الإحصاء الرياضي

الموسوعة الحرة
توضيح للانحدار الخطي لمجموعة بيانات. تحليل الانحدار هو جزء مهم من الإحصاء الرياضي.
إحصائيات
  • ف
  • ت
  • هـ
Part of a series on
Mathematics
Areas
Relationship with sciences
Mathematics Portal
  • v
  • t
  • e

الإحصاء الرياضي هو تطبيق نظرية الاحتمالات ، وهي فرع من الرياضيات ، على الإحصاء ، على عكس تقنيات جمع البيانات الإحصائية. تشمل التقنيات الرياضية المحددة المستخدمة لهذا الغرض التحليل الرياضي ، والجبر الخطي ، والتحليل العشوائي ، والمعادلات التفاضلية ، ونظرية القياس . [1] [2]

مقدمة

يهتم جمع البيانات الإحصائية بالتخطيط للدراسات، وخاصة بتصميم التجارب العشوائية والتخطيط للمسوح باستخدام العينة العشوائية . غالبًا ما يتبع التحليل الأولي للبيانات بروتوكول الدراسة المحدد قبل إجراء الدراسة. يمكن أيضًا تحليل البيانات من الدراسة للنظر في فرضيات ثانوية مستوحاة من النتائج الأولية، أو لاقتراح دراسات جديدة. يستخدم التحليل الثانوي للبيانات من دراسة مخططة أدوات من تحليل البيانات ، وعملية القيام بذلك هي إحصاءات رياضية.

ينقسم تحليل البيانات إلى:

  • الإحصاء الوصفي - الجزء من الإحصاء الذي يصف البيانات، أي يلخص البيانات وخصائصها النموذجية.
  • الإحصاء الاستدلالي - الجزء من الإحصاء الذي يستخلص استنتاجات من البيانات (باستخدام نموذج ما للبيانات): على سبيل المثال، يتضمن الإحصاء الاستدلالي اختيار نموذج للبيانات، والتحقق مما إذا كانت البيانات تفي بشروط نموذج معين، مع تحديد كمية عدم اليقين المعنية (على سبيل المثال باستخدام فترات الثقة ).

في حين تعمل أدوات تحليل البيانات بشكل أفضل على البيانات المستمدة من الدراسات العشوائية، إلا أنها تُطبق أيضًا على أنواع أخرى من البيانات. على سبيل المثال، من التجارب الطبيعية والدراسات الرصدية ، وفي هذه الحالة يعتمد الاستدلال على النموذج الذي اختاره الإحصائي، وبالتالي فهو ذاتي. [3] [4]

المواضيع

وفيما يلي بعض المواضيع المهمة في الإحصاء الرياضي: [5] [6]

توزيعات الاحتمالات

توزيع الاحتمالات هو دالة تعين احتمالية لكل مجموعة فرعية قابلة للقياس من النتائج المحتملة لتجربة عشوائية أو مسح أو إجراء استدلال إحصائي . توجد أمثلة في التجارب التي تكون فيها مساحة العينة غير رقمية، حيث يكون التوزيع توزيعًا فئويًا ؛ والتجارب التي تكون مساحة العينة فيها مشفرة بمتغيرات عشوائية منفصلة ، ​​حيث يمكن تحديد التوزيع بواسطة دالة كتلة الاحتمال ؛ والتجارب التي تكون فيها مساحات العينة مشفرة بمتغيرات عشوائية مستمرة، حيث يمكن تحديد التوزيع بواسطة دالة كثافة الاحتمال . قد تتطلب التجارب الأكثر تعقيدًا، مثل تلك التي تنطوي على عمليات عشوائية محددة في وقت مستمر ، استخدام مقاييس احتمالية أكثر عمومية .

يمكن أن يكون توزيع الاحتمالات إما أحادي المتغير أو متعدد المتغيرات . يعطي التوزيع أحادي المتغير احتمالات أن يأخذ متغير عشوائي واحد قيمًا بديلة مختلفة؛ يعطي التوزيع متعدد المتغيرات ( توزيع احتمال مشترك ) احتمالات أن يأخذ متجه عشوائي - مجموعة من متغيرين عشوائيين أو أكثر - مجموعات مختلفة من القيم. تشمل توزيعات الاحتمالات أحادية المتغير المهمة والشائعة التوزيع الثنائي والتوزيع فوق الهندسي والتوزيع الطبيعي . التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات هو توزيع متعدد المتغيرات شائع الاستخدام.

توزيعات خاصة

الاستدلال الإحصائي

الاستدلال الإحصائي هو عملية استخلاص النتائج من البيانات التي تخضع للتغير العشوائي، على سبيل المثال، أخطاء الملاحظة أو اختلافات العينة. [7] المتطلبات الأولية لمثل هذا النظام من الإجراءات للاستدلال والاستقراء هي أن النظام يجب أن ينتج إجابات معقولة عند تطبيقه على مواقف محددة جيدًا وأنه يجب أن يكون عامًا بما يكفي لتطبيقه عبر مجموعة من المواقف. تُستخدم الإحصاءات الاستدلالية لاختبار الفرضيات وإجراء التقديرات باستخدام بيانات العينة. في حين تصف الإحصاءات الوصفية عينة، تستنتج الإحصاءات الاستدلالية تنبؤات حول عدد سكان أكبر تمثله العينة.

