سلسلة دايسون

في نظرية التشتت ، وهي فرع من الفيزياء الرياضية ، تُعدّ متسلسلة دايسون ، التي صاغها فريمان دايسون ، توسيعًا اضطرابيًا لمؤثر التطور الزمني في صورة التفاعل . ويمكن تمثيل كل حد في هذا التوسيع بمجموع مخططات فاينمان .

تتباعد هذه السلسلة تقاربياً ، ولكن في الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) عند الرتبة الثانية، يكون الفرق عن البيانات التجريبية في حدود 10⁻¹⁰ ^. ويعود هذا التطابق الوثيق إلى أن ثابت الاقتران (المعروف أيضاً بثابت البنية الدقيقة ) في الديناميكا الكهربائية الكمومية أقل بكثير من ¹  .

في صورة التفاعل ، يمكن تقسيم الهاميلتوني H إلى جزء حر H ₀ وجزء متفاعل V _S ( t ) على النحو التالي: H = H ₀ + V _S ( t ) .

الإمكانات الكامنة في الصورة التفاعلية هي

${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}$

أين${\displaystyle H_{0}}$مستقل عن الزمن و${\displaystyle V_{\mathrm {S} }(t)}$يمثل الجزء التفاعلي الذي قد يعتمد على الزمن في نموذج شرودنغر . لتجنب الرموز السفلية،${\displaystyle V(t)}$يرمز إلى${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)}$فيما يلي.

في صورة التفاعل، يُعرَّف عامل التطور U بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})}$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم عامل دايسون .

يشكل عامل التطور مجموعة وحدوية بالنسبة لمعامل الزمن. وله خصائص المجموعة التالية:

• الهوية والتطبيع:${\displaystyle U(t,t)=1,}$^{[ 1 ]}
• تعبير:${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$^{[ 2 ]}
• عكس الزمن:${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$
• الوحدة:${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }$^{[ 3 ]}

ومن هذه يمكن اشتقاق معادلة التطور الزمني للمُوَصِّل: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

في صورة التفاعل ، يكون الهاميلتوني هو نفسه جهد التفاعل${\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}$وبالتالي يمكن كتابة المعادلة أيضًا في صورة التفاعل على النحو التالي

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H_{\rm {int}}\Psi (t)}$

تنبيه : يجب عدم الخلط بين معادلة تطور الزمن هذه ومعادلة توموناغا-شوينغر .

الحل الرسمي هو

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},}$

وهو في النهاية نوع من أنواع التكامل الفولتيرا .

يؤدي الحل التكراري لمعادلة فولتيرا أعلاه إلى متسلسلة نيومان التالية :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

هنا،${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$وبالتالي، تكون الحقول مرتبة زمنيًا . من المفيد إدخال عامل تشغيل${\displaystyle {\mathcal {T}}}$، والذي يُطلق عليه عامل ترتيب الوقت ، ولتعريف

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

يمكن تبسيط حدود التكامل. بشكل عام، بالنظر إلى دالة متناظرة معينة${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}),}$يمكن تعريف التكاملات

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

و

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

يمكن تقسيم منطقة تكامل التكامل الثاني إلى${\displaystyle n!}$المناطق الفرعية، التي تحددها${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$بسبب تناظر${\displaystyle K}$، يكون التكامل في كل منطقة فرعية من هذه المناطق متساوياً ويساوي${\displaystyle S_{n}}$بحسب التعريف. ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

بتطبيق ذلك على المتطابقة السابقة، نحصل على

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

بجمع جميع الحدود، نحصل على متسلسلة دايسون. وهي نسخة مبسطة من متسلسلة نيومان المذكورة أعلاه، والتي تتضمن حاصل الضرب المرتب زمنيًا؛ وهي الدالة الأسية المرتبة مساريًا : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}$

تُعرف هذه النتيجة أيضاً باسم صيغة دايسون. ^{[ 6 ]} ويمكن اشتقاق قوانين المجموعة من هذه الصيغة.

متجه الحالة مع مرور الوقت${\displaystyle t}$يمكن التعبير عنها بدلالة متجه الحالة عند الزمن${\displaystyle t_{0}}$، ل${\displaystyle t>t_{0},}$مثل

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{0}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}(t_{k}-t_{0})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{k})e^{-iH_{0}(t_{k}-t_{0})/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

الضرب الداخلي لحالة ابتدائية عند${\displaystyle t_{i}=t_{0}}$مع حالة نهائية عند${\displaystyle t_{f}=t}$في صورة شرودنغر ، لـ${\displaystyle t_{f}>t_{i}}$يكون:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{iH_{0}(t_{1}-t_{i})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}$

يمكن الحصول على مصفوفة S عن طريق كتابة هذا في صورة هايزنبرغ ، مع اعتبار حالات الدخول والخروج عند اللانهاية: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}$

لاحظ أن ترتيب الوقت قد تم عكسه في الضرب القياسي.

• معادلة شوينجر-دايسون
• سلسلة ماغنوس
• سلسلة بيانو-بيكر
• تكرار بيكارد

• تشارلز ج. جواكين ، نظرية التصادم الكمومي ، دار نشر نورث هولاند، 1975، رقم ISBN 0-444-86773-2(إلسيفير)