معادلة الموجة

نبضة تنتقل عبر وتر ذي نهايات ثابتة كما هو موضح في معادلة الموجة

موجات كروية قادمة من مصدر نقطي

حل لمعادلة الموجة ثنائية الأبعاد

معادلة الموجة هي معادلة تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الثانية تُستخدم لوصف الموجات أو حقول الموجات المستقرة ، مثل الموجات الميكانيكية ( كموجات الماء والصوت والزلازل ) أو الموجات الكهرومغناطيسية (بما في ذلك موجات الضوء ). وتظهر هذه المعادلة في مجالات مثل الصوتيات والكهرومغناطيسية وديناميكا الموائع .

تركز هذه المقالة على الموجات في الفيزياء الكلاسيكية . أما فيزياء الكم فتستخدم معادلة موجية قائمة على المؤثرات، غالباً كمعادلة موجية نسبية .

مقدمة

معادلة الموجة هي معادلة تفاضلية جزئية زائدية تصف الموجات، بما في ذلك الموجات المتحركة والموجات المستقرة ؛ ويمكن اعتبار الأخيرة تراكبًا خطيًا لموجات تتحرك في اتجاهين متعاكسين. تركز هذه المقالة بشكل أساسي على معادلة الموجة العددية التي تصف الموجات في الكميات العددية بواسطة الدوال العددية. $u=u(x,y,z,t)$ متغير زمني $t$ (متغير يمثل الزمن) ومتغير مكاني واحد أو أكثر $x,y,z$ (المتغيرات التي تمثل موضعًا في الفضاء قيد البحث). في الوقت نفسه، توجد معادلات الموجة المتجهة التي تصف الموجات المتجهة ، مثل موجات المجال الكهربائي، والمجال المغناطيسي، والجهد المتجه المغناطيسي، والموجات المرنة . وبالمقارنة مع معادلات الموجة المتجهة، يمكن اعتبار معادلة الموجة القياسية حالة خاصة منها؛ ففي نظام الإحداثيات الديكارتية ، تُعد معادلة الموجة القياسية هي المعادلة التي يجب أن يحققها كل مكون (لكل محور إحداثي، مثل المحور الرأسي). $x$ المكون (على المحور السيني ) لموجة متجهة بدون مصادر موجات في المجال المدروس (أي المكان والزمان). على سبيل المثال، في نظام الإحداثيات الديكارتية، لـ $(E_{x},E_{y},E_{z})$ باعتبارها تمثيلاً لموجة المجال الكهربائي المتجه ${\vec {E}}$ في غياب مصادر الموجات، كل مكون من مكونات محور الإحداثيات $E_{i},i=x,y,z,$ يجب أن تحقق معادلة الموجة العددية. حلول أخرى لمعادلة الموجة العددية $u$ هي لكميات فيزيائية عددية مثل الضغط في سائل أو غاز، أو الإزاحة على طول اتجاه محدد لجزيئات جسم صلب مهتز بعيدًا عن مواضع سكونها (مواضع التوازن).

معادلة الموجة العددية هي

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)$

أين

$c$ هو معامل حقيقي ثابت غير سالب يمثل سرعة انتشار الموجة
$u$ هو حقل قياسي يمثل الإزاحة أو، بشكل أعم، الكمية المحفوظة (مثل الضغط أو الكثافة )
$x,y,$ و $z$ هي الإحداثيات المكانية الثلاث و $t$ كونها إحداثيات الوقت.

تنص المعادلة على أنه عند أي نقطة معينة، تكون المشتقة الثانية لـ $u$ بالنسبة للزمن، يتناسب مع مجموع المشتقات الثانية لـ $u$ بالنسبة للفضاء، حيث يكون ثابت التناسب هو مربع سرعة الموجة.

باستخدام رموز حساب المتجهات ، يمكن كتابة معادلة الموجة بشكل مختصر على النحو التالي: $u_{tt}=c^{2}\Delta u,$ أو $\Box u=0,$ حيث يشير الرمز السفلي المزدوج إلى المشتقة الجزئية من الرتبة الثانية بالنسبة للزمن، $\Delta$ هو عامل لابلاس و $\Box$ عامل دالمبير ، المعرّف على النحو التالي: $\displaystyle u_{tt}=\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta =\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box =\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .}$

قد يكون حل معادلة الموجة (ثنائية الاتجاه) هذه معقدًا للغاية. ومع ذلك، يمكن تحليلها على أنها توليفة خطية من حلول بسيطة، وهي عبارة عن موجات مستوية جيبية ذات اتجاهات انتشار وأطوال موجية مختلفة، ولكن جميعها بنفس سرعة الانتشار. $c$ هذا التحليل ممكن لأن معادلة الموجة خطية ومتجانسة، بحيث يكون أي مضاعف للحل حلاً أيضاً، ومجموع أي حلين هو حل كذلك. تُعرف هذه الخاصية في الفيزياء بمبدأ التراكب .

لا تُحدد معادلة الموجة وحدها حلاً فيزيائياً؛ وعادةً ما يُحصل على حل فريد من خلال صياغة المسألة بشروط إضافية، مثل الشروط الابتدائية ، التي تُحدد سعة الموجة وطورها. وهناك فئة أخرى مهمة من المسائل تظهر في فضاءات مغلقة محددة بشروط حدودية ، حيث تُمثل الحلول موجات مستقرة ، أو توافقيات ، تُشابه توافقيات الآلات الموسيقية.

معادلة الموجة في بُعد مكاني واحد

يمكن كتابة معادلة الموجة في بُعد مكاني واحد على النحو التالي: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$ توصف هذه المعادلة عادةً بأنها ذات بُعد مكاني واحد فقط $x$ لأن المتغير المستقل الآخر الوحيد هو الوقت $t$ .

الاشتقاق

يمكن اشتقاق معادلة الموجة في بُعد مكاني واحد في مجموعة متنوعة من السياقات الفيزيائية المختلفة. ومن أشهرها، إمكانية اشتقاقها لحالة وتر يهتز في مستوى ثنائي الأبعاد، حيث يتم سحب كل عنصر من عناصره في اتجاهين متعاكسين بفعل قوة الشد . ^{[ 2 ]}

يستخدم إطار فيزيائي آخر لاشتقاق معادلة الموجة في بُعد مكاني واحد قانون هوك . في نظرية المرونة ، يُعد قانون هوك تقريبًا لبعض المواد، وينص على أن مقدار تشوه الجسم المادي (الانفعال ) يرتبط خطيًا بالقوة المسببة للتشوه ( الإجهاد ).

قانون هوك

يمكن اشتقاق معادلة الموجة في الحالة أحادية البعد من قانون هوك بالطريقة التالية: تخيل مجموعة من الأوزان الصغيرة ذات الكتلة $m$ متصلة بنوابض عديمة الكتلة بطول ⁠ $h$ ⁠ . معامل مرونة النوابضهو ⁠ $k$ ⁠ :

هنا المتغير التابع $u(x)$ يقيس الإزاحة الأفقية عن وضع التوازن للكتلة الموجودة عند ⁠ $x$ ، بحيث $u(x)$ يقيس هذا المقياس بشكل أساسي مقدار الاضطراب (أي الإجهاد) الذي ينتقل في مادة مرنة. القوة الناتجة المؤثرة على الكتلة $m$ في الموقع $x+h$ يكون: ${\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}$

بمساواة المعادلة الأخيرة مع ${\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}$

معادلة الحركة للوزن عند الموقع ⁠ $x+h$ يتم الحصول على: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].$ إذا كانت مصفوفة الأوزان تتكون من $N$ أوزان موزعة بالتساوي على طول $L=Nh$ من الكتلة الكلية $M=Nm$ ، وثابت الزنبرك الكليللمصفوفة $K=k/N$ يمكننا كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي : ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.$

تجاوز الحد $N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0$ وبافتراض السلاسة، يحصل المرء على ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},$ وهو ما يندرج تحت تعريف المشتقة الثانية . $KL^{2}/M$ يمثل مربع سرعة الانتشار في هذه الحالة بالذات.

