عدّ كروسكال

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

عدّ كروسكال [ 1 ] [ 2 ] ( المعروف أيضًا باسم مبدأ كروسكال ، [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] عدّ دينكين-كروسكال ، [ 8 ] خدعة دينكين للعدّ ، [ 9 ] خدعة دينكين بالورق ، [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] خدعة اقتران الورق [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] أو اقتران الإزاحة [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] ) هو مفهوم احتمالي قدّمه عالم الرياضيات الروسي يفغيني بوريسوفيتش دينكين في خمسينيات أو ستينيات القرن العشرين، حيث ناقش تأثيرات الاقتران [ 14 ] [ 15 ] [ 9 ] [ 16 ] ، ثم أُعيد اكتشافه كخدعة ورق. ابتكر عالم الرياضيات الأمريكي مارتن ديفيد كروسكال هذه الخدعة في أوائل سبعينيات القرن العشرين [ 17 ] [ ملاحظة 1 ] كمنتج جانبي أثناء عمله على مسألة أخرى. [ 18 ] ونشرها صديق كروسكال [ 19 ] مارتن غاردنر [ 20 ] [ 1 ] والساحر كارل فولفز عام 1975. [ 21 ]يرتبط هذا بحيلة مشابهة نشرها الساحر ألكسندر ف. كراوس عام 1957 تحت اسم " المجموع الكلي" [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] ، والتي عُرفت لاحقًا باسم "مبدأ كراوس" . [ 2 ] [ 7 ] [ 25 ] [ 18 ]

إلى جانب استخدامها كخدعة ورق، فإن الظاهرة الأساسية لها تطبيقات في علم التشفير ، وفك الشفرات ، وحماية البرامج من التلاعب ، والمزامنة الذاتية للشفرات ، وإعادة مزامنة تدفق التحكم ، وتصميم الشفرات ذات الطول المتغير ومجموعات التعليمات ذات الطول المتغير ، والتنقل عبر الويب ، ومحاذاة الكائنات، وغيرها.

خدعة ورق

شرح عدّ كروسكال

تُؤدّى هذه الخدعة باستخدام أوراق اللعب، لكنها أقرب إلى تأثير سحري منها إلى خدعة سحرية تقليدية. لا يملك الساحر أي إمكانية للوصول إلى الأوراق، إذ يتلاعب بها أفراد من الجمهور. لذا، لا مجال لمهارة خفة اليد . بل يعتمد التأثير على حقيقة رياضية مفادها أن ناتج سلسلة ماركوف ، في ظل ظروف معينة، يكون عادةً مستقلاً عن المدخلات. [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 6 ] وفيما يلي نسخة مبسطة باستخدام عقارب الساعة، يؤديها ديفيد كوبرفيلد . [ 30 ] [ 31 ] يختار متطوع رقمًا من 1 إلى 12 ولا يكشفه للساحر. يُطلب من المتطوع البدء من الرقم 12 على الساعة والتحرك في اتجاه عقارب الساعة بعدد من الخانات يساوي عدد حروف الرقم المختار عند كتابته. ثم تُكرر هذه العملية، بالتحرك بعدد حروف الرقم الجديد. لا يعتمد الناتج بعد ثلاث حركات أو أكثر على الرقم المختار في البداية، وبالتالي يستطيع الساحر التنبؤ به.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. بحسب دياكونيس وغراهام (2012) ،شرح مارتن كروسكال الحيلة، التي عُرفت لاحقًا بمبدأ كروسكال، لمارتن غاردنر في ردٍّ على رسالةٍ أرسلها غاردنر إليه يوصي فيها ببيرسي دبليو دياكونيس للدراسات العليا . تخرّج دياكونيس عام 1971، وحصل على ماجستير في الإحصاء الرياضي من جامعة هارفارد عام 1972، ودكتوراه من هارفارد عام 1974، لذا يُرجّح أن يكون ردّ كروسكال قد كُتب بين عامي 1971 و1974 على أقصى تقدير. نشر غاردنر هذه الحيلة في كتابه (1975) .

مراجع

  1. 1 2 غاردنر، مارتن (فبراير 1978). "حول لعبة القفز على الداما، ولعبة الأمازون، والنرد الغريب، وخدع الورق، وغيرها من الألعاب المسلية". مجلة ساينتفك أمريكان . الألعاب الرياضية. المجلد  238، العدد  2. ساينتفك أمريكان، إنك. الصفحات 19-32 . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0036-8733 . JSTOR 24955629 .   
