توزيع جاما

يمكن تمثيل توزيع غاما بدلالة معامل الشكل α ومعامل المقياس العكسي β = 1/ θ ، والذي يُسمى معامل المعدل . ويُرمز للمتغير العشوائي X الذي يتبع توزيع غاما بمعامل شكل α ومعدل β بالرمز التالي:

$${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

دالة كثافة الاحتمال المقابلة في معلمات الشكل والمعدل هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}e^{-\beta x}\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ لـ }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$دالة غاما . لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة،${\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}$.

دالة التوزيع التراكمي هي دالة جاما المنتظمة:

$${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}},}$$

أين${\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)}$هي دالة غاما غير المكتملة الدنيا .

إذا كان α عددًا صحيحًا موجبًا (أي أن التوزيع هو توزيع إيرلانغ )، فإن دالة التوزيع التراكمي لها التوسع المتسلسل التالي: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {\left(\beta x\right)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}\\[1ex]&=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {\left(\beta x\right)^{i}}{i!}}.\end{aligned}}}$$

يُرمز إلى المتغير العشوائي X الذي يتبع توزيع جاما بشكل α ومقياس θ بالرمز التالي:

$${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\theta )\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha ,\theta )}$$

دالة كثافة الاحتمال باستخدام معلمات الشكل والمقياس هي

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ for }}x>0{\text{ and }}\alpha ,\theta >0.}$$

هنا Γ( α ) هي دالة جاما المحسوبة عند α .

دالة التوزيع التراكمي هي دالة جاما المنتظمة:

$${\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\theta )\,du={\frac {\gamma {\left(\alpha ,{\frac {x}{\theta }}\right)}}{\Gamma (\alpha )}},}$$

أين${\textstyle \gamma {\left(\alpha ,{\frac {x}{\theta }}\right)}}$هي دالة غاما غير المكتملة الدنيا .

ويمكن التعبير عنها أيضًا على النحو التالي، إذا كان α عددًا صحيحًا موجبًا (أي أن التوزيع هو توزيع إيرلانغ ): ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}.}$$

كلا النموذجين شائعان لأن أياً منهما قد يكون أكثر ملاءمة حسب الموقف.

يُعطى متوسط ​​توزيع جاما بضرب معاملي الشكل والمقياس: $${\displaystyle \mu =\alpha \theta =\alpha /\beta }$$ التباين هو: $${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \theta ^{2}=\alpha /\beta ^{2}}$$ الجذر التربيعي لمعامل الشكل العكسي يعطي معامل التباين : $${\displaystyle \sigma /\mu =\alpha ^{-0.5}=1/{\sqrt {\alpha }}}$$

يعتمد انحراف توزيع جاما فقط على معامل شكله، α ، وهو يساوي${\displaystyle 2/{\sqrt {\alpha }}.}$

العزم الخام رقم r يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{r}]=\theta ^{r}{\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (\alpha )}}=\theta ^{r}\alpha ^{\overline {r}}}$

مع${\displaystyle \alpha ^{\overline {r}}}$العامل التصاعدي .

يُعطى التراكم من الرتبة r بالصيغة التالية :

${\displaystyle \kappa _{r}=\theta ^{r}\alpha (r-1)!=\theta ^{r}\alpha \Gamma (r)}$.

بخلاف المنوال والمتوسط، اللذين لهما صيغ حسابية سهلة تعتمد على المعلمات، فإن الوسيط لا يملك معادلة مغلقة. الوسيط لهذا التوزيع هو القيمة${\displaystyle \nu }$بحيث $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )\theta ^{\alpha }}}\int _{0}^{\nu}x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }dx={\frac {1}{2}}.}$$

قام تشين وروبين بمعالجة دقيقة لمشكلة تحديد التوسع التقاربي وحدود الوسيط لتوزيع جاما، حيث أثبتا أن (لـ${\displaystyle \theta =1}$) $${\displaystyle \alpha -{\tfrac {1}{3}}<\nu (\alpha )<\alpha ,}$$ أين${\displaystyle \mu (\alpha )=\alpha }$هو المتوسط ​​و${\displaystyle \nu (\alpha )}$هو الوسيط لـ${\displaystyle {\text{Gamma}}(\alpha ,1)}$التوزيع. ^{[ 9 ]} بالنسبة للقيم الأخرى لمعامل المقياس، يتناسب المتوسط ​​مع${\displaystyle \mu =\alpha \theta }$، وسيتم قياس الحدود والتقريبات الوسيطة بشكل مماثل بواسطة θ .

