سلسلة إيدجوورث

في نظرية الاحتمالات ، تُعتبر متسلسلة غرام-شارلييه A (التي سُميت تكريمًا ليورغن بيدرسن غرام وكارل شارلييه )، ومتسلسلة إيدجوورث (التي سُميت تكريمًا لفرانسيس يسيدرو إيدجوورث ) متسلسلات تُقارب توزيعًا احتماليًا على خط الأعداد الحقيقية.${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$من حيث تراكماتها . [ ^{1 ] المتسلسلات} متطابقة، لكن ترتيب الحدود (وبالتالي دقة اقتطاع المتسلسلة) يختلف. ^{[ 2 ]} الفكرة الأساسية لهذه التوسعات هي كتابة الدالة المميزة للتوزيع الذي تُقارب دالة كثافة احتماله f بدلالة الدالة المميزة لتوزيع ذي خصائص معروفة ومناسبة، واستعادة f من خلال تحويل فورييه العكسي .

ندرس متغيرًا عشوائيًا متصلًا. ليكن${\displaystyle {\hat {f}}}$لتكن الدالة المميزة لتوزيعها الذي تكون دالة كثافته f ، و${\displaystyle \kappa _{r}}$نُوسّعها بدلالة توزيع معروف بدالة كثافة احتمالية ψ ، ودالة مميزة.${\displaystyle {\hat {\psi }}}$، والتراكمات${\displaystyle \gamma _{r}}$يُختار عادةً دالة الكثافة ψ لتكون دالة التوزيع الطبيعي ، ولكن توجد خيارات أخرى ممكنة أيضًا. وبحسب تعريف العزوم التراكمية، لدينا (انظر والاس، 1958) ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]}$و

${\displaystyle {\hat {\psi }}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\gamma _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right],}$

مما يعطي الهوية الرسمية التالية:

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]{\hat {\psi }}(t)\,.}$

بحسب خصائص تحويل فورييه،${\displaystyle (it)^{r}{\hat {\psi }}(t)}$هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle (-1)^{r}[D^{r}\psi ](-x)}$حيث D هو المؤثر التفاضلي بالنسبة إلى x . وبالتالي، بعد تغيير${\displaystyle x}$مع${\displaystyle -x}$على جانبي المعادلة، نجد لـ f التوسع الرسمي

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\psi (x)\,.}$

إذا تم اختيار ψ ككثافة طبيعية

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

بمتوسط ​​وتباين كما هو موضح بواسطة f ، أي المتوسط${\displaystyle \mu =\kappa _{1}}$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}=\kappa _{2}}$ثم يصبح التوسع

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\phi (x),}$

منذ${\displaystyle \gamma _{r}=0}$لجميع قيم r > 2، حيث أن العزوم التراكمية العليا للتوزيع الطبيعي تساوي صفرًا. بتوسيع الدالة الأسية وتجميع الحدود وفقًا لرتبة المشتقات، نصل إلى متسلسلة غرام-شارلييه A. يمكن كتابة هذا التوسيع بشكل مختصر بدلالة كثيرات حدود بيل كما يلي:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n}){\frac {(-D)^{n}}{n!}}.}$

بما أن المشتقة النونية للدالة الغاوسية${\displaystyle \phi }$يُعطى بدلالة متعددة حدود هيرميت على النحو التالي

${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sigma ^{n}}}He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\phi (x),}$

وهذا يعطينا الصيغة النهائية لسلسلة غرام-شارلييه A كما يلي:

${\displaystyle f(x)=\phi (x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

بإجراء التكامل على المتسلسلة نحصل على دالة التوزيع التراكمي

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=\Phi (x)-\phi (x)\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n-1}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n-1}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

أين${\displaystyle \Phi }$هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي.

إذا قمنا بتضمين أول حدين تصحيحيين فقط للتوزيع الطبيعي، فسنحصل على

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[1+{\frac {\kappa _{3}}{3!\sigma ^{3}}}He_{3}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {\kappa _{4}}{4!\sigma ^{4}}}He_{4}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]\,,}$

مع${\displaystyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}$و${\displaystyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}$.

لاحظ أن هذا التعبير ليس مضمونًا أن يكون موجبًا، وبالتالي فهو ليس توزيعًا احتماليًا صحيحًا. تتباعد متسلسلة غرام-شارلييه A في العديد من الحالات المهمة، وهي تتقارب فقط إذا${\displaystyle f(x)}$يتلاشى أسرع من${\displaystyle \exp(-(x^{2})/4)}$عند اللانهاية (كريمر، 1957). عندما لا تتقارب المتسلسلة، فإنها لا تُعدّ توسيعًا تقاربيًا حقيقيًا ، لأنه لا يمكن تقدير خطأ التوسيع. لهذا السبب، تُفضّل متسلسلة إيدجوورث (انظر القسم التالي) عمومًا على متسلسلة غرام-شارلييه أ.

طوّر إيدجوورث متسلسلة مماثلة كتحسين لنظرية النهاية المركزية . ^{[ 4 ]} وتكمن ميزة متسلسلة إيدجوورث في التحكم في الخطأ، مما يجعلها متسلسلة تقاربية حقيقية .

يترك${\displaystyle \{Z_{i}\}}$لتكن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات متوسط ​​محدود${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$ودع${\displaystyle X_{n}}$لتكن مجاميعهم المعيارية:

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Z_{i}-\mu }{\sigma }}.}$

يترك${\displaystyle F_{n}}$تشير إلى دوال التوزيع التراكمي للمتغيرات${\displaystyle X_{n}}$ثم، بحسب نظرية النهاية المركزية،

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=\Phi (x)\equiv \int _{-\infty }^{x}{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}q^{2}}dq}$

لكل${\displaystyle x}$، طالما أن المتوسط ​​والتباين محدودان.

توحيد المعايير${\displaystyle \{Z_{i}\}}$يضمن أن يكون أول عزمين تراكميين لـ${\displaystyle X_{n}}$نكون${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}=0}$و${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}=1.}$والآن افترض أنه بالإضافة إلى امتلاك المتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع${\displaystyle Z_{i}}$لها تراكمات أعلى${\displaystyle \kappa _{r}}$انطلاقاً من خصائص الجمع والتجانس للتراكمات، فإن تراكمات${\displaystyle X_{n}}$من حيث التراكمات لـ${\displaystyle Z_{i}}$هي لـ${\displaystyle r\geq 2}$،

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}={\frac {n\kappa _{r}}{\sigma ^{r}n^{r/2}}}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\quad \mathrm {where} \quad \lambda _{r}={\frac {\kappa _{r}}{\sigma ^{r}}}.}$

إذا قمنا بتوسيع التعبير الرسمي للدالة المميزة${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)}$ل${\displaystyle F_{n}}$من حيث التوزيع الطبيعي القياسي، أي إذا وضعنا

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}),}$

ثم تكون فروق التراكم في التوسع هي

${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}-\gamma _{1}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}-\gamma _{2}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}-\gamma _{r}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}};\qquad r\geq 3.}$

متسلسلة غرام-شارلييه أ لدالة الكثافة لـ${\displaystyle X_{n}}$هو الآن

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {1}{r!}}B_{r}\left(0,0,{\frac {\lambda _{3}}{n^{1/2}}},\ldots ,{\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\right)He_{r}(x).}$

تُطوَّر متسلسلة إيدجوورث بشكل مشابه لمتسلسلة غرام-شارلييه أ، إلا أن الحدود تُجمع الآن وفقًا لقوى${\displaystyle n}$يمكن الحصول على معاملات الحد n ^{− m /2} بجمع أحاديات حدود كثيرات حدود بيل الموافقة للتقسيمات الصحيحة لـ m . وبالتالي، نحصل على الدالة المميزة كما يلي:

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)=\left[1+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(it)}{n^{j/2}}}\right]\exp(-t^{2}/2)\,,}$

أين${\displaystyle P_{j}(x)}$هي متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle 3j}$مرة أخرى، بعد التحويل العكسي لفورييه، دالة الكثافة${\displaystyle f_{n}}$يتبع ذلك كما يلي

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(-D)}{n^{j/2}}}\phi (x)\,.}$