  2. 1 2 غاردنر، مارتن (1989) [1988]. "الفصل 19". من بلاطات بنروز إلى شفرات الباب الخلفي ... وعودة السيد ماتريكس ( الطبعة الأولى). دبليو إتش فريمان . ص 274  غاردنر ، مارتن (1997). "الفصل 19. نرد سيشرمان، وحساب كروسكال، وغرائب ​​أخرى". بلاطات بنروز إلى شفرات الباب الخلفي... وعودة السيد ماتريكس (ملف PDF) . سلسلة سبكتروم ( طبعة منقحة). واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية: الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 265-280 [280]. ISBN   0-88385-521-6LCCN 97-70505 . مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 19 أغسطس 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أغسطس 2023 . (1+9+319 صفحة)
  3. ↑ هاغا، واين؛ روبينز، سيناء [في ويكي بيانات] (يونيو 1997) [12-12-1995]. "حول مبدأ كروسكال" . كُتبت في جامعة سيمون فريزر ، بورنابي، كولومبيا البريطانية، كندا. في: بورواين، جوناثان ؛ بورواين، بيتر ؛ يورغنسون، لوكي؛ كورليس، روبرت "روب" م. (محررون). الرياضيات العضوية . وقائع مؤتمر الجمعية الرياضية الكندية. المجلد 20. بروفيدنس، رود آيلاند، الولايات المتحدة: الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 407-411 . ISBN   978-0-8218-0668-5. ISSN 0731-1036 . إل سي سي إن 97-179 . رقم ISBN   0-8218-0668-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 19-08-2023 .(5 صفحات)
  4. 1 2 بولارد، جون م. (يوليو 1978) [1977-05-01، 1977-11-18]. "طرق مونت كارلو لحساب المؤشر (mod p )" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 32 (143). قسم الرياضيات، مركز بليسي لأبحاث الاتصالات ، تابلو كورت، ميدنهيد، بيركشاير، المملكة المتحدة: الجمعية الرياضية الأمريكية : 918-924 . ISSN 0025-5718 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 2013-05-03 . تم الاسترجاع في 2023-08-19 . (7 صفحات)
  5. 1 2 بولارد، جون م. (10 أغسطس 2000) [23 يناير 1998، 27 سبتمبر 1999]. "الكنغر، الاحتكار، واللوغاريتمات المنفصلة" ( ملف PDF) . مجلة علم التشفير . 13 (4). كوخ تيدمارش، مانور فارم لين، تيدمارش، ريدينغ، المملكة المتحدة: الرابطة الدولية لأبحاث التشفير : 437-447 . doi : 10.1007/s001450010010 . ISSN 0933-2790 . S2CID 5279098. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 18 أغسطس 2023. تم الاسترجاع في 19 أغسطس 2023 .  (11 صفحة)
  6. 1 2 3 بولارد، جون م. (يوليو 2000). "خدعة كروسكال بالورق" (ملف PDF) . المجلة الرياضية . 84 (500). كوخ تيدمارش، مانور فارم لين، تيدمارش، ريدينغ، المملكة المتحدة: الجمعية الرياضية : 265-267 . doi : 10.2307/3621657 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3621657. S2CID 125115379. 84.29. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 18 أغسطس 2023. تم الاسترجاع في 19 أغسطس 2023 .   (صفحة واحدة + 3 صفحات)
  7. 1 2 ماكتير، آرثر ف. (2000). "الفصل 6: مبدأ كروسكال (المصادفة غير العادية) / الفصل 7: مبدأ كراوس (سحر 52، المصادفة السحرية II)". مفاهيم البطاقات - مختارات من المبادئ العددية والتسلسلية في سحر البطاقات ( الطبعة الأولى). لندن، المملكة المتحدة: لويس دافنبورت المحدودة. الصفحات 34-38 ، 39-46 .  (6+301 صفحة)
