مقدمة في الشبكات والترتيب

كتاب "مقدمة في الشبكات والترتيب" هو كتاب رياضي في نظرية الترتيب من تأليف برايان أ. ديفي وهيلاري بريستلي . نُشر بواسطة مطبعة جامعة كامبريدج ضمن سلسلة كتب كامبريدج الرياضية عام 1990، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وصدرت طبعة ثانية منه عام 2002. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} تختلف الطبعة الثانية اختلافًا كبيرًا في مواضيعها وتنظيمها، وقد نُقحت لتضمين التطورات الحديثة في هذا المجال، لا سيما في تطبيقاته في علوم الحاسوب . ^{[ 4 ] [ 6 ]} وقد أوصت لجنة قائمة المكتبات الأساسية التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية بإدراجه في مكتبات الرياضيات الجامعية. ^{[ 7 ]}

يحتوي كلا الإصدارين من الكتاب على 11 فصلاً؛ في الإصدار الثاني، تم تنظيم الفصول بحيث توفر الفصول الأربعة الأولى مرجعًا عامًا لعلماء الرياضيات وعلماء الحاسوب، بينما تركز الفصول السبعة المتبقية على مواد أكثر تخصصًا لعلماء المنطق وعلماء الطوبولوجيا ونظريات الشبكات . ^{[ 4 ]}

يتناول الفصل الأول المجموعات المرتبة جزئيًا ، مع مثال أساسي يتمثل في الدوال الجزئية المرتبة وفقًا لعلاقة المجموعات الجزئية على رسومها البيانية ، ويغطي مفاهيم أساسية تشمل العناصر العليا والسفلى والمجموعات العليا والسفلى . تقود هذه الأفكار إلى الفصل الثاني، حول الشبكات ، حيث يكون لكل عنصرين (أو في الشبكات الكاملة ، لكل مجموعة) حد أدنى أكبر وحد أعلى أصغر . يتضمن هذا الفصل بناء شبكة من المجموعات السفلى لأي ترتيب جزئي، ونظرية كناستر-تارسكي التي تُنشئ شبكة من النقاط الثابتة لدوال تحافظ على الترتيب على شبكة كاملة. أما الفصل الثالث فيتناول تحليل المفاهيم الرسمي ، وبناء "شبكات المفاهيم" من مجموعات الكائنات وخصائصها، حيث يمثل كل عنصر من عناصر الشبكة مجموعة من الكائنات ومجموعة من الخصائص التي تمتلكها تلك الكائنات، وشمولية هذا البناء في تكوين الشبكات الكاملة. يتناول الفصل الرابع من الفصول التمهيدية فئات خاصة من الشبكات، بما في ذلك الشبكات المعيارية والشبكات التوزيعية والشبكات البولية . ^{[ 5 ]}

في الجزء الثاني من الكتاب، يتناول الفصل الخامس نظرية أن كل شبكة بولية منتهية متماثلة مع شبكة المجموعات الجزئية لمجموعة منتهية، ونظرية بيركوف للتمثيل (بشكل أقل وضوحًا) التي تنص على أن كل شبكة توزيعية منتهية متماثلة مع شبكة المجموعات الدنيا لترتيب جزئي منتهٍ. ويغطي الفصل السادس علاقات التطابق على الشبكات. أما مواضيع الفصل السابع فتشمل عمليات الإغلاق وروابط غالوا على الترتيبات الجزئية، وإكمال ديديكيند-ماكنيل لترتيب جزئي إلى أصغر شبكة كاملة تحتوي عليه. ويتناول الفصلان التاليان الترتيبات الجزئية الكاملة ، ونظريات النقطة الثابتة الخاصة بها، وأنظمة المعلومات، وتطبيقاتها في الدلالات التفسيرية . يتناول الفصل العاشر المكافئات النظرية للترتيب لبديهية الاختيار ، بما في ذلك امتدادات نظريات التمثيل من الفصل الخامس إلى الشبكات اللانهائية، ويتناول الفصل الأخير تمثيل الشبكات ذات الفضاءات الطوبولوجية ، بما في ذلك نظرية تمثيل ستون للجبر البولياني ونظرية الازدواجية للشبكات التوزيعية . ^{[ 5 ]}

يحتوي الملحقان على معلومات أساسية في علم الطوبولوجيا اللازمة للفصل الأخير، بالإضافة إلى قائمة مراجع مشروحة. ^{[ 6 ]}

يستهدف هذا الكتاب طلاب الدراسات العليا المبتدئين، ^{[ 2 ]} مع أنه يُمكن استخدامه أيضًا من قِبل طلاب المرحلة الجامعية المتقدمة. ^{[ 6 ]} وتجعله تمارينه الكثيرة مناسبًا ككتاب دراسي، ^{[ 2 ] [ 3 ]} إذ تُسهم في استكمال التفاصيل الواردة في الكتاب، وتُقدّم إشارات إلى مواضيع إضافية. ^{[ 5 ]} ورغم أن الكتاب يتطلب بعض المعرفة الرياضية، فإنّ المتطلبات الأساسية هي الرياضيات المتقطعة ، والجبر المجرد ، ونظرية الزمر . ^{[ 2 ] [ 5 ]}

يصف المراجع جوزيف نيدرلي الطبعة الأولى بأنها "كتاب دراسي ممتاز"، و"حديثة وواضحة". ^{[ 3 ]} وبالمثل، يشيد توماس إس. بليث بالطبعة الأولى واصفًا إياها بأنها "عرض جيد ومُرضٍ وغني بالمعلومات ومحفز للتطبيقات ذات الأهمية الكبيرة". ^{[ 1 ]} وفي مراجعة مُحدثة، يكتب أن الطبعة الثانية لا تقل جودة عن الأولى. ^{[ 4 ]} كذلك، على الرغم من أن جون كوهين لديه بعض الملاحظات على ترتيب واختيار المواضيع (لا سيما إدراج التطابقات على حساب النظرة الفئوية للموضوع)، إلا أنه يخلص إلى أن الكتاب "مقدمة رائعة وسهلة الفهم لنظرية الشبكات، ذات أهمية متساوية لكل من علماء الحاسوب والرياضيين". ^{[ 5 ]}

يشير كل من بليث وكوهين إلى الاستخدام الماهر لبرنامج LaTeX في الكتاب لإنشاء الرسوم البيانية، وإلى وصفه المفيد لكيفية إنشاء هذه الرسوم. ^{[ 1 ] [ 5 ]}