مصفوفة S

مصفوفة النقل${\displaystyle M}$يتعلق الأمر بالموجات المستوية${\displaystyle Ce^{ikx}}$و${\displaystyle De^{-ikx}}$على الجانب الأيمن من جهد التشتت للموجات المستوية${\displaystyle Ae^{ikx}}$و${\displaystyle Be^{-ikx}}$على الجانب الأيسر : ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$ويمكن اشتقاق مكوناتها من مكونات مصفوفة S عبر: ^{[ 6 ]}${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$و${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$، حيث يُفترض وجود تناظر عكس الزمن.

في حالة تناظر انعكاس الزمن، تكون مصفوفة النقل${\displaystyle \mathbf {M} }$يمكن التعبير عنها بثلاثة معلمات حقيقية:

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$ مع${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$و${\displaystyle r\in [0;1]}$(في حالة r = 1، لن يكون هناك اتصال بين الجانب الأيسر والجانب الأيمن)

المسألة أحادية البعد وغير النسبية ذات التناظر العكسي الزمني لجسيم كتلته m يقترب من بئر مربع محدود (ساكن) ، لها دالة الجهد V مع $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{لـ}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{و}}\\[1ex]0&{\text{لـ}}~~|x|>a\end{cases}}}$$ يمكن حل مشكلة التشتت عن طريق تحليل حزمة الموجات للجسيم الحر إلى موجات مستوية${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$مع أرقام الموجات${\displaystyle k>0}$بالنسبة لموجة مستوية قادمة (بعيدًا) من الجانب الأيسر أو ما شابه ذلك${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$(بعيدًا) من الجانب الأيمن.

مصفوفة S للموجة المستوية ذات العدد الموجي k لها الحل التالي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$ و${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$ ؛ لذلك${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$وبالتالي ${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$و${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$في هذه الحالة.

وبناءً على ذلك${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$يمثل العدد الموجي (المتزايد) للموجة المستوية داخل البئر المربع، باعتباره القيمة الذاتية للطاقة${\displaystyle E_{k}}$يجب أن يظل الثابت المرتبط بالموجة المستوية ثابتًا:${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

ناقل الحركة هو${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

في حالة${\displaystyle \sin(2la)=0}$ثم${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$وبالتالي${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$و${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$أي أن الموجة المستوية ذات العدد الموجي k تمر عبر البئر دون انعكاس إذا${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$لـ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

الحاجز المربع يشبه البئر المربع مع اختلاف أن${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$ل${\displaystyle |x|\leq a}$.

توجد ثلاث حالات مختلفة تبعًا لقيمة الطاقة الذاتية${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$من الموجات المستوية (ذات الأرقام الموجية k و -k ) بعيدًا عن الحاجز:

إذا كان a † ⁽ k ) عامل إنشاء ، فإن مرافقه الهيرميتي هو عامل إفناء ويدمر الفراغ. $${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

في تدوين ديراك ، عرّف $${\displaystyle |*,0\rangle }$$ باعتبارها حالة كمومية فراغية ، أي حالة خالية من الجسيمات الحقيقية. تشير العلامة النجمية إلى أن الفراغات ليست بالضرورة متساوية، وبالتأكيد ليست مساوية لحالة الصفر في فضاء هيلبرت 0. يُفترض أن جميع حالات الفراغ ثابتة تحت تأثير بوانكاريه ، أي ثابتة تحت الإزاحات والدورانات والتحويلات، ^{[ 11 ]} رسميًا. $${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$ حيث Pμ هو مولد الإزاحة في المكان والزمان، و Mμν هو مولد تحويلات لورنتز . وبالتالي ^{، فإن} وصف الفراغ مستقل عن الإطار المرجعي. يرتبط بالحالتين الداخلة والخارجة المراد تعريفهما مؤثرا الحقل الداخل والخارج ( المعروفان أيضًا بالحقول ) Φi و Φo _. ينصب التركيز هنا على أبسط حالة، وهي حالة النظرية العددية، وذلك لتوضيحها بأقل قدر ممكن من التعقيد في الترميز. تحقق الحقول الداخلة والخارجة الشروط التالية _:$${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$معادلة كلاين-غوردون الحرة . يُفترض أن هذه الحقول لها نفس علاقات التبادل الزمني المتساوي (ETCR) مثل الحقول الحرة. $${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$ حيث π _{i , j} هو الحقل المرافق قانونيًا لـ Φ _{i , j} . يرتبط بحقلي الإدخال والإخراج مجموعتان من مؤثرات الإنشاء والإفناء، a ^† _i ( k ) و a ^† _f ( k ) ، تعملان في نفس فضاء هيلبرت ، ^{[ 12 ]} على مجموعتين كاملتين مختلفتين ( فضاءات فوك ؛ الفضاء الابتدائي i ، الفضاء النهائي f ). تحقق هذه المؤثرات قواعد التبادل المعتادة. $${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

