المثالية (نظرية النظام)

في نظرية الترتيب الرياضي ، يُعرَّف المثالي بأنه مجموعة جزئية خاصة من مجموعة مرتبة جزئيًا (poset). مع أن هذا المصطلح اشتُق تاريخيًا من مفهوم مثالي الحلقة في الجبر المجرد ، فقد عُمِّم لاحقًا إلى مفهوم مختلف. للمثالي أهمية بالغة في العديد من البنى في نظرية الترتيب ونظرية الشبكات .

مجموعة جزئية I من مجموعة مرتبة جزئياً${\displaystyle (P,\leq )}$يُعتبر مثالياً إذا تحققت الشروط التالية: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. I غير فارغ ،
2. لكل x في I و y في P ، فإن y ≤ x يعني أن y في I  ( I هي مجموعة دنيا ).
3. لكل x و y في I ، يوجد عنصر z في I ، بحيث يكون x ≤ z و y ≤ z  ( I هي مجموعة موجهة ).

مع أن هذه هي الطريقة الأكثر عمومية لتعريف المثالي لأي مجموعة جزئية مرتبة، إلا أنها عُرِّفت في الأصل للشبكات فقط. في هذه الحالة، يمكن تقديم التعريف المكافئ التالي: مجموعة جزئية I من شبكة${\displaystyle (P,\leq )}$تكون المجموعة مثالية إذا وفقط إذا كانت مجموعة دنيا مغلقة تحت عمليات الربط المنتهية ( المجموعات العليا )؛ أي أنها غير فارغة، ولكل x و y في I ، يكون العنصر${\displaystyle x\vee y}$[ ^{3 ]} P ^موجود أيضًا في I.

يُعرَّف مفهوم أضعف للمثالي المرتب بأنه مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئياً P تحقق الشرطين 1 و2 المذكورين أعلاه. بعبارة أخرى، المثال المرتب هو ببساطة مجموعة دنيا . وبالمثل، يمكن تعريف المثال أيضاً بأنه "مجموعة دنيا موجهة".

المفهوم المزدوج للمثال، أي المفهوم الذي يتم الحصول عليه عن طريق عكس جميع القيم ≤ واستبدالها${\displaystyle \vee }$مع${\displaystyle \wedge ,}$هو مرشح .

تُعتبر مُثُل فرينك ، والمُثُل الزائفة، والمُثُل الزائفة لدويلي تعميمات مختلفة لمفهوم مُثُل الشبكة.

يقال إن المثالي أو المرشح ^مناسب إذا لم يكن مساوياً للمجموعة الكاملة P. [ ^{3 ]}

أصغر مثالي يحتوي على عنصر معين p هويُقال إن المبدأ الأساسي وpالعنصر الأساسي للمثال الأعلى في هذه الحالة. المثال الأعلى الرئيسي${\displaystyle \downarrow p}$وبالتالي فإن p الرئيسي يُعطى بواسطة ↓ p = { x ∈ P | x ≤ p } .

التعريفات المذكورة أعلاه لمصطلحي "المثالي" و"المثالي للنظام" هي التعريفات القياسية، ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} ولكن ثمة بعض الالتباس في المصطلحات. ففي بعض الأحيان، قد تحمل كلمات وتعريفات مثل "المثالي" و"المثالي للنظام" و" مثالي فرينك " أو "المثالي الجزئي للنظام" معاني متطابقة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

تُشكل المُثُل التي تكون مُكملاتها في نظرية المجموعات عبارة عن مُرشحات، أي المُثُل بالترتيب العكسي، حالة خاصة مهمة من المُثُل. تُسمى هذه المُثُلالمثاليات الأولية . تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه بما أننا نشترط أن تكون المثاليات والمرشحات غير فارغة، فإن كل مثالي أولي يكون بالضرورة مثاليًا حقيقيًا. بالنسبة للشبكات، يمكن وصف المثاليات الأولية على النحو التالي:

مجموعة جزئية I من شبكة${\displaystyle (P,\leq )}$هو مثال مثالي، إذا وفقط إذا

1. I هو مثال مثالي لـ P ، و
2. لجميع العناصر x و y من P ،${\displaystyle x\wedge y}$يشير مصطلح " في I" إلى أن x ∈ I أو y ∈ I.

من السهل التحقق من أن هذا يعادل بالفعل القول بأن${\displaystyle P\setminus I}$هو مرشح (وهو أيضاً عدد أولي، بالمعنى المزدوج).

بالنسبة للشبكة الكاملة، فإن المفهوم الإضافي لـإنّ مفهوم المثالي الأولي الكامل ذو معنى. يُعرَّف بأنه مثالي حقيقيIيتميز بخاصية إضافية، وهي أنه كلما كان الحد الأدنى (الحد الأدنى) لمجموعة A ما ينتمي إلى I ، فإنّ أحد عناصرAينتمي أيضًا إلىI.لذا، فهو مجرد مثالي أولي محدد يُعمِّم الشروط المذكورة أعلاه لتشمل الحدود اللانهائية.

إن وجود المُثُل الأولية ليس بديهيًا في العموم، وغالبًا ما يتعذر استنتاج عدد كافٍ منها ضمن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) دون بديهية الاختيار . وقد نُوقشت هذه المسألة في العديد من نظريات المُثُل الأولية ، التي تُعد ضرورية للعديد من التطبيقات التي تتطلب وجودها.