  8. ↑ أرتيموفيتش، باويل [باللغة البولندية] (29-01-2020) [26-01-2020]. "رموز PHYD57 الحوسبة المتقدمة في الفيزياء، جامعة تورنتو سكاربورو: عدّ دينكين-كروسكال - سلاسل ماركوف المتقاربة" . مؤرشف من الأصل في 20-08-2023 . تم الاسترجاع في 20-08-2023 . [...] لقد نظرنا في سلاسل ماركوف ، حيث يتم اجتياز تسلسل عشوائي معين من البطاقات أو الأرقام بطريقة قائمة مرتبطة، أي عندما ترى قيمة في قائمة من الأعداد الصحيحة، فإنك تستخدمها لتحديد موضع الرقم التالي في التسلسل، وتكرر ذلك حتى تنتهي القائمة. هذا هو أساس خدعة ورق يقوم فيها الساحر بتخمين الرقم الأخير بشكل صحيح في تسلسل يبدو مخفيًا/عشوائيًا، يحسبه المتفرج في ذهنه (ولكن باستخدام مجموعة أوراق لعب مُرتبة جيدًا مكونة من 52 ورقة ). [...] تُسمى التسلسلات العشوائية التي تتقارب عندما يُستخدم طول العنصر للانتقال إلى العنصر التالي بتسلسلات دينكين-كروسكال، نسبةً إلى يوجين دينكين (1924-2014)، عالم الرياضيات الروسي الأمريكي، الذي ذكرها في أعماله، وعالم الرياضيات الأمريكي مارتن ديفيد كروسكال (1925-2006). تتميز تسلسلات كروسكال هذه بتقاربها السريع أُسّيًا، وبالنسبة لـ N=52، هناك بالفعل احتمال يزيد عن 90% أن تتقارب التسلسلتان اللتان بدأتا عشوائيًا في نهاية مجموعة الأوراق، أي أن الساحر والمتفرج يصلان بشكل مستقل إلى نفس البطاقة الأخيرة. لقد شاهدتُ عرضًا لهذه الخدعة [...] في أحد المؤتمرات، لكنني لم أكن أعرف أن هذه التسلسلات متقاربة. تُعدّ السلاسل الشبيهة بالقوائم المتصلة شائعة جدًا. ويمكن استخدام أي كتاب تقريبًا لتوضيح ذلك. تخطّ عددًا من الكلمات يساوي عدد حروف كلمة رئيسية. بنهاية السطر الثالث، ستعود عادةً إلى التسلسل نفسه إلى الأبد، بغض النظر عن الكلمة التي تبدأ بها في السطر الأول. [...]{{cite web}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
  9. جيانغ ، جيمينغ [في ويكي بيانات] (2010). "الفصل 10: العمليات العشوائية؛ 10.1 مقدمة" . أُعدّ في جامعة كاليفورنيا، ديفيس، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية. تقنيات العينات الكبيرة للإحصاء . نصوص سبرينغر في الإحصاء ( الطبعة الأولى). نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا، ذ.م.م. الصفحات 317-319 . doi : 10.1007/978-1-4419-6827-2 . ISBN   978-1-4419-6826-5ISSN 1431-875X . LCCN 2010930134. S2CID 118271573. تاريخ الاسترجاع : 2023-09-02 .   (١٧+٦١٠ صفحة)؛ جيانغ، جيمينغ [في ويكي بيانات] (٢٠٢٢) [٢٠١٠]. "الفصل ١٠: العمليات العشوائية؛ ١٠.١ مقدمة" . كُتب في جامعة كاليفورنيا، ديفيس، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية. تقنيات العينات الكبيرة للإحصاء . نصوص سبرينغر في الإحصاء ( الطبعة الثانية). تشام، سويسرا: سبرينغر نيتشر سويسرا إيه جي . الصفحات ٣٣٩-٣٤١ . doi : 10.1007/978-3-030-91695-4 . eISSN 2197-4136 . ISBN    978-3-030-91694-7ISSN 1431-875X . تاريخ الاسترجاع: 2023-09-02 . صفحة 339: [...] خلال فترة دراسة المؤلف العليا ، كان أحد الأمثلة الصفية التي أثرت فيه بشدة هو ما قدمه البروفيسور ديفيد ألدوس في محاضراته عن نظرية الاحتمالات . وقد أُخذ هذا المثال من كتاب دوريت ( 1991، صفحة 275 ). وفيما يلي نسخة معدلة (وموسعة) منه. [...] المثال 10.1: اعتاد البروفيسور إي. بي. دينكين أن يُسلّي طلابه في صف الاحتمالات بحيلة العد التالية. يطلب الأستاذ من أحد الطلاب كتابة 100 رقم عشوائي من 0 إلى 9 على السبورة. يُظهر الجدول 10.1 مئة رقم من هذا النوع تم توليدها بواسطة الحاسوب. ثم يطلب الأستاذ من طالب آخر اختيار أحد الأرقام العشرة الأولى دون إخباره. هنا، نستخدم الحاسوب لتوليد رقم عشوائي من 1 إلى 10. الرقم المُولّد هو 7، والرقم السابع من الأرقام العشرة الأولى في الجدول هو أيضًا 