نبضة الإجهاد في البار

في حالة نبضة إجهاد تنتشر طوليًا عبر قضيب، يتصرف القضيب بشكل مشابه لعدد لا نهائي من النوابض المتصلة على التوالي، ويمكن اعتباره امتدادًا للمعادلة المشتقة لقانون هوك. يتميز القضيب المنتظم، أي ذو المقطع العرضي الثابت، والمصنوع من مادة مرنة خطية، بصلابة $K$ مقدم من $K={\frac {EA}{L}},$ أين $A$ هي مساحة المقطع العرضي، و $E$ يمثل معامل يونغ للمادة. تصبح معادلة الموجة ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

$AL$ يساوي حجم القضيب، وبالتالي ${\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},$ أين $\rho$ هي كثافة المادة. وتُختزل معادلة الموجة إلى ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

وبالتالي فإن سرعة موجة الإجهاد في قضيب هي ${\sqrt {E/\rho }}$ .

حل عام

النهج الجبري

بالنسبة لمعادلة الموجة أحادية البعد، يمكن إيجاد حل عام بسيط نسبيًا. تعريف متغيرات جديدة ^{[ 3 ]} ${\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}$ يُغيّر معادلة الموجة إلى ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,$ مما يؤدي إلى الحل العام $u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).$

بمعنى آخر، الحل هو مجموع دالة تسير إلى اليمين $F$ ودالة تنتقل إلى اليسار $G$ تعني كلمة "السفر" أن شكل هذه الدوال الفردية العشوائية بالنسبة إلى $x$ يظل ثابتًا، ومع ذلك، يتم نقل الدوال يمينًا ويسارًا مع مرور الوقت بسرعة $c$ وقد استنتج ذلك جان لو رون دالمبير . ^{[ 4 ]}

هناك طريقة أخرى للوصول إلى هذه النتيجة وهي تحليل معادلة الموجة باستخدام عاملين تفاضليين من الدرجة الأولى: $\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.$ ثم، بالنسبة لمعادلتنا الأصلية، يمكننا تعريف $v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},$ ونجد أنه يجب علينا ${\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.$

يمكن حل معادلة الحمل هذه بتفسيرها على أنها تخبرنا بأن المشتقة الاتجاهية لـ $v$ في $(1,-c)$ الاتجاه يساوي صفرًا. هذا يعني أن قيمة $v$ ثابت على الخطوط المميزة من الشكل $x + ct = x 0$ ، وبالتالي فإن $v$ يجب أن تعتمد فقط على $x + ct$ ، أي أن تكون على الصورة $H (x + ct)$ . ثم، لحل المعادلة الأولى (غير المتجانسة) التي تربط $v$ بالنسبة لـ $u$ ، يمكننا ملاحظة أن حلها المتجانس يجب أن يكون دالة على الصورة $F (x - ct)$ ، وذلك بمنطق مشابه لما سبق. بتخمين حل معين على الصورة $G (x + ct)$ ، نجد أن

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).$

بتوسيع الطرف الأيسر، وإعادة ترتيب الحدود، ثم استخدام تغيير المتغيرات، يصبح التعبير $s = x + ct أبسط إلى$

$G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.$

هذا يعني أنه يمكننا إيجاد حل خاص $G$ بالشكل المطلوب عن طريق التكامل. وبالتالي، فقد أثبتنا مرة أخرى أن $u$ تخضع للمعادلة $u (x, t) = F (x - ct) + G (x + ct)$ . ^{[ 5 ]}

بالنسبة لمسألة القيمة الابتدائية ، يمكن تحديد الدالتين $F$ و $G$ اللتين تحققان الشروط الابتدائية: $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

والنتيجة هي صيغة دالمبير : $u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.$

بالمعنى الكلاسيكي، إذا كانت $f (x) \in C k$ و $g (x) \in C k -1$ ، فإن $u (t, x) \in C k$ . مع ذلك، قد تكون الموجتان $F$ و $G$ دوالًا معممة ، مثل دالة دلتا. في هذه الحالة، يمكن تفسير الحل على أنه نبضة تنتقل إلى اليمين أو اليسار.

معادلة الموجة الأساسية هي معادلة تفاضلية خطية ، وبالتالي فهي تخضع لمبدأ التراكب . وهذا يعني أن الإزاحة الكلية الناتجة عن موجتين أو أكثر هي مجموع الإزاحات التي كانت ستحدثها كل موجة على حدة. إضافةً إلى ذلك، يمكن تحليل سلوك الموجة بتقسيمها إلى مركبات، على سبيل المثال، يقسم تحويل فورييه الموجة إلى مركبات جيبية.

الأنماط الذاتية للموجة المستوية

هناك طريقة أخرى لحل معادلة الموجة أحادية البعد، وهي تحليل أنماطها الذاتية الترددية أولاً . النمط الذاتي هو حل يتذبذب مع الزمن بتردد زاوي ثابت ومحدد جيدًا $ω$ ، بحيث يأخذ الجزء الزمني من دالة الموجة الشكل $e - iωt = cos(ωt) - i sin(ωt)$ ، وتكون السعة دالة $f (x)$ للمتغير المكاني $x$ ، مما يعطي فصلًا للمتغيرات لدالة الموجة: $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).$

ينتج عن هذا معادلة تفاضلية عادية للجزء المكاني $f (x)$ : ${\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).$

لذلك، ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),$ وهي تحديدًا معادلة القيم الذاتية للدالة $f (x)$ ، ومن هنا جاء اسم النمط الذاتي. تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة هيلمهولتز ، ولها حلول الموجة المستوية المعروفة. $f(x)=Ae^{\pm ikx},$ مع رقم الموجة $k = ω / c$ .

تكون دالة الموجة الكلية لهذا النمط الذاتي هي التركيبة الخطية $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},$ حيث تعتمد الأعداد المركبة $A$ و $B$ بشكل عام على أي شروط أولية وحدودية للمسألة.

تُعد الأنماط الذاتية مفيدة في بناء حل كامل لمعادلة الموجة، لأن كل نمط منها يتطور مع الزمن بشكل بديهي مع عامل الطور. $e^{-i\omega t},$ بحيث يمكن تحليل الحل الكامل إلى توسيع النمط الذاتي : $u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,$ أو من حيث الموجات المستوية، ${\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}$ وهو مطابق تمامًا للصيغة المستخدمة في الطريقة الجبرية. تُعرف الدوال $s \pm (ω)$ بمكون فورييه ، وتُحدد بالشروط الابتدائية والحدودية. تُعرف هذه الطريقة باسم طريقة مجال التردد ، وهي بديلٌ عن طرق الانتشار المباشر في مجال الزمن ، مثل طريقة FDTD ، لحزمة الموجة $u (x, t)$ ، والتي تُعدّ كاملةً لتمثيل الموجات في غياب تمددات الزمن. وقد طُعن في اكتمال توسيع فورييه لتمثيل الموجات في وجود تمددات الزمن من خلال حلول موجات التردد المتغير التي تسمح بتغير $ω$ مع الزمن . ^{[ 6 ]} ويبدو أن حلول موجات التردد المتغير تُستنتج بشكل خاص من بقايا الرادار الكبيرة جدًا، والتي كانت غير قابلة للتفسير سابقًا، في شذوذ التحليق، وتختلف عن الحلول الجيبية في أنها قابلة للاستقبال على أي مسافة فقط عند ترددات وتمددات زمنية مُزاحة تناسبيًا، بما يتوافق مع حالات التردد المتغير السابقة للمصدر.