قد تكون نتيجة الاستدلال الإحصائي إجابة على السؤال "ما الذي ينبغي عمله بعد ذلك؟"، حيث قد يكون هذا قرارًا بشأن إجراء المزيد من التجارب أو المسوحات، أو استخلاص استنتاج قبل تنفيذ بعض السياسات التنظيمية أو الحكومية. في الغالب، يقدم الاستدلال الإحصائي مقترحات حول السكان، باستخدام البيانات المستمدة من السكان المعنيين عبر شكل من أشكال العينة العشوائية. وبشكل عام، يتم الحصول على البيانات حول عملية عشوائية من سلوكها الملحوظ خلال فترة زمنية محدودة. بالنظر إلى المعلمة أو الفرضية التي يرغب المرء في الاستدلال عليها، يستخدم الاستدلال الإحصائي غالبًا:

  • نموذج إحصائي للعملية العشوائية التي من المفترض أن تولد البيانات، والتي تكون معروفة عند استخدام العشوائية، و
  • تحقيق معين لعملية عشوائية؛ أي مجموعة من البيانات.

الانحدار

في الإحصاء ، تحليل الانحدار هو عملية إحصائية لتقدير العلاقات بين المتغيرات. وهو يشمل العديد من الطرق لنمذجة وتحليل العديد من المتغيرات، عندما يكون التركيز على العلاقة بين متغير تابع ومتغير مستقل واحد أو أكثر . وبشكل أكثر تحديدًا، يساعد تحليل الانحدار المرء على فهم كيفية تغير القيمة النموذجية للمتغير التابع (أو "متغير المعيار") عندما يتم تغيير أي من المتغيرات المستقلة، بينما تظل المتغيرات المستقلة الأخرى ثابتة. في أغلب الأحيان، يقدر تحليل الانحدار التوقع الشرطي للمتغير التابع بالنظر إلى المتغيرات المستقلة - أي القيمة المتوسطة للمتغير التابع عندما تكون المتغيرات المستقلة ثابتة. وفي حالات أقل شيوعًا، يكون التركيز على النسبة المئوية أو معلمة موقع أخرى للتوزيع الشرطي للمتغير التابع بالنظر إلى المتغيرات المستقلة. في جميع الحالات، يكون هدف التقدير دالة للمتغيرات المستقلة تسمى دالة الانحدار . في تحليل الانحدار، من المهم أيضًا تحديد تباين المتغير التابع حول دالة الانحدار والتي يمكن وصفها بتوزيع الاحتمالات .

تم تطوير العديد من التقنيات لتنفيذ تحليل الانحدار. الأساليب المألوفة، مثل الانحدار الخطي ، هي أساليب بارامترية ، حيث يتم تعريف دالة الانحدار من حيث عدد محدود من المعلمات غير المعروفة التي يتم تقديرها من البيانات (على سبيل المثال باستخدام المربعات الصغرى العادية ). يشير الانحدار غير البارامترية إلى الأساليب التي تسمح لدالة الانحدار بالاستلقاء في مجموعة محددة من الدوال ، والتي قد تكون ذات أبعاد لا نهائية .

إحصاءات غير معيارية

الإحصاءات غير المعلمية هي قيم محسوبة من البيانات بطريقة لا تعتمد على عائلات معلمات من توزيعات الاحتمالات . وهي تشمل كل من الإحصاءات الوصفية والاستدلالية . والمعلمات النموذجية هي التوقعات والتباين وما إلى ذلك. وعلى عكس الإحصاءات المعلمية ، لا تفترض الإحصاءات غير المعلمية أي توزيعات احتمالية للمتغيرات التي يتم تقييمها. [8]

تُستخدم الأساليب غير المعيارية على نطاق واسع لدراسة السكان الذين يأخذون ترتيبًا تصاعديًا (مثل مراجعات الأفلام التي تحصل على نجمة واحدة إلى أربع نجوم). قد يكون استخدام الأساليب غير المعيارية ضروريًا عندما تكون البيانات ذات ترتيب ولكن ليس لها تفسير رقمي واضح، كما هو الحال عند تقييم التفضيلات . من حيث مستويات القياس ، تؤدي الأساليب غير المعيارية إلى بيانات "ترتيبية".

نظرًا لأن الطرق غير المعيارية تتضمن افتراضات أقل، فإن قابلية تطبيقها أوسع بكثير من الطرق المعيارية المقابلة. وعلى وجه الخصوص، يمكن تطبيقها في المواقف التي لا يُعرف فيها الكثير عن التطبيق المعني. أيضًا، نظرًا للاعتماد على افتراضات أقل، فإن الطرق غير المعيارية أكثر قوة .