7. لنفترض أن هذا هو الرقم الذي اختارته الطالبة الثانية. ثم تعدّ 7 خانات على طول القائمة، بدءًا من الرقم المجاور للرقم 7. يتوقف العد عند الرقم 7 (مرة أخرى). ثم تعدّ 7 خانات على طول القائمة، مرة أخرى. هذه المرة يتوقف العد عند الرقم 3. ثم تعدّ 3 خانات على طول القائمة، وهكذا. في حالة توقف العد عند الرقم 0، تعدّ الطالبة 10 خانات على القائمة. تم وضع خط تحت عدّات الطالبة في الجدول 10.1. تكمن الحيلة في أن كل هذا يتم سرًا خلف الأستاذ، الذي يستدير بعد ذلك ويشير إلى المكان الذي ينتهي عنده عدّ الطالبة أخيرًا، وهو الرقم 9 الأخير في الجدول. [...]   (xv+685 صفحة)
  10. ١ ٢ بارث، جيل [في ويكي بيانات] (٢٠١٦). "الاقترانات الاحتمالية للتشفير والخصوصية" (ملف PDF) . مدريد، إسبانيا: معهد IMDEA للبرمجيات . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ ١٩ أغسطس ٢٠٢٣. تم الاسترجاع بتاريخ ١٩ أغسطس ٢٠٢٣ .(٦٦ صفحة)؛ بارث، جيل [في ويكي بيانات] (١٣ سبتمبر ٢٠١٦). "الاقترانات الاحتمالية للتشفير والخصوصية" (ملف PDF) . مدريد، إسبانيا: معهد IMDEA للبرمجيات . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ ١٩ أغسطس ٢٠٢٣. تم الاطلاع عليه بتاريخ ١٩ أغسطس ٢٠٢٣ .(49 صفحة)
  11. ١ ٢ بارث، جيل [في ويكي بيانات] ؛ غريغوار، بنجامين [في ويكي بيانات] ؛ هسو، جاستن؛ ستروب، بيير-إيف (٢٠١٦-١١-٠٧) [٢٠١٦-٠٩-٢١]. "برامج إثبات الاقتران هي برامج ضرب احتمالية" . وقائع ندوة ACM SIGPLAN الرابعة والأربعين حول مبادئ لغات البرمجة . الصفحات ١٦١-١٧٤ . arXiv : ١٦٠٧.٠٣٤٥٥v٥ . doi : ١٠.١١٤٥/٣٠٠٩٨٣٧.٣٠٠٩٨٩٦ . ISBN  978-1-45034660-3S2CID 3931131. مؤرشف من الأصل بتاريخ 19-08-2023 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19-08-2023 . (14 صفحة)
  12. 1 2 بارث، جيل [في ويكي بيانات] ؛ إسبيتاو، توماس؛ جريجوار، بنيامين [في ويكي بيانات] ؛ هسو، جوستين؛ ستيفانيسكو، ليو؛ ستروب، بيير إيف (2017/07/12) [2015]. “الاستدلال العلائقي عبر الاقتران الاحتمالي”. منطق البرمجة والذكاء الاصطناعي والاستدلال . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر . المجلد. 9450. سوفا، فرنسا: LPAR . ص 387 – 401. أرخايف : 1509.03476 . دوى : 10.1007/978-3-662-48899-7_27 . رقم ISBN   978-3-662-48898-0S2CID 3518579. hal-01246719v2. مؤرشف من الأصل بتاريخ 19-08-2023 . تم الاسترجاع بتاريخ 19-08-2023 . (17 صفحة)
  13. 1 2 هسو، جاستن (2018) [2017-11-01]. "الاقترانات الاحتمالية للاستدلال الاحتمالي" (ملف PDF) (أطروحة). ص 34. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2023-08-19 . تم الاسترجاع بتاريخ 2023-08-19 . (147 صفحة)
  14. 1 2 دوريت، ريتشارد "ريك" تيموثي (1991) [1989]. الاحتمالات: النظرية والأمثلة . سلسلة وادزورث وبروكس/كول للإحصاء/الاحتمالات ( الطبعة الأولى). باسيفيك غروف، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: وادزورث وبروكس/كول للكتب والبرمجيات المتقدمة . ص 275. ISBN   0-534-13206-5MR 1068527 .​ (x+453 صفحة) (ملاحظة: يمكن إيجاد هذا الاقتباس في جيانغ (2010) ). دوريت، ريتشارد "ريك" تيموثي (2005). "مثال 5.2. خدعة ورقية للربط". الاحتمالات: النظرية والأمثلة . سلسلة دوكسبوري المتقدمة في الإحصاء وعلوم القرار ( الطبعة الثالثة). دار نشر تومسون بروكس/كول . ص 312. ISBN   0-534-42441-4رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 978-0-534-42441-1. (497 صفحة) (ملاحظة: يمكن العثور على هذا الاقتباس في كوفتشيجوف (2007) .)
  15. 1 2 كوفتشيجوف، يفغيني ف. [في ويكي بيانات] (2007-10-06). "من سلاسل ماركوف إلى حقول جيبس" (ملف PDF) . كورفاليس، أوريغون، الولايات المتحدة: قسم الرياضيات، جامعة ولاية أوريغون . ص 22. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 2023-09-01 . تم الاسترجاع في 2023-09-01 . ص. ٢٢: هنا سنقتبس من [ ر. دوريت ، " الاحتمالات: النظرية والأمثلة " ] : "مثال. خدعة ورقية مركبة. العرض التوضيحي التالي الذي استخدمه إي. بي. دينكين في صف الاحتمالات هو شكل مختلف من خدعة ورقية نُشرت في مجلة ساينتفك أمريكان . يطلب المحاضر من أحد الطلاب كتابة ١٠٠ رقم عشوائي من ٠ إلى ٩ على السبورة. يختار طالب آخر أحد الأرقام العشرة الأولى دون إخبار المحاضر. إذا كان هذا الرقم ٧، على سبيل المثال، فإنه يعدّ ٧ خانات على طول القائمة، ويدوّن الرقم في ذلك الموقع، ويستمر في العملية. إذا كان الرقم ٠، فإنه يعدّ ١٠ خانات. التسلسل المحتمل مُسطّر في القائمة أدناه: ٣ ٤ ٧ ٨ ٢ ٣ ٧ ٥ ٦ ١ ٦ ٤ ٦ ٥ ٧ ٨ ٣ ١ ٥ ٣ ٠ ٧ ٩ ٢ ٣ ... تكمن الخدعة في أنه، دون معرفة الرقم الأول للطالب، يمكن للمحاضر أن يشير إلى موضع توقفها النهائي. ولتحقيق هذه الغاية، يختار الرقم الأول، ويُشكّل تسلسله الخاص بنفس طريقة الطالب، ثم يُعلن عن موضع توقفه. ويرتكب خطأً إذا كان زمن الاقتران أكبر من 100. تُظهر الحسابات العددية التي أجراها أحد طلاب الدراسات العليا لدى دينكين أن احتمال الخطأ يبلغ حوالي 0.026.     (45 صفحة) (ملاحظة: يمكن العثور على هذا الاقتباس في واينهولد (2011) .)
  16. 1 2 وينهولد ، ليوني (2011/05/13). “Vorstellung der Kopplung bei Markovketten” (PDF) (باللغة الألمانية). أولم، ألمانيا: جامعة أولم. ص. 7. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2023-09-01 . تم الاسترجاع بتاريخ 2023-09-01 . (1+9 صفحات) (ملاحظة: هذا العمل يقتبس من كوفتشيجوف (2007) .)
  17. ↑ دياكونيس، بيرسي وارين ؛ غراهام، رونالد "رون" لويس (2016) [2012]. "الفصل العاشر. نجوم السحر الرياضي (وبعض أفضل الخدع في الكتاب): مارتن غاردنر" . الرياضيات السحرية: الأفكار الرياضية التي تُحرك الخدع السحرية العظيمة (الطبعة الرابعة من الطبعة الأولى). برينستون، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية وودستوك، أوكسفوردشاير، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة برينستون . الصفحات 211-219 [211-212]. ISBN   978-0-691-16977-4LCCN 2011014755 . ISBN​  978-0-691-15164-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 سبتمبر 2023. الصفحات 211-212 : [...] جاء في نبذة تعريفية على أحد كتبه: [...] تحذير: لقد حوّل مارتن غاردنر عشرات الشباب الأبرياء إلى أساتذة رياضيات، وآلافًا من أساتذة الرياضيات إلى شباب أبرياء. [...] نحن خير دليل على ذلك؛ فقد رعى مارتن مراهقًا هاربًا يبلغ من العمر أربعة عشر عامًا ، ونشر بعضًا من نتائجنا الرياضية ليمنحه أول منشور له (في مجلة ساينتفك أمريكان )، ووجد وقتًا لمساعدته في واجباته المدرسية من حين لآخر، وعندما حان وقت التقديم للدراسات العليا ، كان مارتن أحد كتّاب رسائل التوصية. هناك قصص مؤثرة هنا. جاء في رسالة توصية مارتن ما معناه: "لا أعرف الكثير عن الرياضيات، لكن هذا الشاب ابتكر اثنتين من أفضل خدع الورق في السنوات العشر الماضية. يجب أن تمنحوه فرصة." كان