وجد كي بي تشوي الحدود الخمسة الأولى في تقريب لوران التقاربي للوسيط من خلال مقارنة الوسيط بـ رامانوجان${\displaystyle \theta }$دالة . ^{[ 10 ]} وجد بيرج وبيدرسن المزيد من المصطلحات: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\alpha )=\alpha &-{\frac {1}{3}}+{\frac {8}{405}}\alpha ^{-1}+{\frac {184}{25\,515}}\alpha ^{-2}+{\frac {2248}{3\,444\,525}}\alpha ^{-3}\\[1ex]&-{\frac {19\,006\,408}{15\,345\,358\,875}}\alpha ^{-4}-{\mathcal {O}}{\left(\alpha ^{-5}\right)}+\cdots \end{aligned}}}$$

تعتبر المجاميع الجزئية لهذه السلاسل تقريبات جيدة لقيم α العالية بما فيه الكفاية ؛ فهي غير مرسومة في الشكل، الذي يركز على منطقة α المنخفضة التي يتم تقريبها بشكل أقل جودة.

أثبت بيرغ وبيدرسن أيضًا العديد من خصائص الوسيط، موضحين أنه دالة محدبة لـ α ، ^{[ 12 ]} وأن السلوك التقاربي بالقرب من${\displaystyle \alpha =0}$يكون${\displaystyle \nu (\alpha )\approx e^{-\gamma }2^{-1/\alpha }}$(حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني )، وذلك لجميع${\displaystyle \alpha >0}$الوسيط محدود بـ${\displaystyle \alpha 2^{-1/\alpha }<\nu (\alpha )<ke^{-1/3k}}$[ ^{11 ]​}

حد أعلى خطي أدق، لـ${\displaystyle \alpha \geq 1}$تم تقديمها فقط في عام 2021 بواسطة غونت وميركل، ^{[ 13 ]} بالاعتماد على نتيجة بيرغ وبيدرسن التي مفادها أن ميل${\displaystyle \nu (\alpha )}$يكون في كل مكان أقل من 1: $${\displaystyle \nu (\alpha )\leq \alpha -1+\log 2~~}$$ل${\displaystyle \alpha \geq 1}$(مع المساواة في)${\displaystyle \alpha =1}$) والتي يمكن توسيعها لتشمل حدًا لجميع${\displaystyle \alpha >0}$بأخذ القيمة القصوى مع الوتر الموضح في الشكل، حيث ثبت أن الوسيط محدب. ^{[ 12 ]}

تقريب للوسيط يكون دقيقًا تقاربيًا عند قيم α العالية ومعقولًا حتى${\displaystyle \alpha =0.5}$أو أقل قليلاً، ويتبع ذلك من تحويل ويلسون-هيلفرتي : $${\displaystyle \nu (\alpha )=\alpha \left(1-{\frac {1}{9\alpha }}\right)^{3}}$$ والتي تصبح سالبة لـ${\displaystyle \alpha <1/9}$.