معادلة الموجة المتجهة في ثلاثة أبعاد مكانية

يمكن الحصول على معادلة الموجة المتجهة (التي يمكن اشتقاق معادلة الموجة العددية منها مباشرةً) بتطبيق توازن القوى على عنصر حجم متناهي الصغر . إذا كان للوسط معامل مرونة $E$ أي متجانس (أي مستقل عن $\mathbf {x}$ ) داخل عنصر الحجم، فإن موتر الإجهاد الخاص به يُعطى بواسطة $\mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u}$ ، من أجل انحراف مرن متجه $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ . التوازن المحلي لـ:

قوة الشد $\operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u}$ بسبب الانحراف $\mathbf {u}$ ، و
قوة القصور الذاتي $\rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$ ناتج عن التسارع الموضعي $\partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$

يمكن كتابتها على النحو التالي $\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

عن طريق دمج الكثافة $\rho$ ووحدة المرونة $E,$ سرعة الصوت $c={\sqrt {E/\rho }}$ النتائج (قانون المادة). بعد الإدخال، يتبع ذلك معادلة الموجة الحاكمة المعروفة للوسط المتجانس: ^{[ 7 ]} ${\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.$ (ملاحظة: بدلاً من المتجهات) $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),$ كمية قياسية فقط $u(x,t)$ يمكن استخدامها، أي أن الموجات تنتقل فقط على طول $x$ المحور، وتتبع معادلة الموجة العددية على النحو التالي ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$ .)

تُعطي المعادلة التفاضلية الجزئية المتجهة من الرتبة الثانية أعلاه حلين مستقلين. من حد السرعة التربيعي $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ يمكن ملاحظة وجود موجتين تنتقلان في اتجاهين متعاكسين $+c$ و $-c$ من الممكن حدوث ذلك، ومن هنا جاءت تسمية "معادلة الموجة ثنائية الاتجاه". ويمكن إثبات أنه بالنسبة لانتشار الموجات الطولية المستوية ، فإن تركيب معادلتين للموجات أحادية الاتجاه يؤدي إلى معادلة عامة للموجات ثنائية الاتجاه. $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ نتائج معادلة الموجتين الخاصة مع مؤثر دالمبير: ^{[ 8 ]} $\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ ل $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ وهذا يتبسط إلى $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ لذلك، فإن معادلة الموجة أحادية الاتجاه من الدرجة الأولى المتجهة مع الموجات التي تنتقل في اتجاه انتشار محدد مسبقًا $\mathbf {c}$ النتائج ^{[ 9 ]} كـ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

معادلة الموجة العددية في ثلاثة أبعاد مكانية

يمكن الحصول على حل لمسألة القيمة الابتدائية لمعادلة الموجة في ثلاثة أبعاد مكانية من الحل المقابل لموجة كروية. ويمكن استخدام هذه النتيجة أيضاً للحصول على الحل نفسه في بعدين مكانيين.

الموجات الكروية

للحصول على حل بترددات ثابتة، قم بتطبيق تحويل فورييه $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,$ مما يحول معادلة الموجة إلى معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية على الشكل التالي: $\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.$

هذه هي معادلة هيلمهولتز ، ويمكن حلها باستخدام فصل المتغيرات . في الإحداثيات الكروية، يؤدي هذا إلى فصل المتغيرات القطرية والزاوية، وكتابة الحل على النحو التالي: ^{[ 10 ]} $\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).$ يأخذ الجزء الزاوي من الحل شكل التوافقيات الكروية ، بينما تحقق الدالة القطرية ما يلي: $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.$ مستقل عن $m$ ، مع $k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}$ الاستبدال $f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),$ يحوّل المعادلة إلى $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,$ وهي معادلة بيسل .

مثال

لنفترض الحالة $l = 0.$ عندئذٍ، لا يوجد اعتماد على الزاوية، وتعتمد السعة فقط على المسافة القطرية، أي $Ψ(r, t) \to u (r, t)$ . في هذه الحالة، تُختزل معادلة الموجة إلى $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,$ أو $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.$

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي ${\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,$ حيث تحقق الكمية $ru$ معادلة الموجة أحادية البعد. لذلك، توجد حلول على الصورة $u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),$ حيث يمثل $F$ و $G$ حلولاً عامة لمعادلة الموجة أحادية البعد، ويمكن تفسيرهما على أنهما موجتان كرويتان، إحداهما صادرة والأخرى واردة. يمكن توليد الموجة الصادرة من مصدر نقطي ، وهي تُنتج إشارات حادة يتغير شكلها فقط بانخفاض السعة مع ازدياد $r$ (انظر رسمًا توضيحيًا لموجة كروية في أعلى اليمين). توجد هذه الموجات فقط في الفضاءات ذات الأبعاد الفردية.

للاطلاع على أمثلة فيزيائية لحلول معادلة الموجة ثلاثية الأبعاد التي تمتلك اعتمادًا زاويًا، انظر إشعاع ثنائي القطب .

موجة كروية أحادية اللون

على الرغم من أن مصطلح "أحادي اللون" ليس دقيقًا تمامًا، إذ يشير إلى الضوء أو الإشعاع الكهرومغناطيسي ذي التردد المحدد، فإن الهدف هو اكتشاف النمط الذاتي لمعادلة الموجة في ثلاثة أبعاد. وباتباع الاشتقاق الوارد في القسم السابق حول الأنماط الذاتية للموجات المستوية ، إذا قصرنا حلولنا مرة أخرى على الموجات الكروية التي تتذبذب مع الزمن بتردد زاوي ثابت ومحدد $ω$ ، فإن الدالة المحولة $ru (r, t)$ لها ببساطة حلول موجات مستوية. $ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},$ أو $u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.$

ومن هذا يمكننا أن نلاحظ أن ذروة شدة تذبذب الموجة الكروية، والتي تتميز بأنها مربع سعة الموجة $I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},$ تنخفض بمعدل يتناسب مع $1/ r² ،$ وهو مثال على قانون التربيع العكسي .

حل مسألة القيمة الابتدائية العامة

معادلة الموجة خطية في $u$ ولا تتأثر بالانتقالات في المكان والزمان. لذلك، يمكننا توليد مجموعة كبيرة ومتنوعة من الحلول عن طريق نقل وجمع الموجات الكروية. لنفترض أن $φ (ξ, η, ζ)$ دالة اختيارية لثلاثة متغيرات مستقلة، ولنفترض أن شكل الموجة الكروية $F$ دالة دلتا . لنفترض أن مجموعة من الموجات الكروية مركزها عند $(ξ, η, ζ)$ ، ولنفترض أن $r$ هي المسافة القطرية من تلك النقطة.