أنا المثالي هويكون المثالي الأعظم هو المثالي الصحيح، ولا يوجدمثاليصحيحJيمثل مجموعة شاملة صارمة لـI.وبالمثل، يكون المرشحFأعظميًا إذا كان صحيحًا، ولا يوجد مرشح صحيح يمثل مجموعة شاملة صارمة.

عندما تكون المجموعة المرتبة جزئياً عبارة عن شبكة توزيعية ، فإن المثاليات القصوى والمرشحات تكون بالضرورة أولية، في حين أن عكس هذه العبارة خاطئ بشكل عام.

تُسمى المرشحات القصوى أحيانًا بالمرشحات الفائقة ، ولكن هذا المصطلح يُستخدم غالبًا في الجبر البولياني، حيث يكون المرشح الأقصى (المثالي) مرشحًا (مثاليًا) يحتوي على عنصر واحد فقط من العناصر { a , ¬a } ، لكل عنصر a في الجبر البولياني. في الجبر البولياني، يتطابق مصطلحا " المثالي الأولي" و "المثالي الأقصى" ، وكذلك مصطلحا " المرشح الأولي" و "المرشح الأقصى" .

هناك مفهوم آخر مثير للاهتمام حول عظمة المُثُل: لنفترض مُثُلاً I ومرشحاً F بحيث يكون I منفصلاً عن F. نهتم بمُثُل M الذي يكون أعظمياً بين جميع المُثُل التي تحتوي على I وتكون منفصلة عن F. في حالة الشبكات التوزيعية، يكون M دائماً مُثُلاً أولياً. فيما يلي برهان هذه العبارة.

مع ذلك، ليس من الواضح عمومًا ما إذا كان يوجد أي مثالي M يكون أقصى بهذا المعنى. ولكن، إذا افترضنا بديهية الاختيار في نظرية المجموعات لدينا، فإنه يمكن إثبات وجود M لكل زوج مرشح-مثالي منفصل. في الحالة الخاصة التي يكون فيها الترتيب المدروس جبرًا بوليانيًا ، تُسمى هذه النظرية بنظرية المثالي الأولي البولياني . وهي أضعف من بديهية الاختيار، ويتضح أنه لا حاجة إلى أكثر من ذلك للعديد من تطبيقات نظرية الترتيب للمثالي.

يُعد بناء المُثُل والمرشحات أداة مهمة في العديد من تطبيقات نظرية النظام.

• في نظرية تمثيل ستون للجبر البولياني ، يتم استخدام المُثُل القصوى (أو، بشكل مكافئ عبر خريطة النفي، المرشحات الفائقة) للحصول على مجموعة نقاط الفضاء الطوبولوجي ، والتي تكون مجموعاتها المفتوحة والمغلقة متماثلة مع الجبر البولياني الأصلي.
• تُعرف نظرية الترتيب العديد من إجراءات الإكمال لتحويل المجموعات المرتبة جزئيًا إلى مجموعات مرتبة جزئيًا ذات خصائص إكمال إضافية . على سبيل المثال، الإكمال المثالي لترتيب جزئي مُعطى P هو مجموعة جميع المُثُل في P مرتبة حسب احتواء المجموعات الجزئية. يُنتج هذا البناء المجموعة المرتبة جزئيًا الحرة المُولَّدة بواسطة P. يكون المُثُل رئيسيًا إذا وفقط إذا كان مُتراصًا في الإكمال المثالي، لذا يُمكن استعادة المجموعة المرتبة جزئيًا الأصلية كمجموعة فرعية مُكوَّنة من عناصر مُتراصة. علاوة على ذلك، يُمكن إعادة بناء كل مجموعة مرتبة جزئيًا جبرية كإكمال مثالي لمجموعة عناصرها المُتراصة.

قدّم مارشال هـ. ستون مفهوم المُثُل لأول مرة في سياق الجبر البولياني ، ^{[ 8 ]} حيث اشتُقّ الاسم من مُثُل الحلقات في الجبر المجرد. وقد اعتمد هذا المصطلح لأنه، باستخدام تماثل فئات الجبر البولياني وفئات الحلقات البوليانية ، يتطابق المفهومان بالفعل.

قام فرينك بتعميم ذلك على أي مجموعات جزئية مرتبة . ^{[ 9 ]}

• المرشح (الرياضيات) - مجموعة فرعية خاصة من مجموعة مرتبة جزئيًا 
• المثالي (نظرية الحلقات) - وحدة فرعية من حلقة رياضية 
• مثالي على مجموعة - عائلة غير فارغة من المجموعات مغلقة تحت الاتحادات والمجموعات الجزئية المنتهية 
• مثالي شبه المجموعة
• نظرية المثالي الأولي البولياني – يمكن توسيع المثاليات في الجبر البولياني لتشمل المثاليات الأولية 

• بوريس، ستانلي ن.؛ سانكابانافار، هانامانتاغودا ب. (1981). دورة في الجبر الشامل . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-90578-2.
• ديفي، برايان أ.؛ بريستلي، هيلاري آن (2002). مقدمة في الشبكات والنظام (الطبعة الثانية  ). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-78451-4.
• تايلور، بول (1999)، الأسس العملية للرياضيات ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  59، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، ISBN 0-521-63107-6MR 1694820​ 
• فرينشمان، زاك؛ هارت، جيمس (2020)، مقدمة في نظرية النظام ، الجمعية الأمريكية للرياضيات