الازدواجية (نظرية النظام)

في مجال نظرية الترتيب الرياضي ، تُنتج كل مجموعة مرتبة جزئيًا P مجموعة مرتبة جزئيًا مقابلة (أو معاكسة ) يُرمز لها غالبًا بـ P ^_op أو P ^_d . تُعرَّف هذه المجموعة المقابلة P ^{_op بأنها المجموعة نفسها، ولكن} بترتيب معكوس ، أي أن x ≤ y يتحقق في P ^_op إذا وفقط إذا كان y ≤ x يتحقق في P. من السهل ملاحظة أن هذا البناء، الذي يمكن تمثيله بقلب مخطط هاس للمجموعة P رأسًا على عقب، سينتج عنه بالفعل مجموعة مرتبة جزئيًا. بمعنى أوسع، يُقال أيضًا إن مجموعتين مرتبتين جزئيًا متقابلتان إذا كانتا متماثلتين ثنائيًا ، أي إذا كانت إحدى المجموعتين متماثلة الترتيب مع المجموعة المقابلة للأخرى.

تكمن أهمية هذا التعريف البسيط في إمكانية نقل كل تعريف ونظرية في نظرية الترتيب بسهولة إلى الترتيب الثنائي. ويُجسد ذلك رسميًا مبدأ الازدواجية للمجموعات المرتبة.

إذا كانت عبارة معينة صالحة لجميع المجموعات المرتبة جزئيًا، فإن عبارتها المزدوجة، التي تم الحصول عليها عن طريق عكس اتجاه جميع علاقات الترتيب وعن طريق مضاعفة جميع تعريفات نظرية الترتيب المعنية، تكون صالحة أيضًا لجميع المجموعات المرتبة جزئيًا.

إذا كان تعريف أو عبارة ما مكافئًا لنظيره، يُقال إنه ثنائي ذاتي . تجدر الإشارة إلى أن دراسة الترتيب الثنائي أساسية لدرجة أنها غالبًا ما تظهر ضمنيًا عند كتابة ≥ للدلالة على الترتيب الثنائي لـ ≤ دون تقديم أي تعريف مسبق لهذا الرمز "الجديد".

بطبيعة الحال، هناك عدد كبير من الأمثلة على المفاهيم المزدوجة:

• أعظم العناصر وأصغر العناصر
• العناصر القصوى والعناصر الدنيا
• الحدود العليا الدنيا (suprema, ∨) والحدود الدنيا القصوى (infima, ∧)
• مجموعات علوية ومجموعات سفلية
• المُثُل والفلاتر​
• عوامل الإغلاق وعوامل النواة .

من أمثلة المفاهيم التي تتسم بالازدواجية الذاتية ما يلي:

• كونها شبكة ( كاملة )
• رتابة الدوال
• توزيعية الشبكات ، أي الشبكات التي يكون فيها ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ) هي بالضبط تلك التي يكون فيها البيان المزدوج ∀ x , y , z : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) ^{[ 1 ]}
• كونها جبرًا منطقيًا
• كونه تماثلاً ترتيبياً .

بما أن الترتيبات الجزئية متناظرة عكسياً ، فإن العلاقات الوحيدة التي تكون ذاتية التناظر هي علاقات التكافؤ (لكن مفهوم الترتيب الجزئي هو ذاتي التناظر).

• العلاقة العكسية
• قائمة بمواضيع الجبر البولياني
• نقل الرسم البياني
• الازدواجية في نظرية الفئات ، والتي تعتبر الازدواجية في نظرية الترتيب حالة خاصة منها.

• ديفي، بكالوريوس؛ بريستلي، هـ. أ. (2002)، مقدمة في الشبكات والترتيب (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-78451-1