مبدأ دوهاميل

تمثل معادلة الموجة الخطية الإزاحة u لوتر أحادي البعد مثالي عديم التشتت، من حيث المشتقات بالنسبة للزمن t والمكان x :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=f(x,t).}$$

تمثل الدالة f ( x , t ) ، بوحداتها الطبيعية ، قوة خارجية مطبقة على وتر عند الموضع ( x , t ) . ولكي تكون نموذجًا فيزيائيًا مناسبًا للطبيعة، يجب أن يكون من الممكن حلها لأي حالة ابتدائية يكون عليها الوتر، والتي تُحدد بإزاحته وسرعته الابتدائيتين.

$${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x),\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=v_{0}(x).}$$

وبشكل عام، ينبغي أن نكون قادرين على حل المعادلة باستخدام البيانات المحددة على أي شريحة t = ثابت = T :

$${\displaystyle u(x,T)=u_{T}(x),\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,T)=v_{T}(x).}$$

للحصول على حل من أي فترة زمنية معينة T إلى T + dT ، يجب إضافة تأثير القوة إلى الحل. وينتج هذا التأثير عن تغيير سرعة الوتر بمقدار f ( x , T ) dT . أي، للحصول على الحل عند الزمن T + dT من الحل عند الزمن T ، يجب إضافة حل جديد (مباشر) لمعادلة الموجة المتجانسة (بدون قوى خارجية).

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=0}$$

مع الشروط الأولية

$${\displaystyle U(x,T)=0,\qquad {\frac {\partial U}{\partial t}}(x,T)=f(x,T)dT.}$$

يمكن التوصل إلى حل لهذه المعادلة عن طريق التكامل المباشر:

$${\displaystyle U(x,t)=\left({\frac {1}{2c}}\int _{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)}f(\xi ,T)\,d\xi \right)\,dT}$$

(التعبير بين قوسين هو فقط${\displaystyle P^{T}f(x,t)}$(في تدوين الطريقة العامة أعلاه.) لذلك يتم الحصول على حل لمسألة القيمة الأولية الأصلية من خلال البدء بحل للمسألة مع نفس مسألة القيم الأولية المحددة ولكن مع إزاحة أولية صفرية ، وإضافة (تكامل) مساهمات القوة المضافة في الفترات الزمنية من T إلى T + dT :

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x+ct)+u_{0}(x-ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}v_{0}(y)dy+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)}f(\xi ,T)\,d\xi \,dT.}$$

مبدأ دوهاميل هو النتيجة التي مفادها أنه يمكن إيجاد حل لمعادلة تفاضلية جزئية خطية غير متجانسة عن طريق إيجاد الحل أولاً عند إدخال قيمة متدرجة، ثم تطبيق التكامل باستخدام تكامل دوهاميل . لنفترض أن لدينا معادلة تفاضلية عادية غير متجانسة من الرتبة m ذات معاملات ثابتة . $${\displaystyle P(\partial _{t})u(t)=F(t)}$$$${\displaystyle \partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1}$$ أين $${\displaystyle P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.}$$

يمكننا اختزال ذلك إلى حل معادلة تفاضلية متجانسة باستخدام الطريقة التالية. جميع الخطوات تتم بشكل رسمي، مع تجاهل المتطلبات الضرورية لكي يكون الحل محددًا جيدًا.

لنقم أولاً بحل G$${\displaystyle P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.}$$

يُعرِّف${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )}}$، مع${\displaystyle \chi _{[0,\infty )}}$كونها الدالة المميزة للفترة${\displaystyle [0,\infty )}$ثم لدينا

$${\displaystyle P(\partial _{t})H=\delta }$$

بمعنى التوزيعات . لذلك

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=(H\ast F)(t)\\&=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

يحل المعادلة التفاضلية العادية.

بشكل أعم، لنفترض أن لدينا معادلة تفاضلية جزئية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة

$${\displaystyle P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)}$$

أين $${\displaystyle D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}.}$$

يمكننا اختزال ذلك إلى حل معادلة تفاضلية متجانسة باستخدام الطريقة التالية. جميع الخطوات تتم بشكل رسمي، مع تجاهل المتطلبات الضرورية لكي يكون الحل محددًا جيدًا.

أولاً، بأخذ تحويل فورييه في x نحصل على $${\displaystyle P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).}$$

افترض أن${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$هي معادلة تفاضلية عادية من الرتبة m في t .${\displaystyle a_{m}}$ليكن معامل الحد ذي الرتبة الأعلى من${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$الآن لكل${\displaystyle \xi }$يترك${\displaystyle G(t,\xi )}$يحل $${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\text{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.}$$

يُعرِّف${\displaystyle H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)}$ثم لدينا $${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)}$$ بمعنى التوزيعات . لذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {u}}(t,\xi )&=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)\\&=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi ){\hat {F}}(t-\tau ,\xi )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi ){\hat {F}}(\tau ,\xi )\,d\tau \end{aligned}}}$$ يحل المعادلة التفاضلية الجزئية (بعد التحويل مرة أخرى إلى x ).

يمكن أيضًا التعبير عن مبدأ دوهاميل بدلالة دالة غرين . لنفترض${\displaystyle L}$هو عامل تطور خطي و${\displaystyle G(x,t;y,s)}$هي دالة غرين المتأخرة ، بحيث تنتشر الاضطرابات للأمام فقط في الزمن. إذا${\displaystyle u_{\mathrm {hom} }}$يشير إلى حل المسألة المتجانسة المقابلة مع البيانات الأولية والحدودية المعطاة، ثم حل $${\displaystyle Lu=f}$$ رسميًا $${\displaystyle u(x,t)=u_{\mathrm {hom} }(x,t)+\int _{0}^{t}\int _{D}G(x,t;y,s)\,f(y,s)\,dy\,ds.}$$

عندما تكون المعاملات مستقلة عن الزمن، فإن النواة تعتمد عادةً على${\displaystyle t-s}$بدلاً من ذلك${\displaystyle t}$و${\displaystyle s}$بشكل منفصل، يصبح حد دوهاميل عبارة عن التفاف زمني. وبهذا المعنى، يُعد مبدأ دوهاميل نظيرًا زمنيًا لحل معادلة غير متجانسة عن طريق التفاف حد الإجبار مع حل أساسي. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

في نظرية شبه الزمر، تُستخدم الصيغة التكاملية التي يوفرها مبدأ دوهاميل أيضًا لتعريف حل ضعيف . إذا${\displaystyle A}$يُولد شبه مجموعة متصلة بقوة${\displaystyle S(t)}$، ثم $${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}+\int _{0}^{t}S(t-s)f(s)\,ds}$$ يكون ذلك منطقياً في ظل فرضيات أضعف من تلك المطلوبة لتفاضل المعادلة نقطة بنقطة.

وهكذا، حتى عندما${\displaystyle u}$ليس من المعروف مسبقًا أنها قابلة للتفاضل في الزمن أو أنها تقع في مجال${\displaystyle A}$لكل${\displaystyle t}$قد تُعرّف الصيغة المذكورة أعلاه حلاً جيداً بمعنى تكاملي؛ ويُسمى هذا حلاً ضعيفاً . في ظل افتراضات انتظام أقوى على${\displaystyle u_{0}}$و${\displaystyle f}$الحل المعتدل هو في الواقع حل كلاسيكي ويحقق المعادلة التفاضلية نقطة بنقطة. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

يُعد هذا التمييز مهمًا في دراسة المعادلات غير الخطية، حيث غالبًا ما يتم الحصول على نتائج الوجود المحلي والعالمي أولًا للحلول الضعيفة، ثم يتم تطويرها لاحقًا إلى مفاهيم أقوى للحل عندما تتوفر انتظامية إضافية. ^{[ 9 ]}