أحد عيوب الطرق غير المعلمية هو أنها لا تعتمد على الافتراضات، وبالتالي فهي أقل قوة بشكل عام من نظيراتها المعلمية. [9] الاختبارات غير المعلمية منخفضة الطاقة تشكل مشكلة لأن الاستخدام الشائع لهذه الأساليب يكون عندما يكون حجم العينة منخفضًا. [9] ثبت أن العديد من الطرق المعلمية هي الاختبارات الأكثر قوة من خلال طرق مثل مبرهنة نيمان-بيرسون واختبار نسبة الاحتمالية .

هناك مبرر آخر لاستخدام الأساليب غير المعيارية وهو البساطة. ففي بعض الحالات، حتى عندما يكون استخدام الأساليب المعيارية مبررًا، قد يكون استخدام الأساليب غير المعيارية أسهل. وبسبب هذه البساطة وقوتها الأكبر، يرى بعض الإحصائيين أن الأساليب غير المعيارية تترك مجالًا أقل للاستخدام غير السليم وسوء الفهم.

الإحصاء والرياضيات والإحصاء الرياضي

الإحصاء الرياضي هو فرع أساسي من فروع علم الإحصاء . يدرس علماء الإحصاء الإجراءات الإحصائية ويحسنونها باستخدام الرياضيات، وغالبًا ما يثير البحث الإحصائي أسئلة رياضية.

استخدم علماء الرياضيات والإحصاء مثل جاوس ولابلاس وسي إس بيرس نظرية القرار مع توزيعات الاحتمالات ووظائف الخسارة (أو وظائف المنفعة ). تم تنشيط النهج النظري لاتخاذ القرار للاستدلال الإحصائي من قبل أبراهام والد وخلفائه [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] ويستخدم على نطاق واسع الحوسبة العلمية والتحليل والتحسين ؛ لتصميم التجارب ، يستخدم الإحصائيون الجبر والتركيبات . ولكن في حين تعتمد الممارسة الإحصائية غالبًا على نظرية الاحتمالات والقرار ، فإن تطبيقها يمكن أن يكون مثيرًا للجدل [4]

انظر أيضا

مراجع

  1. ^ Kannan, D.; Lakshmikantham, V., eds. (2002). Handbook of stochastic analysis and applications . نيويورك: M. Dekker. ISBN 0824706609.
  2. ^ Schervish, Mark J. (1995). Theory of statistics (Corr. 2nd print. ed.). New York: Springer. ISBN 0387945466.
  3. ^ فريدمان، دي إيه (2005) النماذج الإحصائية: النظرية والتطبيق ، مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-67105-7 
  4. ^ ab Freedman, David A. (2010). Collier, David; Sekhon, Jasjeet S.; Stark, Philp B. (eds.). Statistical Models and Causal Inference: A Dialogue with the Social Sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-12390-7.
  5. ^ Hogg, RV, A. Craig, and JW McKean. "مقدمة في الإحصاء الرياضي". (2005).
  6. ^ لارسن، ريتشارد جيه وماركس، موريس إل. "مقدمة في الإحصاء الرياضي وتطبيقاته" (2012). برنتيس هول.
  7. ^ Upton, G., Cook, I. (2008) Oxford Dictionary of Statistics , OUP. ISBN 978-0-19-954145-4 
  8. ^ "طرق البحث غير المعيارية". جامعة كارنيجي ميلون . تم الاسترجاع في 30 أغسطس 2022 .
  9. ^ ab "الاختبارات غير المعلمية". sphweb.bumc.bu.edu . تم الاسترجاع في 2022-08-31 .
  10. ^ والد، أبراهام (1947). التحليل التسلسلي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-91806-7. انظر إعادة طبع دوفر، 2004: ISBN 0-486-43912-7 
  11. ^ والد، أبراهام (1950). وظائف القرار الإحصائي . جون وايلي وأولاده، نيويورك.
  12. ^ ليمان، إيريش (1997). اختبار الفرضيات الإحصائية (الطبعة الثانية). رقم ISBN 0-387-94919-4.
  13. ^ ليمان، إيريش ؛ كاسيلا، جورج (1998). نظرية تقدير النقاط (الطبعة الثانية). رقم ISBN  0-387-98502-6.
  14. ^ بيكل، بيتر جيه ؛ دوكسوم، كجيل أ. (2001). الإحصاءات الرياضية: الموضوعات الأساسية والمختارة . المجلد 1 (الطبعة الثانية (الطبعة المحدثة 2007)). بيرسون برنتيس هول.
  15. ^ لوكام، لوسيان (1986). الأساليب التقريبية في نظرية القرار الإحصائي . دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-96307-3.
  16. ^ Liese, Friedrich & Miescke, Klaus-J. (2008). Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection . Springer.

قراءة إضافية

  • بوروفكوف، أ. أ. (1999). الإحصاء الرياضي . دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 90-5699-018-7 
  • المختبرات الافتراضية في الاحتمالات والإحصاء (جامعة ألاباما-هانتسفيل)
  • StatiBot، نظام خبير تفاعلي عبر الإنترنت في الاختبارات الإحصائية.
  • راي مانوهار. شارما، هار سواروب (1966). الإحصاء الرياضي. رام براساد وأولاده. رقم الكتاب الدولي المعياري  978-9383385188
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematical_statistics&oldid=1254087242"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate