ترتيب المسار

في الفيزياء النظرية ، يُعد ترتيب المسار إجراءً (أو عاملًا فوقيًا)${\displaystyle {\mathcal {P}}}$) الذي يرتب ناتج العمليات وفقًا لقيمة المعامل المختار :

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

هنا، p عبارة عن تبديل يرتب المعاملات حسب قيمتها:

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

على سبيل المثال:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}$

في العديد من مجالات الفيزياء، يُعد ترتيب المسار هو النوع الأكثر شيوعًا ، والذي تمت مناقشته بالتفصيل أدناه.

إذا لم يُعبَّر عن مؤثرٍ ما ببساطةٍ كحاصل ضرب، بل كدالةٍ لمؤثرٍ آخر، فيجب علينا أولًا إجراء توسيع تايلور لهذه الدالة. هذا هو الحال مع حلقة ويلسون ، التي تُعرَّف كدالة أسية مُرتبة مسارًا لضمان أن حلقة ويلسون تُشفِّر هولونوميا اتصال القياس . المعامل σ الذي يُحدِّد الترتيب هو معامل يصف المسار ، ولأن المسار مغلق، يجب تعريف حلقة ويلسون كأثر لكي تكون ثابتة القياس .

في نظرية الحقل الكمومي، من المفيد حساب حاصل الضرب الزمني للمؤثرات. ويُرمز لهذه العملية بـ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. (بالرغم من${\displaystyle {\mathcal {T}}}$يُطلق عليه غالبًا اسم "عامل ترتيب الوقت"، وبالمعنى الدقيق للكلمة فهو ليس عاملًا على الحالات ولا عاملًا فائقًا على العوامل.

بالنسبة لمؤثرين A ( x ) و B ( y ) يعتمدان على مواقع الزمكان x و y، فإننا نحدد ما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{إذا كان }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{إذا كان }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

هنا${\displaystyle \tau _{x}}$و${\displaystyle \tau _{y}}$^{[ 1 ]} تشير إلى الإحداثيات الزمنية العددية الثابتة للنقطتين x و y.

لدينا صراحةً

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

أين${\displaystyle \theta }$يرمز إلى دالة هيفسايد المتدرجة و${\displaystyle \pm }$يعتمد ذلك على ما إذا كانت المؤثرات بوزونية أم فرميونية . في حالة المؤثرات البوزونية، يُختار دائمًا رمز الجمع (+). أما في حالة المؤثرات الفرميونية، فيعتمد الرمز على عدد عمليات تبديل المؤثرات اللازمة لتحقيق الترتيب الزمني الصحيح. تجدر الإشارة إلى أن العوامل الإحصائية لا تدخل في هذه الحالة.

بما أن المؤثرات تعتمد على موقعها في الزمكان (أي ليس فقط على الزمن)، فإن عملية ترتيب الزمن هذه لا تكون مستقلة عن الإحداثيات إلا إذا كانت المؤثرات عند النقاط المتباعدة مكانيًا تتبادل . ولهذا السبب من الضروري استخدام${\displaystyle \tau }$بدلاً من${\displaystyle t_{0}}$، منذ${\displaystyle t_{0}}$يشير عادةً إلى فهرس زمني يعتمد على الإحداثيات لنقطة الزمكان. لاحظ أن الترتيب الزمني يُكتب عادةً بحيث يتزايد وسيط الزمن من اليمين إلى اليسار.

بشكل عام، بالنسبة لضرب n من عوامل المجال A ₁ ( t ₁ ), …, A _n ( t _n ) يتم تعريف الضرب الزمني للعوامل على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

حيث يمتد المجموع على جميع قيم p وعلى المجموعة المتناظرة للتباديل من الدرجة n و

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{للمؤثرات البوزونية،}}\\{\text{إشارة التبديل}}&{\text{للمؤثرات الفرميونية.}}\end{cases}}}$

تُعدّ مصفوفة التشتت ( S -matrix) في نظرية الحقل الكمومي مثالًا على الضرب المرتب زمنيًا. ويمكن اعتبار مصفوفة التشتت، التي تحوّل الحالة عند t = −∞ إلى حالة عند t = +∞ ، نوعًا من " الهولوونوميا "، على غرار حلقة ويلسون . ونحصل على تعبير مرتب زمنيًا للسبب التالي:

نبدأ بهذه الصيغة البسيطة للدالة الأسية

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

والآن، لننظر إلى عامل التطور المتقطع

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

أين${\displaystyle 1+h_{j}}$هو عامل التطور على فترة زمنية متناهية الصغر${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$يمكن إهمال الحدود ذات الرتبة الأعلى في النهاية.${\displaystyle \varepsilon \to 0}$المشغل${\displaystyle h_{j}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

لاحظ أن عوامل التطور على فترات الزمن "الماضية" تظهر على الجانب الأيمن من الناتج. نرى أن الصيغة مماثلة للمتطابقة المذكورة أعلاه التي تحققها الدالة الأسية، ويمكننا كتابة

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

التفصيل الدقيق الوحيد الذي كان علينا تضمينه هو عامل ترتيب الوقت${\displaystyle {\mathcal {T}}}$لأن العوامل في المنتج الذي يحدد S أعلاه كانت مرتبة زمنيًا أيضًا (ولا تتبادل العمليات بشكل عام) والعملية${\displaystyle {\mathcal {T}}}$يضمن ذلك الحفاظ على هذا الترتيب.

• الدالة الأسية المرتبة (وهي في الأساس نفس المفهوم)
• سلسلة دايسون
• نظرية القياس
• مصفوفة S