteq \mathbf {X} }(بدلاً عن ذلكأ،ب∈2X{\displaystyle A,B\in 2^{\mathbf {X} }}) معأ∩ب=∅{\displaystyle A\cap B=\emptyset }ثمز(أ∪ب)=ز(أ)+ز(ب)+λز(أ)ز(ب){\displaystyle g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)}.

كعرف، قيمة g عند مجموعة أحادية{xأنا}{\displaystyle \left\lbrace x_{i}\right\rbrace } يُطلق عليها اسم الكثافة ويُرمز لها بـزأنا=ز({xأنا}){\displaystyle g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )}بالإضافة إلى ذلك، لدينا ذلكλ{\displaystyle \lambda }يفي بالغرض

λ+1=∏أنا=1ن(1+λزأنا){\displaystyle \lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i})}.

أظهر كل من تهاني وكيلر [ 4 ] ووانغ وكلير أنه بمجرد معرفة الكثافات، يصبح من الممكن استخدام متعددة الحدود السابقة للحصول على قيمλ{\displaystyle \lambda }بشكل فريد.

مقياس ضبابي إضافي من النوع k

يحد المقياس الضبابي الإضافي k من التفاعل بين المجموعات الفرعيةهـ⊆X{\displaystyle E\subseteq X}مقاس مناسب|هـ|=ك{\displaystyle |E|=k}. هذا يقلل بشكل كبير من عدد المتغيرات اللازمة لتحديد المقياس الضبابي، وبما أن k يمكن أن يكون أي شيء من 1 (وفي هذه الحالة يكون المقياس الضبابي جمعيًا) إلى X ، فإنه يسمح بتحقيق حل وسط بين القدرة على النمذجة والبساطة.

تعريف

يُطلق على المقياس الضبابي المنفصل g على المجموعة X اسم k-الإضافي (1≤ك≤|X|{\displaystyle 1\leq k\leq |\mathbf {X} |}) إذا تحققت تمثيلية موبيوس الخاصة بهام(هـ)=0{\displaystyle M(E)=0}، حينما|هـ|>ك{\displaystyle |E|>k}لأيهـ⊆X{\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }ويوجد مجموعة جزئية F تحتوي على k عنصرًا بحيثم(F)≠0{\displaystyle M(F)\neq 0}.

مؤشرات شابلي والتفاعل

في نظرية الألعاب ، تُستخدم قيمة شابلي أو مؤشر شابلي للإشارة إلى وزن اللعبة. يمكن حساب قيم شابلي للمقاييس الضبابية لإعطاء مؤشر على أهمية كل عنصر منفرد. في حالة المقاييس الضبابية الجمعية، تكون قيمة شابلي مساوية لقيمة كل عنصر منفرد.

بالنسبة لمقياس ضبابي معين g ، و|X|=ن{\displaystyle |\mathbf {X} |=n}، مؤشر شابلي لكلأنا،...،ن∈X{\displaystyle i,\dots ,n\in X}يكون:

ϕ(أنا)=∑هـ⊆X∖{أنا}(ن-|هـ|-1)!|هـ|!ن![ز(هـ∪{أنا})-ز(هـ)].{\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}

قيمة شابلي هي المتجهϕ(ز)=(ψ(1)،...،ψ(ن)).{\displaystyle \mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ غوستاف شوكيه (1953). “نظرية القدرات”. حوليات معهد فورييه . 5 : 131 - 295.
  2. ↑ م. سوغينو (1974). "نظرية التكاملات الضبابية وتطبيقاتها. أطروحة دكتوراه". معهد طوكيو للتكنولوجيا ، طوكيو، اليابان .
  3. ↑ م. جرابيش (1997). " مقاييس ضبابية منفصلة جمعية من الرتبة k وتمثيلها". مجموعات وأنظمة ضبابية . 92 (2): 167-189 . doi : 10.1016/S0165-0114(97)00168-1 .
  4. ↑ هـ. تهاني وج. كيلر (1990). "دمج المعلومات في رؤية الحاسوب باستخدام التكامل الضبابي". معاملات IEEE في الأنظمة والإنسان وعلم التحكم الآلي . 20 (3): 733-741 . doi : 10.1109/21.57289 .

للمزيد من القراءة

  • بيلياكوف، براديرا وكالف، وظائف التجميع: دليل للممارسين ، سبرينغر، نيويورك 2007.
  • وانغ، تشن يوان، وجورج ج. كلير ، نظرية القياس الضبابي ، مطبعة بلينوم، نيويورك، 1991.