$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.$

إذا كانت $u$ عبارة عن تراكب لهذه الموجات مع دالة ترجيح $φ$ ، فإن ${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta$ المقام $4 πc$ هو مجرد تسهيل.

انطلاقًا من تعريف دالة دلتا، يمكن كتابة $u أيضًا على النحو التالي:$ $u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,$ حيث $α$ و $β$ و $γ$ هي إحداثيات على الكرة الوحدة $S$ ، و $ω$ هو عنصر المساحة على $S.$ تُفسَّر هذه النتيجة بأن $u (t, x)$ يساوي $t$ مضروبًا في متوسط قيمة $φ$ على كرة نصف قطرها $ct$ ومركزها $x$ . $u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].$

ويترتب على ذلك أن $u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z).$

القيمة المتوسطة هي دالة زوجية لـ $t$ ، وبالتالي إذا $v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},$ ثم $v(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.$

تُقدّم هذه الصيغ حلولًا لمسألة القيمة الابتدائية لمعادلة الموجة. وتُبيّن أن الحل عند نقطة مُعطاة $P$ ، بمعلومية $(t, x, y, z)$ ، يعتمد فقط على البيانات الموجودة على الكرة ذات نصف القطر $ct$ التي يتقاطع معها مخروط الضوء المرسوم للخلف من $P.$ ولا يعتمد على البيانات الموجودة داخل هذه الكرة. وبالتالي، يُعدّ باطن الكرة ثغرةً في الحل. تُعرف هذه الظاهرة بمبدأ هيغنز . وهو صحيح فقط للأعداد الفردية من أبعاد الفضاء، حيث يُجرى التكامل في بُعد واحد على حدود فترة بالنسبة إلى مقياس ديراك . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

معادلة الموجة العددية في بعدين مكانيين

في بُعدين مكانيين، تكون معادلة الموجة هي

$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).$

يمكننا استخدام النظرية ثلاثية الأبعاد لحل هذه المشكلة إذا اعتبرنا $u$ دالة في ثلاثة أبعاد مستقلة عن البعد الثالث.

$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),$

ثم تصبح صيغة الحل ثلاثي الأبعاد

$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,$

حيث $α$ و $β$ هما أول إحداثيين على كرة الوحدة، و $dω$ $هو$ عنصر المساحة على الكرة. يمكن إعادة كتابة هذا التكامل كتكامل مزدوج على القرص $D$ الذي مركزه $(x, y)$ ونصف قطره $ct .$

$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .$

من الواضح أن الحل عند $(t ، x ، y)$ لا يعتمد فقط على البيانات المتعلقة بمخروط الضوء حيث $(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},$ ولكن أيضاً على البيانات الموجودة داخل ذلك المخروط.

معادلة الموجة العددية في الأبعاد العامة وصيغ كيرشوف

نريد إيجاد حلول للمعادلة $u tt - Δ u = 0$ لـ $u : R n \times (0, \infty) \to R$ مع $u (x, 0) = g (x)$ و $u t (x, 0) = h (x)$ . ^{[ 13 ]}

الأبعاد الفردية

لنفترض أن $n \geq 3$ عدد صحيح فردي، وأن $g \in C m + 1 (R n)$ و $h \in C m (R n)$ حيث $m = (n + 1)/2$ . لنفترض أن $γ n = 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (n - 2)$ و

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]$

ثم

$u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}$ ،
$u_{tt}-\Delta u=0$ في $\mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )$ ،
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$ ،
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$ .

حتى الأبعاد

لنفترض أن $n \geq 2$ عدد صحيح زوجي، وأن $g \in C m + 1 (R n)$ و $h \in C m (R n)$ ، حيث $m = (n + 2)/2$ . لنفترض أن $γ n = 2 \times 4 \times \dots \times n$ و

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]$

ثم

$u \in C 2 (R n \times [0, \infty))$
$u tt - Δ u = 0$ في $R n \times (0, \infty)$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$

وظيفة غرين

ضع في اعتبارك معادلة الموجة غير المتجانسة في $1+D$ أبعاد $(\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)$ من خلال إعادة ضبط مقياس الوقت، يمكننا تحديد سرعة الموجة $c=1$ .

بما أن معادلة الموجة $(\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)$ إذا كان ترتيبها الزمني 2، فهناك استجابتان نبضيتان : نبضة تسارع ونبضة سرعة. ويتمثل تأثير إحداث نبضة تسارع في تغيير سرعة الموجة فجأة. $\partial _{t}u$ يتمثل تأثير إحداث نبضة سرعة في تغيير إزاحة الموجة فجأة. $u$ .

بالنسبة لدفع التسارع، $s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)$ أين $\delta$ دالة ديراك دلتا هي دالة ديراك دلتا . ويُطلق على حل هذه الحالة اسم دالة غرين. $G$ بالنسبة لمعادلة الموجة.

بالنسبة لدفع السرعة، $s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)$ لذلك إذا قمنا بحل دالة غرين $G$ الحل في هذه الحالة هو ببساطة $\partial _{t}G$ .

مبدأ دوهاميل

يتمثل الاستخدام الرئيسي لدوال غرين في حل مسائل القيمة الأولية باستخدام مبدأ دوهاميل ، سواء في الحالة المتجانسة أو غير المتجانسة.

بالنظر إلى دالة غرين $G$ ، والشروط الأولية $u(0,x),\partial _{t}u(0,x)$ ، حل معادلة الموجة المتجانسة هو ^{[ 14 ]} $u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u$ حيث تشير العلامة النجمية إلى الالتفاف في الفضاء. وبشكل أكثر تحديدًا، $u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.$ في حالة عدم التجانس، يحتوي الحل على حد إضافي واحد عن طريق الالتفاف على الزمكان : $\iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.$

الحل باستخدام تحويل فورييه

عن طريق تحويل فورييه ، ${\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{-\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}+\cdots +\omega _{D}^{2}}},\quad G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D+1}}}\int {\hat {G}}(\omega )e^{+i\omega _{0}t+i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d\omega _{0}d{\vec {\omega }}.$ ال $\omega _{0}$ يمكن تكامل الحد باستخدام نظرية البواقي . سيتطلب ذلك منا تغيير التكامل قليلاً إما عن طريق $+i\epsilon$ أو عن طريق $-i\epsilon$ لأنها تكامل غير محدود . يعطي أحد الاضطرابين الحل الأمامي، والآخر الحل العكسي. ^{[ 15 ]} يعطي الحل الأمامي $G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int {\frac {\sin(\|{\vec {\omega }}\|t)}{\|{\vec {\omega }}\|}}e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }},\quad \partial _{t}G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int \cos(\|{\vec {\omega }}\|t)e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }}.$ يمكن حل التكامل عن طريق الاستمرار التحليلي لنواة بواسون ، مما يعطي ^{[ 14 ]}^{[ 16 ]} $G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(t-i\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}$ أين $C_{D}=\pi ^{-(D+1)/2}\Gamma ((D+1)/2)$ نصف مساحة سطح $(D+1)$ كرة فائقة الأبعاد . ^{[ 16 ]}

حلول في أبعاد محددة

يمكننا ربط دالة غرين في $D$ أبعاد دالة غرين في $D+n$ الأبعاد (يُمكن تقليل الأبعاد في أي حال، ويُمكن زيادتها في حالة التناظر الكروي). ^{[ 17 ]}

تقليل الأبعاد

بالنظر إلى دالة $s(t,x)$ وحل $u(t,x)$ معادلة تفاضلية في $(1+D)$ الأبعاد، يمكننا بسهولة توسيعها إلى $(1+D+n)$ الأبعاد عن طريق تحديد الأبعاد الإضافية $n$ الأبعاد ثابتة: $s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).$ بما أن دالة غرين مبنية من $s$ و $u$ ، وظيفة غرين في $(1+D+n)$ تتكامل الأبعاد مع وظيفة غرين في $(1+D)$ أبعاد: $G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.$

رفع الأبعاد

دور غرين في $D$ يمكن ربط الأبعاد بدالة غرين في $D+2$ الأبعاد. بالتناظر الكروي، $G_{D}(t,r)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+y^{2}+z^{2}}})dydz.$ التكامل في الإحداثيات القطبية، $G_{D}(t,r)=2\pi \int _{0}^{\infty }G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+q^{2}}})qdq=2\pi \int _{r}^{\infty }G_{D+2}(t,q')q'dq',$ حيث قمنا في المساواة الأخيرة بتغيير المتغيرات $q'={\sqrt {r^{2}+q^{2}}}$ وبذلك، نحصل على علاقة التكرار $G_{D+2}(t,r)=-{\frac {1}{2\pi r}}\partial _{r}G_{D}(t,r).$

الحلول في D = 1، 2، 3

متى $D=1$ الدالة المراد تكاملها في تحويل فورييه هي دالة sinc ${\begin{aligned}G_{1}(t,x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin(|\omega |t)}{|\omega |}}e^{i\omega x}d\omega \\&={\frac {1}{2\pi }}\int \operatorname {sinc} (\omega )e^{i\omega {\frac {x}{t}}}d\omega \\&={\frac {\operatorname {sgn}(t-x)+\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\theta (t-|x|)\quad t>0\\-{\frac {1}{2}}\theta (-t-|x|)\quad t<0\end{cases}}\end{aligned}}$ أين $\operatorname {sgn}$ هي دالة الإشارة و $\theta$ هي دالة الخطوة الوحدية .

يمكن زيادة البعد لإعطاء $D=3$ قضية $G_{3}(t,r)={\frac {\delta (t-r)}{4\pi r}}$ وبالمثل بالنسبة للحل العكسي. يمكن إجراء التكامل لأسفل بمقدار بُعد واحد للحصول على $D=2$ قضية $G_{2}(t,r)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta (t-{\sqrt {r^{2}+z^{2}}})}{4\pi {\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}dz={\frac {\theta (t-r)}{2\pi {\sqrt {t^{2}-r^{2}}}}}$

الجبهات الموجية وآثار الأمواج

في $D=1$ في هذه الحالة، يكون حل دالة غرين هو مجموع جبهتين موجيتين. ${\frac {\operatorname {sgn}(t-x)}{4}}+{\frac {\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}$ يتحركان في اتجاهين متعاكسين.

في الأبعاد الفردية، يكون الحل الأمامي غير صفري فقط عند $t=r$ مع ازدياد الأبعاد، يصبح شكل جبهة الموجة أكثر تعقيدًا، ويتضمن مشتقات أعلى لدالة ديراك دلتا. على سبيل المثال، ^{[ 17 ]} ${\begin{aligned}&G_{1}={\frac {1}{2c}}\theta (\tau )\\&G_{3}={\frac {1}{4\pi c^{2}}}{\frac {\delta (\tau )}{r}}\\&G_{5}={\frac {1}{8\pi ^{2}c^{2}}}\left({\frac {\delta (\tau )}{r^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{2}}}\right)\\&G_{7}={\frac {1}{16\pi ^{3}c^{2}}}\left(3{\frac {\delta (\tau )}{r^{5}}}+3{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{4}}}+{\frac {\delta ^{\prime \prime }(\tau )}{c^{2}r^{3}}}\right)\end{aligned}}$ أين $\tau =t-r$ وسرعة الموجة $c$ تمت استعادتها.

في الأبعاد الزوجية، يكون الحل الأمامي غير صفري في $r\leq t$ تصبح المنطقة بأكملها خلف جبهة الموجة غير صفرية، وتسمى منطقة الاضطراب . معادلة منطقة الاضطراب هي: ^{[ 17 ]} $G_{D}(t,x)=(-1)^{1+D/2}{\frac {1}{(2\pi )^{D/2}}}{\frac {1}{c^{D}}}{\frac {\theta (t-r/c)}{\left(t^{2}-r^{2}/c^{2}\right)^{(D-1)/2}}}$ كما تتضمن جبهة الموجة نفسها مشتقات أعلى بشكل متزايد لدالة ديراك دلتا.

هذا يعني أن مبدأ هيغنز العام – إزاحة الموجة عند نقطة $(t,x)$ يعتمد في الزمكان فقط على الحالة عند النقاط التي تمر على الأشعة المميزة $(t,x)$ – ينطبق هذا فقط في الأبعاد الفردية. التفسير الفيزيائي هو أن الإشارات المنقولة عبر الموجات تبقى غير مشوهة في الأبعاد الفردية، ولكنها مشوهة في الأبعاد الزوجية. ^{[ 18 ]}^{: 698}

تنص فرضية هادامارد على أن مبدأ هيغنز المعمم هذا لا يزال ساريًا في جميع الأبعاد الفردية حتى عندما لا تكون معاملات معادلة الموجة ثابتة. وهي ليست صحيحة تمامًا، ولكنها صحيحة لبعض فئات المعاملات ^{[ 18 ]}^{: 765}

مشاكل تتعلق بالحدود

بُعد مكاني واحد

الانعكاس والانتقال عند حدود وسطين

بالنسبة لموجة ساقطة تنتقل من وسط (حيث سرعة الموجة $c1$ ) إلى وسط آخر (حيث سرعة الموجة $c2) ،$ $فإن$ جزءًا من الموجة سينتقل إلى الوسط الثاني، بينما ينعكس جزء آخر في الاتجاه المعاكس ويبقى في الوسط الأول. ويمكن حساب سعة الموجة المنتقلة والموجة المنعكسة باستخدام شرط الاستمرارية عند الحد الفاصل.

لنفترض مركبة الموجة الساقطة ذات التردد الزاوي ω $،$ والتي لها شكل الموجة $u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .$ عند $الزمن t = 0$ ، تصل الموجة الساقطة إلى الحد الفاصل بين الوسطين عند $x = 0.$ لذلك، ستكون للموجة المنعكسة والموجة المنتقلة أشكال موجية مماثلة. $u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .$ شرط الاستمرارية عند الحدود هو $u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).$ وهذا يعطي المعادلات $A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,$ ولدينا خاصية الانعكاس وخاصية النفاذية ${\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.$ عندما تكون $c₂$ $< c₁ ، فإن$ الموجة المنعكسة يكون لها تغير في طور الانعكاس بمقدار 180 درجة، لأن $B / A < 0.$ ويمكن التحقق من قانون حفظ الطاقة من خلال ${\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.$ المناقشة أعلاه تنطبق على أي مكون، بغض النظر عن تردده الزاوي $ω$ .

الحالة الحدية لـ $c 2 = 0$ تتوافق مع "نهاية ثابتة" لا تتحرك، بينما الحالة الحدية لـ $c 2 \to \infty$ تتوافق مع "نهاية حرة".