فريد موستيلر ، أستاذ الإحصاء في جامعة هارفارد وساحر هاوٍ متحمس، عضوًا في لجنة القبول، وقد سمح للشاب بالالتحاق بجامعة هارفارد. أصبح فريد مشرفًا على أطروحة الطالب ، وبعد تخرجه، عاد الطالب في نهاية المطاف إلى جامعة هارفارد أستاذًا. [...] وهناك قصة أخرى عن رسالة مارتن. فقد أُرسلت إلى قائمة طويلة من كليات الدراسات العليا. وتلقى ردًا من مارتن كروسكال في جامعة برينستون (وهو عالم رياضيات بارز اشتهر باكتشافه للجسيمات المنفردة ) جاء فيه: "صحيح يا مارتن، أنت لا تعرف شيئًا عن الرياضيات. لا يمكن لأحد بخلفية هذا الطالب المحدودة أن ينجح في قسم رياضيات جاد." ثم شرح كروسكال ما يُعرف بمبدأ كروسكال، وهو مبدأ جديد واسع الانتشار في ألعاب الخفة بالورق . بعد بضع سنوات، ألقى الطالب محاضرة في معهد تحليل الدفاع ، وهو مركز أبحاث متخصص في التشفير في برينستون. وبعد المحاضرة، اقترب منه كروسكال بحماس شديد وسأله: "كيف لم أسمع بك من قبل؟ لقد كانت رائعة!" حاول الطالب تذكير كروسكال بتاريخهما، لكن كروسكال أنكر ذلك، إلا أن الطالب ما زال يحتفظ بالرسالة. كانت هذه إحدى المرات النادرة التي قادت فيها بصيرة مارتن كروسكال الثاقبة إلى الضلال! [...] (صفحتان + 12 صفحة + صفحتان + 244 صفحة + 4 صفحات)
  18. 1 2 3 4 نيشياما، يوتاكا (يوليو 2013) [2012-12-10]. "مبدأ كروسكال" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 85 (6). قسم معلومات الأعمال، كلية إدارة المعلومات، جامعة أوساكا للاقتصاد، أوساكا، اليابان: منشورات أكاديمية محدودة: 983-992 . doi : 10.12732/ijpam.v85i6.1 . eISSN 1314-3395 . ISSN 1311-8080 . مؤرشف (PDF) من الأصل في 2023-08-19 . تم الاسترجاع في 2023-08-19 .  (10 صفحات)
  19. ↑ فاريل، جيريميا (2010). "تفسير سحري لفوشي" . إنديانابوليس، إنديانا، الولايات المتحدة. ص 316. مؤرشف من الأصل في 19 أغسطس 2023. تم الاسترجاع في 19 أغسطس 2023. ص 316: كان لكروسكال شقيقان ميول رياضية، ويليام في جامعة شيكاغو وجوزيف من مختبرات بيل . وكان الثلاثة أصدقاء لمارتن غاردنر الذي كتب سابقًا عن والدتهم، ليليان أوبنهايمر ، وهي فنانة أوريغامي بارعة .  (صفحة واحدة)
  20. ↑ غاردنر، مارتن (يونيو 1975). "مبدأ كروسكال". مجلة حاملي النعوش . المجلد 10 ، العدد 8. تينيك، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر إل آند إل . الصفحات 967-970   (4 صفحات)؛ فولفز، كارل ، محرر. (يوليو 1975). "قوة القطع المتقاطع". مجلة حاملي النعش . المجلد 10، العدد 9. تينيك، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر إل آند إل . ص 985   (صفحة واحدة)؛ غاردنر، مارتن (1993) [يونيو 1975]. "مبدأ كروسكال". في فولفز، كارل (محرر). مراجعة حاملي النعش: المجلدات 9-10 . المجلد 3. تاهوما، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر L & L - أدب سحري عالي الجودة . الصفحات 967-970 ، 985. مؤرشف من الأصل في 10 سبتمبر 2023. تم الاسترجاع في 10 سبتمبر 2023 .  (٣٨١ صفحة) (ملاحظة: المجلد الثالث من طبعة ثلاثية المجلدات بغلاف مقوى لمجلة "ذا بالبيررز ريفيو "، المجلدات ٩ (نوفمبر ١٩٧٣) - ١٠ (١٩٧٧).)؛ براونمولر، رودولف، محرر. (يناير ١٩٨٤). " مبدأ كروسكال " . مجلة إنترماجيك - مجلة سحرية (بالألمانية). المجلد ١٠ ، العددان ٣ و٤. ميونيخ، ألمانيا. الصفحات ١٢٥ وما بعدها.   