يُعطى تأثير عوامل الإنشاء على فراغاتها وحالاتها الخاصة ذات العدد المحدود من الجسيمات في حالتي الدخول والخروج بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$ حيث تم تجاهل مسائل التطبيع. انظر القسم التالي للاطلاع على شرح مفصل لكيفية تطبيع حالة عامة مكونة من n جسيم . يتم تعريف المساحتين الابتدائية والنهائية بواسطة $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

يُفترض أن الحالات التقاربية لها خصائص تحويل بوانكاريه محددة جيدًا، أي أنها تُفترض أنها تتحول كحاصل ضرب مباشر لحالات الجسيم الواحد. ^{[ 13 ]} هذه سمة مميزة للحقل غير المتفاعل. ومن هذا يترتب أن جميع الحالات التقاربية هي ^حالات ذاتية لمؤثر الزخم Pμ ^. [ ^{11 ]}$${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$ وعلى وجه الخصوص، فهي حالات ذاتية للهاميلتوني الكامل، $${\displaystyle H=P^{0}.}$$

عادة ما يُفترض أن يكون الفراغ مستقرًا وفريدًا، ^{[ 11 ] [ ملاحظة 1 ]}$${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

يُفترض أن التفاعل يتم تشغيله وإيقافه بشكل أديباتي.

يُستخدم تمثيل هايزنبرغ فيما يلي. في هذا التمثيل، تكون الحالات مستقلة عن الزمن. وبالتالي، يُمثل متجه حالة هايزنبرغ تاريخ الزمكان الكامل لنظام من الجسيمات. ^{[ 13 ]} يشير تصنيف حالات الدخول والخروج إلى المظهر التقاربي. تتميز الحالة Ψα _{، في} بأنها عندما t → −∞، يكون محتوى الجسيمات هو ما يُمثله α بشكل جماعي . وبالمثل، فإن الحالة Ψβ _{، في الخارج،} سيكون محتوى الجسيمات فيها هو ما يُمثله β عندما t → +∞ . بافتراض أن حالات الدخول والخروج، بالإضافة إلى الحالات المتفاعلة، تشغل نفس فضاء هيلبرت، وبافتراض اكتمال حالات الدخول والخروج المُعَيَّرة (مسلمة الاكتمال التقاربي ^{[ 11 ]} )، يمكن توسيع الحالات الأولية في أساس من الحالات النهائية (أو العكس). سيتم تقديم التعبير الصريح لاحقًا بعد تقديم المزيد من الرموز والمصطلحات. معاملات التوسع هي بالضبط عناصر مصفوفة S التي سيتم تعريفها أدناه.

بينما تظل متجهات الحالة ثابتة مع الزمن في نموذج هايزنبرغ، فإن الحالات الفيزيائية التي تمثلها ليست كذلك . إذا وُجد نظام ما في الحالة Ψ عند الزمن t = 0 ، فإنه سيُوجد في الحالة U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψ عند الزمن t = τ . هذا ليس بالضرورة متجه حالة هايزنبرغ نفسه، ولكنه متجه حالة مكافئ ، أي أنه عند قياسه، سيُوجد كإحدى الحالات النهائية الناتجة عن التوسع بمعامل غير صفري. بتغيير قيمة τ ، نلاحظ أن Ψ المرصودة (غير المقاسة) هي بالفعل متجه حالة نموذج شرودنغر . بتكرار القياس مرات كافية وحساب المتوسط، يمكن القول إن متجه الحالة نفسه موجود بالفعل عند الزمن t = τ كما هو موجود عند الزمن t = 0. وهذا يعكس التوسع المذكور أعلاه لحالة داخلية إلى حالات خارجية.

من هذا المنظور، ينبغي النظر في كيفية إجراء تجربة التشتت النموذجية. تُحضّر الجسيمات الأولية في حالات محددة بدقة، حيث تكون متباعدة لدرجة تمنعها من التفاعل. ثم تُجبر بطريقة ما على التفاعل، وتُسجّل الجسيمات النهائية عندما تكون متباعدة لدرجة توقف تفاعلها. الفكرة هي البحث عن حالات في نموذج هايزنبرغ كانت في الماضي البعيد تبدو كحالات جسيمات حرة. هذه هي حالات الدخول. وبالمثل، ستكون حالة الخروج حالةً تبدو في المستقبل البعيد كحالة جسيمات حرة. ^{[ 13 ]}

سيتم استخدام الرموز الواردة في المرجع العام لهذا القسم، واينبرغ (2002) . وتُعطى حالة الجسيمات المتعددة غير المتفاعلة العامة بالصيغة التالية: $${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$ أين

• p هو الزخم،
• σ هو المكون z للدوران، أو في حالة انعدام الكتلة، الحلزونية .
• n هو نوع الجسيمات.