وبالمثل، بتكامل المتسلسلة، نحصل على دالة التوزيع

${\displaystyle F_{n}(x)=\Phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{j/2}}}{\frac {P_{j}(-D)}{D}}\phi (x)\,.}$

يمكننا كتابة متعددة الحدود بشكل صريح${\displaystyle P_{m}(-D)}$مثل

${\displaystyle P_{m}(-D)=\sum \prod _{i}{\frac {1}{k_{i}!}}\left({\frac {\lambda _{l_{i}}}{l_{i}!}}\right)^{k_{i}}(-D)^{s},}$

حيث يكون الجمع على جميع التقسيمات الصحيحة لـ m بحيث${\displaystyle \sum _{i}ik_{i}=m}$و${\displaystyle l_{i}=i+2}$و${\displaystyle s=\sum _{i}k_{i}l_{i}.}$

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة m تساوي 3، فهناك ثلاث طرق لتقسيم هذا العدد: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3. ولذلك، نحتاج إلى دراسة ثلاث حالات:

• 1 + 1 + 1 = 1 · k ₁ ، لذلك لدينا k ₁ = 3، l ₁ = 3، و s = 9.
• 1 + 2 = 1 · k ₁ + 2 · k ₂ ، لذلك لدينا k ₁ = 1، k ₂ = 1، l ₁ = 3، l ₂ = 4، و s = 7.
• 3 = 3 · k ₃ ، لذلك لدينا k ₃ = 1، l ₃ = 5، و s = 5.

وبالتالي، فإن متعددة الحدود المطلوبة هي

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}(-D)&={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)^{3}(-D)^{9}+{\frac {1}{1!1!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)\left({\frac {\lambda _{4}}{4!}}\right)(-D)^{7}+{\frac {1}{1!}}\left({\frac {\lambda _{5}}{5!}}\right)(-D)^{5}\\&={\frac {\lambda _{3}^{3}}{1296}}(-D)^{9}+{\frac {\lambda _{3}\lambda _{4}}{144}}(-D)^{7}+{\frac {\lambda _{5}}{120}}(-D)^{5}.\end{aligned}}}$

الحدود الخمسة الأولى من التوسع هي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x)&=\phi (x)\\&\quad -n^{-{\frac {1}{2}}}\left({\tfrac {1}{6}}\lambda _{3}\,\phi ^{(3)}(x)\right)\\&\quad +n^{-1}\left({\tfrac {1}{24}}\lambda _{4}\,\phi ^{(4)}(x)+{\tfrac {1}{72}}\lambda _{3}^{2}\,\phi ^{(6)}(x)\right)\\&\quad -n^{-{\frac {3}{2}}}\left({\tfrac {1}{120}}\lambda _{5}\,\phi ^{(5)}(x)+{\tfrac {1}{144}}\lambda _{3}\lambda _{4}\,\phi ^{(7)}(x)+{\tfrac {1}{1296}}\lambda _{3}^{3}\,\phi ^{(9)}(x)\right)\\&\quad +n^{-2}\left({\tfrac {1}{720}}\lambda _{6}\,\phi ^{(6)}(x)+\left({\tfrac {1}{1152}}\lambda _{4}^{2}+{\tfrac {1}{720}}\lambda _{3}\lambda _{5}\right)\phi ^{(8)}(x)+{\tfrac {1}{1728}}\lambda _{3}^{2}\lambda _{4}\,\phi ^{(10)}(x)+{\tfrac {1}{31104}}\lambda _{3}^{4}\,\phi ^{(12)}(x)\right)\\&\quad +O\left(n^{-{\frac {5}{2}}}\right).\end{aligned}}}$

هنا، φ ^{( j )} ( x ) هي المشتقة j للدالة φ(·) عند النقطة x . مع الأخذ في الاعتبار أن مشتقات كثافة التوزيع الطبيعي مرتبطة بالكثافة الطبيعية بواسطة${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}He_{n}(x)\phi (x)}$، (أين${\displaystyle He_{n}}$(حيث أن دالة هيرميت متعددة الحدود من الرتبة n )، وهذا يفسر التمثيلات البديلة بدلالة دالة الكثافة. وقد قدم بلينيكوف وموسنر (1998) خوارزمية بسيطة لحساب الحدود ذات الرتب الأعلى في المتسلسلة.

تجدر الإشارة إلى أنه في حالة التوزيعات الشبكية (التي لها قيم منفصلة)، يجب تعديل توسيع إيدجوورث لمراعاة القفزات غير المتصلة بين نقاط الشبكة. ^{[ 6 ]}

يأخذ ${\displaystyle X_{i}\sim \chi ^{2}(k=2),\,i=1,2,3\,(n=3)}$ومتوسط ​​العينة${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{3}}\sum _{i=1}^{3}X_{i}}$.

يمكننا استخدام عدة توزيعات لـ${\displaystyle {\bar {X}}}$:

• التوزيع الدقيق، الذي يتبع توزيع جاما :${\displaystyle {\bar {X}}\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha =n\cdot k/2,\theta =2/n\right)=\mathrm {Gamma} \left(\alpha =3,\theta =2/3\right)}$.
• التوزيع الطبيعي التقاربي:${\displaystyle {\bar {X}}{\xrightarrow {n\to \infty }}N(k,2\cdot k/n)=N(2,4/3)}$.
• توسعان لإيدجوورث، من الدرجتين 2 و 3.

• بالنسبة للعينات المحدودة، لا يُضمن أن يكون توسيع إيدجوورث توزيعًا احتماليًا صحيحًا ، حيث قد تتجاوز قيم دالة التوزيع التراكمي عند بعض النقاط حدًا معينًا.${\displaystyle [0,1]}$.
• تضمن هذه الطرق (بشكل تقاربي) أخطاء مطلقة ، ولكن يمكن تقييم الأخطاء النسبية بسهولة عن طريق مقارنة الحد الرئيسي لإيدجوورث في الباقي مع الحد الرئيسي الإجمالي. ^{[ 2 ]}

• توسع كورنيش-فيشر
• شجرة إيدجوورث ذات الحدين

• "سلسلة إيدجوورث" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS، 2001 [1994]
• بلينيكوف، س.؛ موسنر، ر. (1998). "توسعات للتوزيعات شبه الغاوسية" (ملف PDF) . سلسلة ملاحق علم الفلك والفيزياء الفلكية . 130 : 193-205 . arXiv : astro-ph/9711239 . Bibcode : 1998A & AS..130..193B . doi : 10.1051/aas:1998221 .
• كوكس، دي آر ؛ بارندورف-نيلسن، أو إي (1989). التقنيات التقاربية للاستخدام في الإحصاء . لندن: تشابمان وهول.
• كرامر، هـ. (1957). الأساليب الرياضية للإحصاء . برينستون: مطبعة جامعة برينستون.
• هول، ب. (1992). توسع بوتستراب وإيدجوورث . نيويورك: سبرينغر.
• كيندال، م.؛ ستيوارت، أ. (1977). النظرية المتقدمة للإحصاء . المجلد  1: نظرية التوزيع (  الطبعة الرابعة). نيويورك: ماكميلان.
• كولاسا، جيه إي (2006). أساليب تقريب المتسلسلات في الإحصاء . سلسلة محاضرات في الإحصاء. المجلد  88 (  الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر.
• مارتن، دوغلاس؛ أرورا، روهيت (2017). "عدم الكفاءة والتحيز في القيمة المعرضة للخطر المعدلة والعجز المتوقع". مجلة المخاطر . 19 (6): 59-84 . doi : 10.21314/JOR.2017.365 .
• مكولاج، ب. (1987). أساليب الموترات في الإحصاء . لندن: تشابمان وهول.
• تان، واي (1980). "حول تقريب التوزيعات متعددة المتغيرات". في غوبتا، آر بي (محرر). التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات . نورث هولاند. ص 237-249 . ISBN  0-444-86019-3.
• والاس، د. ل. (1958). "التقريبات التقاربية للتوزيعات" . حوليات الإحصاء الرياضي . 29 (3): 635-654 . doi : 10.1214/aoms/1177706528 .