  21. ↑ فولفز، كارل (يونيو 1975). "تأثير كروسكال على الهاتف". مجلة حاملي النعش . المجلد 10، العدد 8. تينيك، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر إل آند إل . الصفحات 970–   فولفز ، كارل (1993) [يونيو 1975]. "تأثير كروسكال عبر الهاتف". مجلة حاملي النعش: المجلدات 9-10 . المجلد 3. تاهوما، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر إل آند إل - أدب سحري عالي الجودة . الصفحات 970 وما بعدها. مؤرشف من الأصل بتاريخ 10 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 سبتمبر 2023 .  (381 صفحة) (ملاحظة: المجلد 3 من طبعة غلاف مقوى مكونة من ثلاثة مجلدات من مجلة The Pallbearers Review المجلدات 9 (نوفمبر 1973) - 10 (1977).)
  22. ↑ كراوس، ألكسندر ف. (ديسمبر 1957). ليونز، فيليب هوارد (محرر). "المجموع الكلي". المرجع نفسه . رقم 12. تورنتو، أونتاريو، كندا. ص 7. الجزء 1 (المسألة).  (صفحة واحدة) (ملاحظة: يمكن الاطلاع على الجزء الثاني في كراوس (1958) ). كراوس، ألكسندر ف. (1993). "المجموع الكلي (مسألة)". في رانسوم، توم؛ فيلد، ماثيو؛ فيليبس، مارك (محررون). المرجع نفسه - بي. هوارد ليونز . المجلد 1. ليونز، بات باترسون (رسوم توضيحية) ( الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية: ريتشارد كوفمان وآلان غرينبيرغ ( كوفمان وغرينبيرغ )؛ هيرميتيك برس، إنك. ( جوجستيا، المحدودة ). ص 232.   (319 صفحة) (ملاحظة: المجلد 1 من طبعة غلاف مقوى مكونة من ثلاثة مجلدات من مجلة ibidem الأعداد 1 (يونيو 1955) - 15 (ديسمبر 1958).)
  23. ↑ كراوس، ألكسندر ف. (مارس 1958). ليونز، فيليب هوارد (محرر). "المجموع الكلي". المرجع نفسه . رقم 13. تورنتو، أونتاريو، كندا. الصفحات 13-16. الجزء 2 (الحل).  (٤ صفحات) (ملاحظة: يمكن الاطلاع على الجزء الأول في كراوس (١٩٥٧) ). كراوس، ألكسندر ف. (١٩٩٣). "المجموع الكلي (الحل)". في رانسوم، توم؛ فيلد، ماثيو؛ فيليبس، مارك (محررون). المرجع نفسه - بي. هوارد ليونز . المجلد ١. ليونز، بات باترسون (رسوم توضيحية) ( الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية: ريتشارد كوفمان وآلان غرينبيرغ ( كوفمان وغرينبيرغ )؛ هيرميتيك برس، إنك. ( جوجستيا، المحدودة ). الصفحات ٢٥٥-٢٥٨ .   (319 صفحة) (ملاحظة: المجلد 1 من طبعة غلاف مقوى مكونة من ثلاثة مجلدات من مجلة ibidem الأعداد 1 (يونيو 1955) - 15 (ديسمبر 1958).)
  24. ↑ رانسوم، توم؛ كاتز، ماكس (مارس 1958). ليونز، فيليب هوارد (محرر). "المزيد". المرجع نفسه . العدد 13. تورنتو، أونتاريو، كندا. الصفحات 17-18 .  (صفحتان)؛ رانسوم، توم؛ كاتز، ماكس (1993). "المزيد". في رانسوم، توم؛ فيلد، ماثيو؛ فيليبس، مارك (محررون). المرجع نفسه - بي. هوارد ليونز . المجلد 1. ليونز، بات باترسون (رسوم توضيحية) ( الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية: ريتشارد كوفمان وآلان غرينبيرغ ( كوفمان وغرينبيرغ )؛ هيرميتيك برس، إنك. ( جوجستيا، المحدودة ). الصفحات 258-259 .   (319 صفحة) (ملاحظة: المجلد 1 من طبعة غلاف مقوى مكونة من ثلاثة مجلدات من مجلة ibidem الأعداد 1 (يونيو 1955) - 15 (ديسمبر 1958).)