يتم تطبيع هذه الحالات على النحو التالي: $${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$ تعمل التباديل على هذا النحو؛ إذا كان s ∈ S _k تبديلاً لـ k من العناصر ( لحالة k من الجسيمات ) بحيث $${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$ عندئذٍ ينتج حدٌّ غير صفري. تكون الإشارة موجبة إلا إذا كان s يتضمن عددًا فرديًا من عمليات نقل الفرميونات، فحينها تكون سالبة. عادةً ما يُختصر الترميز بجعل حرف يوناني واحد يُمثل المجموعة الكاملة التي تصف الحالة. في الشكل المختصر، يصبح التوحيد $${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$ عند إجراء التكامل على حالات الجسيمات الحرة، يُكتب ذلك باستخدام هذه الصيغة. $${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$ حيث يشمل المجموع فقط الحدود التي لا يتساوى فيها أي حدين بتردد تبديل مؤشرات نوع الجسيم. يُفترض أن تكون مجموعات الحالات المطلوبة كاملة . ويُعبر عن ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$ والتي يمكن إعادة صياغتها على النحو التالي $${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$ حيث يمثل الطرف الأيمن، لكل قيمة ثابتة لـ α ، عامل إسقاط على الحالة α . في ظل تحويل لورنتز غير متجانس (Λ, a ) ، يتحول الحقل وفقًا للقاعدة التالية:

${\displaystyle \displaystyle U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }={\frac {e^{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}}{\left({\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}\right)^{-1/2}}}\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1}))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots }}$،

1

حيث W (Λ, p ) هي دوران ويغنر و D ^{( j )} هي التمثيل ذو الأبعاد ( 2j + 1) لـ SO(3) . بوضع Λ = 1 و a = ( τ , 0, 0, 0) ، حيث U هي exp( iHτ ) ، في (1) ، ينتج مباشرة أن $${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$$^{لذا ،} فإن الحالات الداخلة والخارجة المطلوبة هي حالات ذاتية للهاميلتوني الكامل، وهي بالضرورة غير متفاعلة بسبب غياب حدود طاقة الجسيمات المختلطة. ويشير النقاش في القسم أعلاه إلى أن الحالات الداخلة Ψ ⁺ والحالات الخارجة Ψ− يجب أن تكون بحيث $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$$بالنسبة لقيم τ الموجبة والسالبة الكبيرة، يظهر شكل الحزمة المقابلة، المُمثلة بـ g ، لحالات الجسيمات الحرة، حيث يُفترض أن g سلسة وموضعية بشكل مناسب في الزخم. حزم الموجات ضرورية، وإلا فإن التطور الزمني سيُنتج فقط عامل طور يُشير إلى الجسيمات الحرة، وهو أمر غير ممكن. يتبع الطرف الأيمن من كون حالتي الدخول والخروج حالتين ذاتيتين للهاميلتوني كما ذُكر أعلاه. لإضفاء الطابع الرسمي على هذا الشرط، نفترض أن الهاميلتوني الكامل _H يُمكن تقسيمه إلى حدين، هاميلتوني الجسيمات الحرة H₀ وتفاعل V ، _حيث H = H₀ + V، _بحيث يكون للحالات الذاتية Φγ لـ H₀ نفس مظهر حالتي الدخول والخروج فيما يتعلق بخصائص التطبيع وتحويل لورنتز _.$${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$$$${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

تُعرَّف حالتا الدخول والخروج على أنهما حالتان ذاتيتان للهاميلتوني الكامل، $${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ مُرضٍ $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$$ إلى عن على τ → −∞ أو τ → +∞ على التوالي. يُعرِّف $${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$$ ثم $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$$ لن يعمل هذا التعبير الأخير إلا باستخدام حزم الموجات. ومن هذه التعريفات يتبين أن حالات الإدخال والإخراج يتم تطبيعها بنفس طريقة حالات الجسيمات الحرة. $${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$$ والمجموعات الثلاث متكافئة وحدوياً. الآن أعد كتابة معادلة القيم الذاتية، $${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ حيث تمت إضافة الحدين ± iε لجعل المؤثر على الجانب الأيسر قابلاً للعكس. وبما أن حالتي الدخول والخروج تختزلان إلى حالات الجسيمات الحرة عندما V → 0 ، نضع $${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$$ على الجانب الأيمن للحصول على $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$$ ثم استخدم اكتمال حالات الجسيمات الحرة، $${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$$ للحصول في النهاية $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$$ هنا تم استبدال H ₀ بقيمتها الذاتية على حالات الجسيمات الحرة. هذه هي معادلة ليبمان-شوينجر .

يمكن توسيع الحالات الأولية في أساس من الحالات النهائية (أو العكس). باستخدام علاقة الاكتمال، $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$$$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$$ حيث | C _m | ^² هو احتمال تحول التفاعل $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$$ داخل $${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.}$$ وفقًا للقواعد العادية لميكانيكا الكم، $${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$$ ويمكن للمرء أن يكتب $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$$ معاملات التوسع هي بالضبط عناصر مصفوفة S التي سيتم تعريفها أدناه.