صيغة ستورم-ليوفيل

وتر مرن ممتد بين نقطتين $x = 0$ و $x = L$ يحقق معادلة الموجة لـ $t > 0$ و $0 < x < L.$ عند نقاط الحدود، قد تحقق $u$ مجموعة متنوعة من الشروط الحدية. الصيغة العامة المناسبة للتطبيقات هي

${\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}$

حيث $a$ و $b$ قيمتان غير سالبتين. الحالة التي يُشترط فيها أن تنعدم $u عند نقطة نهاية (أي "نهاية ثابتة") هي نهاية هذا الشرط عندما تقترب$ $a$ أو $b$ من اللانهاية. وتتمثل طريقة فصل المتغيرات في البحث عن حلول لهذه المسألة في الصيغة الخاصة $u(t,x)=T(t)v(x).$

ومن النتائج المترتبة على ذلك أن ${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .$

يجب تحديد القيمة الذاتية $λ$ بحيث يكون هناك حل غير تافه لمسألة القيمة الحدية ${\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}$

هذه حالة خاصة من المسألة العامة لنظرية ستورم-ليوفيل . إذا كانت $a$ و $b$ موجبتين، فإن القيم الذاتية تكون جميعها موجبة، والحلول عبارة عن دوال مثلثية . يمكن الحصول على حل يحقق شروطًا ابتدائية قابلة للتكامل التربيعي لـ $u$ و $u t$ من خلال توسيع هذه الدوال في متسلسلة مثلثية مناسبة.

أبعاد مكانية متعددة

حل معادلة الموجة في بعدين مع شرط حدودي بانعدام الإزاحة على طول الحافة الخارجية بأكملها

يمكن توسيع نظرية القيم الحدية الابتدائية أحادية البعد لتشمل أي عدد من أبعاد الفضاء. لنفترض مجالًا $D$ في فضاء $x ذي$ $m$ بُعد ، بحدود $B.$ عندئذٍ، يجب أن تتحقق معادلة الموجة إذا كان $x$ ينتمي إلى $D$ ، و $t$ $> 0.$ على حدود $D$ ، يجب أن يحقق الحل $u الشرط التالي:$

${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,$

حيث $n$ هو متجه الوحدة العمودي الخارجي على $B$ ، و $a$ دالة غير سالبة معرفة على $B.$ الحالة التي تنعدم فيها $u$ على $B$ هي حالة حدية عندما $تقترب$ من اللانهاية. الشروط الابتدائية هي

$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),$

حيث تُعرَّف الدالتان $f$ و $g في$ $الفضاء D.$ يمكن حل هذه المسألة بتوسيع $f$ و $g$ بدلالة الدوال الذاتية لمؤثر لابلاس في $D$ ، والتي تحقق الشروط الحدية. وبالتالي، تحقق الدالة الذاتية $v الشرط التالي:$

$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0$

في $D$ ، و

${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0$

على $B.$

في حالة بُعدين مكانيين، يمكن تفسير الدوال الذاتية على أنها أنماط اهتزاز غشاء طبلة مشدود على الحد $B.$ إذا كان $B$ دائرة، فإن هذه الدوال الذاتية لها مركبة زاوية هي دالة مثلثية للزاوية القطبية $θ$ ، مضروبة في دالة بيسل (من رتبة صحيحة) للمركبة القطرية. للمزيد من التفاصيل، انظر معادلة هيلمهولتز .

إذا كانت الحدود عبارة عن كرة في ثلاثة أبعاد مكانية، فإن المكونات الزاوية للدوال الذاتية هي توافقيات كروية ، والمكونات القطرية هي دوال بيسل من رتبة نصف عدد صحيح.

معادلة الموجة غير المتجانسة في بُعد واحد

معادلة الموجة غير المتجانسة في بُعد واحد هي $u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)$ مع الشروط الأولية $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

تُسمى الدالة $s (x, t)$ غالبًا بدالة المصدر لأنها تصف عمليًا تأثير مصادر الموجات على الوسط الذي تحملها. ومن الأمثلة الفيزيائية على دوال المصدر القوة المحركة للموجة على وتر، أو كثافة الشحنة أو التيار في مقياس لورنز للكهرومغناطيسية .

إحدى طرق حل مسألة القيمة الابتدائية (بالقيم الابتدائية المذكورة أعلاه) هي الاستفادة من خاصية مميزة لمعادلة الموجة في عدد فردي من أبعاد الفضاء، وهي أن حلولها تحافظ على مبدأ السببية. أي أنه لأي نقطة $(xᵢ, tᵢ) ،$ تعتمد قيمة $u ($ $xᵢ$ $,$ $tᵢ$ $)$ فقط على قيم $f ($ $xᵢ$ $+$ $ctᵢ$ $)$ و $f$ $($ $xᵢ$ $-$ $ctᵢ$ $)$ وقيم الدالة $g (x)$ بين $($ $xᵢ$ $-$ $ctᵢ$ $)$ و $($ $xᵢ$ $+$ $ctᵢ$ $)$ $.$ ويمكن ملاحظة ذلك في $صيغة$ دالمبير $المذكورة أعلاه ، حيث$ $إن$ هذه الكميات هي الوحيدة التي تظهر فيها. فيزيائيًا، إذا كانت سرعة الانتشار القصوى هي $c$ $،$ $فلن$ $يؤثر$ $أي$ $جزء$ $من$ الموجة لا يستطيع الانتشار إلى نقطة معينة في زمن معين على سعة الموجة عند نفس النقطة والزمن.

فيما يتعلق بإيجاد حل، تعني خاصية السببية هذه أنه لأي نقطة معينة على الخط قيد الدراسة، فإن المنطقة الوحيدة التي يجب أخذها في الاعتبار هي المنطقة التي تشمل جميع النقاط التي يمكن أن تؤثر سببيًا على النقطة قيد الدراسة. لنرمز إلى المنطقة التي تؤثر سببيًا على النقطة $(xᵢ,$ $tᵢ) بالرمز RC$ $. لنفترض أننا نكامل معادلة$ الموجة $غير$ $المتجانسة$ على هذه المنطقة: $\iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

لتبسيط هذا الأمر بشكل كبير، يمكننا استخدام نظرية غرين لتبسيط الجانب الأيسر للحصول على ما يلي: $\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

يُصبح الطرف الأيسر الآن مجموع ثلاثة تكاملات خطية على طول حدود منطقة السببية. وقد تبيّن أن حساب هذه التكاملات سهلٌ نسبيًا: $\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.$

في ما سبق، يختفي الحد المراد تكامله بالنسبة للوقت لأن الفترة الزمنية المعنية تساوي صفرًا، وبالتالي فإن $dt = 0$ .