  25. 1 2 هافيل، جوليان ر. [بالألمانية] (2008). "الفصل 12: خدعتان بالورق" . مستحيل؟ حلول مدهشة لألغاز غير بديهية ( الطبعة الأولى). برينستون، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة برينستون . الصفحات 131-140 . ISBN   978-0-691-13131-3JSTOR j.ctt7rnph . LCCN 2007051792. تاريخ الاسترجاع: 19 أغسطس 2023 .  (xii+235 صفحة) (ملاحظة: يحتوي الكتاب على عدد كبير من الأخطاء المطبعية: ASIN 0691150028 )؛ هافيل، جوليان ر. [بالألمانية] (2009) [2008]. “Kapitel 12 – Numerologie und Kartentricks: Das Kruskal-Prinzip”. Das gibts doch nicht – الرياضيات Rätsel [ مستحيل؟ حلول مفاجئة للألغاز غير البديهية ] (باللغة الألمانية). ترجمة زيلجيت، مايكل (1 ed.). Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg / Springer Science+Business Media . ص 128 – 135. ISBN    978-3-8274-2306-1رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 978-3-8274-2306-1.(xiv+234 صفحة)
  26. ↑ لاغارياس، جيفري "جيف" كلارك ؛ فاندرباي، روبرت ج. (1988). عدّ كروسكال . موراي هيل، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: مختبرات إيه تي آند تي بيل .
  27. 1 2 لاغارياس، جيفري "جيف" كلارك ؛ راينز، إريك مايكل ؛ فاندرباي، روبرت ج. (2009) [2001-10-13]. "حساب كروسكال". في برامز، ستيفن؛ جيرلين، ويليام ف.؛ روبرتس، فريد س. (محررون). رياضيات التفضيل والاختيار والترتيب. مقالات تكريمًا لبيتر ج. فيشبورن . دراسات في الاختيار والرفاهية. برلين / هايدلبرغ، ألمانيا: سبرينغر-فيرلاغ . ص 371-391 . arXiv : math/0110143 . doi : 10.1007/978-3-540-79128-7_23 . ISBN  978-3-540-79127-0. S2CID 18273053 . (22 صفحة)
  28. 1 2 جاكوب، ماتياس؛ جاكوبوفسكي، ماريوس هـ.؛ فينكاتيسان، راماراثنام [في ويكي بيانات] (20-21 سبتمبر 2007). نحو تنفيذ ثنائي متكامل: تطبيق التجزئة غير الواعية باستخدام ترميزات التعليمات المتداخلة (PDF) . وقائع ورشة العمل التاسعة حول الوسائط المتعددة والأمن (MM&Sec '07). دالاس، تكساس، الولايات المتحدة الأمريكية: رابطة آلات الحوسبة . الصفحات 129-140 . CiteSeerX 10.1.1.69.5258 . doi : 10.1145/1288869.1288887 . ISBN   978-1-59593-857-2S2CID 14174680. مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 2018-09-04 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-12-25 . (12 صفحة)
  29. ↑ باولوس، جون ألين (نوفمبر 1998). "خدعة ورق قديمة وخدعة توراتية جديدة" . ذات مرة كان هناك رقم - المنطق الرياضي الخفي للقصص ( الطبعة الأولى). بيسيك بوكس . ص 64. ISBN   978-0-46505159-5تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 2015-04-01.
  30. ↑ http://popularmechanics.com/science/a31136091/math-magic-trick/
  31. ↑ ديلبرت، كارولين (27 فبراير 2020). "كيفية القيام بالخدعة الرياضية السحرية التي ستثير إعجاب كل من تعرفه - إليك السر" . مجلة ساينس. مجلة بوبيولار ميكانيكس . هيرست ماغازين ميديا، إنك. ISSN 0032-4558 . مؤرشف من الأصل في 19 أكتوبر 2021. تم الاطلاع عليه في 25 ديسمبر 2021 . 
  32. ↑ جاكوبوفسكي، ماريوس هـ. (فبراير 2016). "نموذج قائم على الرسم البياني لحماية البرمجيات من العبث" . مايكروسوفت . مؤرشف من الأصل في 31 أكتوبر 2019. تم الاطلاع عليه في 19 أغسطس 2023 .

للمزيد من القراءة

  • همبل، ستيف "دكتور ماث" (2010). "عرض دكتور ماث العشوائي" . يوتيوب (فيديو). مقهى الخيميائي، دبلن، أيرلندا . تاريخ الاسترجاع: 5 سبتمبر 2023 .[23:40]
  • "مصدر خدع الورق الرياضية" . السحر عن قرب. منتدى جيني . ٢٠١٥-٢٠١٧. مؤرشف من الأصل بتاريخ ٢٠٢٣-٠٩-٠٤ . تم الاطلاع عليه بتاريخ ٢٠٢٣-٠٩-٠٥ .
  • بيهر، دينيس، محرر. (2023). "مبدأ كروسكال" . أرشيف الشعوذة . مؤرشف من الأصل بتاريخ 10 سبتمبر 2023. تم الاسترجاع بتاريخ 10 سبتمبر 2023 .