بالنسبة للجانبين الآخرين من المنطقة، تجدر الإشارة إلى أن $x \pm ct$ ثابت، أي $x i \pm ct i$ ، حيث يتم اختيار الإشارة بشكل مناسب. باستخدام هذا، يمكننا الحصول على العلاقة $d x \pm c d t = 0$ ، مع اختيار الإشارة الصحيحة أيضًا. ${\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}$

وبالمثل بالنسبة للجزء الحدودي الأخير: ${\begin{aligned}\int _{L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=-\int _{L_{2}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}$

بجمع النتائج الثلاث معًا وإعادتها إلى التكامل الأصلي نحصل على ${\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.\end{aligned}}$

بحل المعادلة لإيجاد قيمة $u (x i, t i)$ ، نصل إلى $u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c(t_{i}-t)}^{x_{i}+c(t_{i}-t)}s(x,t)\,dx\,dt.$

في المعادلة الأخيرة من المتتالية، تم تحديد حدود التكامل على دالة المصدر بشكل صريح. وبالنظر إلى هذا الحل، الصالح لجميع الخيارات $(xi, ti) المتوافقة مع معادلة الموجة، يتضح أن الحدين الأولين هما ببساطة صيغة دالمبير، كما ذُكر سابقًا ،$ كحل لمعادلة الموجة المتجانسة في بُعد واحد. ويكمن الاختلاف في الحد الثالث، وهو التكامل على المصدر $.$

تعميمات إضافية

الموجات المرنة

تصف معادلة الموجة المرنة (المعروفة أيضًا بمعادلة نافيير-كوشي ) في ثلاثة أبعاد انتشار الموجات في وسط مرن متجانس الخواص . وبما أن معظم المواد الصلبة مرنة، فإن هذه المعادلة تصف ظواهر مثل الموجات الزلزالية في الأرض والموجات فوق الصوتية المستخدمة للكشف عن العيوب في المواد. وعلى الرغم من كونها خطية، إلا أن هذه المعادلة لها شكل أكثر تعقيدًا من المعادلات المذكورة أعلاه، إذ يجب أن تأخذ في الحسبان الحركة الطولية والعرضية. $\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ),$ أين:

λ

و

μ

هما ما يسمى بمعاملات لاميه التي تصف الخصائص المرنة للوسط،

ρ

هي الكثافة،

f

هي دالة المصدر (القوة الدافعة)،

u

هو متجه الإزاحة.

باستخدام $\nabla \times (\nabla \times u) = \nabla(\nabla \cdot u) - \nabla \cdot \nabla u = \nabla(\nabla \cdot u) - ∆ u$ ، يمكن إعادة كتابة معادلة الموجة المرنة إلى الشكل الأكثر شيوعًا لمعادلة نافيير-كوشي.

لاحظ أن كلاً من القوة والإزاحة في معادلة الموجة المرنة كميات متجهة . ولذلك، تُعرف هذه المعادلة أحيانًا بمعادلة الموجة المتجهة. ولتسهيل الفهم، سيلاحظ القارئ أنه إذا تم ضبط $f$ و $\nabla \cdot u$ على الصفر، فإنها تصبح (فعليًا) معادلة ماكسويل لانتشار المجال الكهربائي $E$ ، الذي يحتوي على موجات مستعرضة فقط.

علاقة التشتت

في ظاهرة الموجات التشتتية ، تتغير سرعة انتشار الموجة بتغير طولها الموجي، وهو ما ينعكس في علاقة التشتت.

$\omega =\omega (\mathbf {k} ),$

حيث $ω$ هي التردد الزاوي ، و $k$ هو متجه الموجة الذي يصف حلول الموجة المستوية . بالنسبة للموجات الضوئية، تكون علاقة التشتت $ω = \pm c | k |$ ، ولكن بشكل عام، يتم استبدال السرعة الثابتة $c$ بسرعة طور متغيرة .

$v_{\text{p}}={\frac {\omega (k)}{k}}.$

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600–1800 , p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
↑ تيبلر، بول وموسكا، جين. الفيزياء للعلماء والمهندسين، المجلد 1: الميكانيكا والتذبذبات والأمواج؛ الديناميكا الحرارية ، ص 470-471 (ماكميلان، 2004).
^ إريك دبليو وايسشتاين . "حل دالمبرت" . عالم الرياضيات . تم الاسترجاع 2009-01-21 .
^
دالمبيرت (1747) “Recherches sur la courbe que forme une corde Tenduë Mise en Vibration” (أبحاث حول المنحنى الذي يتشكل فيه الحبل المتوتر [عندما] يتم ضبطه على الاهتزاز)، Histoire de l'académie royale des Sciences et belles Lettres de Berlin ، المجلد. 3، ص. 214-219.
- أنظر أيضا: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde Tenduë Mise en vibrator" (مزيد من الأبحاث حول المنحنى الذي يتشكل فيه الحبل المتوتر [عندما] يتم ضبطه على الاهتزاز)، Histoire de l'académie royale des Sciences et belles Lettres de Berlin ، vol. 3، ص. 220-249.
- انظر أيضًا: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde تميل إلى الاهتزاز،" Histoire de l'académie royale des Sciences et belle Lettres de Berlin ، المجلد. 6، ص. 355-360.
↑ "معادلات الموجة الخطية من الرتبة الأولى والثانية" (ملف PDF) . math.arizona.edu . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 15-12-2017.
↑ ف. جوروبراساد (2015). "أدلة رصدية على أنماط الموجات المتنقلة التي تحمل تحولات تتناسب مع المسافة". EPL . 110 (5) 54001. arXiv : 1507.08222 . Bibcode : 2015EL....11054001G . doi : 10.1209/0295-5075/110/54001 . S2CID 42285652 .
↑ بشور، أوسكار؛ رايدا، هانز-يواكيم (أبريل 2021). "معادلة الموجة الكروية أحادية الاتجاه" . علم الصوت . 3 (2): 309-315 . doi : 10.3390/acoustics3020021 .تم نسخ النص من هذا المصدر، وهو متاح بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License .
↑ رايدا، هانز-يواكيم (أكتوبر 2022). "مؤثر الموجة أحادي الاتجاه" . الصوتيات . 4 (4): 885-893 . doi : 10.3390/acoustics4040053 .
↑ بشور، أوسكار؛ رايدا، هانز-يواكيم (ديسمبر 2021). "معادلات الموجة أحادية الاتجاه المُحللة" . علم الصوت . 3 (4): 714-722 . doi : 10.3390/acoustics3040045 .
↑ جاكسون، جون ديفيد (14 أغسطس 1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). وايلي. ص 425. ISBN 978-0-471-30932-1.
^ عطية، بوت وجاردينج 1970 ، ص 109-189.
^ عطية، بوت وجاردينج 1973 ، ص 145 – 206.
↑ إيفانز 2010 ، ص 70-80.
1 2 بارنيت، أليكس هـ. (28 ديسمبر 2006). "دوال غرين لمعادلة الموجة" (ملف PDF) . users.flatironinstitute.org . تم الاطلاع عليه في 25 أغسطس 2024 .
↑ "الدالة الخضراء لمعادلة الموجة" (ملف PDF) . julian.tau.ac.il . تاريخ الاسترجاع: 2024-09-03 .
1 2 تايلور، مايكل إي. (2023)، "معادلة لابلاس ومعادلة الموجة" ، في تايلور، مايكل إي. (محرر)، المعادلات التفاضلية الجزئية 1: النظرية الأساسية ، العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد 115، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، الصفحات 137-205 ، doi : 10.1007/978-3-031-33859-5_2 ، ISBN 978-3-031-33859-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2024
سوداك ، هاري؛ تيرستن، مارتن س . (1993-05-01). "الموجات والآثار في N بُعد" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 61 ( 5): 395-401 . Bibcode : 1993AmJPh..61..395S . doi : 10.1119/1.17230 . ISSN 0002-9505 .
1 2 كوران، ريتشارد؛ هيلبرت، ديفيد (2009). أساليب الفيزياء الرياضية. 2: المعادلات التفاضلية الجزئية / بقلم ر. كوران (الطبعة الثانية ). فاينهايم: وايلي-في سي إتش. ISBN 978-0-471-50439-9.

مراجع

فلينت، إتش تي (1929) "ميكانيكا الموجات" ميثوين وشركاه المحدودة لندن.
عطية، م. ف .؛ بوت، ر .؛ غاردينغ، ل. (1970). "الفجوات في المؤثرات التفاضلية الزائدية ذات المعاملات الثابتة I". مجلة أكتا ماتيماتيكا . 124 : 109-189 . doi : 10.1007/BF02394570 . ISSN 0001-5962 .
عطية، م. ف.؛ بوت، ر.؛ غاردينغ، ل. (1973). "الفجوات في المؤثرات التفاضلية الزائدية ذات المعاملات الثابتة. الجزء الثاني". مجلة أكتا ماتيماتيكا . 131 : 145-206 . doi : 10.1007/BF02392039 . ISSN 0001-5962 .
R. Courant , D. Hilbert , Methods of Mathematical Physics, vol II . Interscience (Wiley) New York, 1962.
إيفانز، لورانس سي. (2010). المعادلات التفاضلية الجزئية . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-4974-3.
" معادلات الموجة الخطية "، EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
" معادلات الموجة غير الخطية "، EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
ويليام سي. لين، " MISN-0-201 معادلة الموجة وحلولها "، مشروع PHYSNET .

روابط خارجية

المعادلات الموجية غير الخطية من تأليف ستيفن وولفرام وروب كناب، مستكشف المعادلات الموجية غير الخطية من مشروع عروض وولفرام التوضيحية .
تتم مناقشة الجوانب الرياضية لمعادلات الموجة على موقع Dispersive PDE Wiki المؤرشف بتاريخ 25-04-2007 في Wayback Machine .
غراهام دبليو غريفيثس وويليام إي. شييسر (2009). الموجات الخطية وغير الخطية . سكولاربيديا ، 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308
فيلم تعليمي بعنوان "أوجه التشابه في سلوك الموجات" من إخراج الدكتور جون شيف، مختبرات بيل للهواتف، عام 1959، يوضح سلوك الموجات أحادية البعد (الملتوية) ومطابقة المعاوقة باستخدام جهاز ميكانيكي حقيقي بدلاً من الرسوم المتحركة الاصطناعية.

[Speiser-1] 1 2 Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600–1800 , p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[Tipler-2] تيبلر، بول وموسكا، جين. الفيزياء للعلماء والمهندسين، المجلد 1: الميكانيكا والتذبذبات والأمواج؛ الديناميكا الحرارية ، ص 470-471 (ماكميلان، 2004).

[3] إريك دبليو وايسشتاين . "حل دالمبرت" . عالم الرياضيات . تم الاسترجاع 2009-01-21 .

[4] دالمبيرت (1747) “Recherches sur la courbe que forme une corde Tenduë Mise en Vibration” (أبحاث حول المنحنى الذي يتشكل فيه الحبل المتوتر [عندما] يتم ضبطه على الاهتزاز)، Histoire de l'académie royale des Sciences et belles Lettres de Berlin ، المجلد. 3، ص. 214-219.
أنظر أيضا: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde Tenduë Mise en vibrator" (مزيد من الأبحاث حول المنحنى الذي يتشكل فيه الحبل المتوتر [عندما] يتم ضبطه على الاهتزاز)، Histoire de l'académie royale des Sciences et belles Lettres de Berlin ، vol. 3، ص. 220-249.
انظر أيضًا: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde تميل إلى الاهتزاز،" Histoire de l'académie royale des Sciences et belle Lettres de Berlin ، المجلد. 6، ص. 355-360.

[mwA7A] أنظر أيضا: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde Tenduë Mise en vibrator" (مزيد من الأبحاث حول المنحنى الذي يتشكل فيه الحبل المتوتر [عندما] يتم ضبطه على الاهتزاز)، Histoire de l'académie royale des Sciences et belles Lettres de Berlin ، vol. 3، ص. 220-249.

[mwA7U] انظر أيضًا: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde تميل إلى الاهتزاز،" Histoire de l'académie royale des Sciences et belle Lettres de Berlin ، المجلد. 6، ص. 355-360.

[5] "معادلات الموجة الخطية من الرتبة الأولى والثانية" (ملف PDF) . math.arizona.edu . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 15-12-2017.

[6] ف. جوروبراساد (2015). "أدلة رصدية على أنماط الموجات المتنقلة التي تحمل تحولات تتناسب مع المسافة". EPL . 110 (5) 54001. arXiv : 1507.08222 . Bibcode : 2015EL....11054001G . doi : 10.1209/0295-5075/110/54001 . S2CID 42285652 .

[br3-7] بشور، أوسكار؛ رايدا، هانز-يواكيم (أبريل 2021). "معادلة الموجة الكروية أحادية الاتجاه" . علم الصوت . 3 (2): 309-315 . doi : 10.3390/acoustics3020021 .تم نسخ النص من هذا المصدر، وهو متاح بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License .

[8] رايدا، هانز-يواكيم (أكتوبر 2022). "مؤثر الموجة أحادي الاتجاه" . الصوتيات . 4 (4): 885-893 . doi : 10.3390/acoustics4040053 .

[br2-9] بشور، أوسكار؛ رايدا، هانز-يواكيم (ديسمبر 2021). "معادلات الموجة أحادية الاتجاه المُحللة" . علم الصوت . 3 (4): 714-722 . doi : 10.3390/acoustics3040045 .

[10] جاكسون، جون ديفيد (14 أغسطس 1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). وايلي. ص 425. ISBN 978-0-471-30932-1.

[FOOTNOTEAtiyahBottGårding1970109–189-11] عطية، بوت وجاردينج 1970 ، ص 109-189.

[FOOTNOTEAtiyahBottGårding1973145–206-12] عطية، بوت وجاردينج 1973 ، ص 145 – 206.

[FOOTNOTEEvans201070–80-13] إيفانز 2010 ، ص 70-80.

[:2-14] 1 2 بارنيت، أليكس هـ. (28 ديسمبر 2006). "دوال غرين لمعادلة الموجة" (ملف PDF) . users.flatironinstitute.org . تم الاطلاع عليه في 25 أغسطس 2024 .

[15] "الدالة الخضراء لمعادلة الموجة" (ملف PDF) . julian.tau.ac.il . تاريخ الاسترجاع: 2024-09-03 .

[:0-16] 1 2 تايلور، مايكل إي. (2023)، "معادلة لابلاس ومعادلة الموجة" ، في تايلور، مايكل إي. (محرر)، المعادلات التفاضلية الجزئية 1: النظرية الأساسية ، العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد 115، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، الصفحات 137-205 ، doi : 10.1007/978-3-031-33859-5_2 ، ISBN 978-3-031-33859-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2024

[:1-17] سوداك ، هاري؛ تيرستن، مارتن س . (1993-05-01). "الموجات والآثار في N بُعد" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 61 ( 5): 395-401 . Bibcode : 1993AmJPh..61..395S . doi : 10.1119/1.17230 . ISSN 0002-9505 .

[:3-18] 1 2 كوران، ريتشارد؛ هيلبرت، ديفيد (2009). أساليب الفيزياء الرياضية. 2: المعادلات التفاضلية الجزئية / بقلم ر. كوران (الطبعة الثانية ). فاينهايم: وايلي-في سي إتش. ISBN 978-0-471-50439-9.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 15 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