في عام 2021، اقترح ليون عدة تقريبات من الشكل${\displaystyle \nu (\alpha )\approx 2^{-1/\alpha }(A+B\alpha )}$لقد افترض قيمًا لـ A و B التي يكون عندها هذا التقريب حدًا أعلى أو أدنى محكمًا تقاربيًا لجميع${\displaystyle \alpha >0}$^{[ 14 ]} على وجه الخصوص ، اقترح هذه الحدود المغلقة الشكل، والتي أثبتها في عام 2023: ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle \nu _{L\infty }(\alpha )=2^{-1/\alpha }\left(\log 2-{\tfrac {1}{3}}+\alpha \right)}$$يمثل حدًا أدنى، محكمًا تقاربًا كما${\displaystyle \alpha \to \infty }$$${\displaystyle \nu _{U}(\alpha )=2^{-1/\alpha }(e^{-\gamma }+\alpha )\quad }$$يمثل حدًا أعلى، محكمًا تقاربًا كما${\displaystyle \alpha \to 0}$

أظهر ليون أيضًا (بشكل غير رسمي في عام 2021، وبشكل دقيق في عام 2023) حدين أدنى آخرين ليسا تعبيرين مغلقين ، بما في ذلك هذا الحد الذي يتضمن دالة غاما ، استنادًا إلى حل التعبير التكاملي باستبدال 1 بـ${\displaystyle e^{-x}}$: $${\displaystyle \nu (\alpha )>\left({\frac {2}{\Gamma (\alpha +1)}}\right)^{-1/\alpha }}$$(الاقتراب من المساواة كـ${\displaystyle k\to 0}$) وخط المماس عند${\displaystyle \alpha =1}$حيث تم العثور على المشتقة${\displaystyle \nu ^{\prime }(1)\approx 0.9680448}$: $${\displaystyle \nu (\alpha )\geq \nu (1)+(\alpha -1)\nu ^{\prime }(1)\quad }$$(مع المساواة في)${\displaystyle k=1}$) $${\displaystyle \nu (\alpha )\geq \log 2+(\alpha -1)\left[\gamma -2\operatorname {Ei} (-\log 2)-\log \log 2\right]}$$ حيث Ei هو التكامل الأسي . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

بالإضافة إلى ذلك، أظهر أن عمليات الاستيفاء بين الحدود يمكن أن توفر تقريبات ممتازة أو حدودًا أدق للوسيط، بما في ذلك تقريب دقيق عند${\displaystyle \alpha =1}$(أين${\displaystyle \nu (1)=\log 2}$ويبلغ الحد الأقصى للخطأ النسبي أقل من 0.6%. جميع التقريبات والحدود المُستكملة هي من الشكل التالي: $${\displaystyle \nu (\alpha )\approx {\tilde {g}}(\alpha )\nu _{L\infty }(\alpha )+(1-{\tilde {g}}(\alpha ))\nu _{U}(\alpha )}$$ أين${\displaystyle {\tilde {g}}}$هي دالة استيفاء تعمل بشكل رتيب من 0 عند قيم α المنخفضة إلى 1 عند قيم α العالية ، وهي تقارب دالة استيفاء مثالية أو دقيقة.${\displaystyle g(\alpha )}$: $${\displaystyle g(\alpha )={\frac {\nu _{U}(\alpha )-\nu (\alpha )}{\nu _{U}(\alpha )-\nu _{L\infty }(\alpha )}}}$$ بالنسبة لأبسط دالة استيفاء تم النظر فيها، دالة كسرية من الدرجة الأولى $${\displaystyle {\tilde {g}}_{1}(\alpha )={\frac {\alpha }{b_{0}+\alpha }}}$$ أضيق حد أدنى لديه $${\displaystyle b_{0}={\frac {{\frac {8}{405}}+e^{-\gamma }\log 2-{\frac {\log ^{2}2}{2}}}{e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}}-\log 2\approx 0.143472}$$ وأضيق حد أعلى لديه $${\displaystyle b_{0}={\frac {e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {e^{-\gamma }\pi ^{2}}{12}}}}\approx 0.374654}$$ تم رسم الحدود المُستكمَلة (معظمها داخل المنطقة الصفراء) في الرسم البياني اللوغاريتمي الموضح. تتوفر حدود أدق باستخدام دوال استيفاء مختلفة، ولكن ليس عادةً بمعاملات مغلقة الشكل كهذه. ^{[ 14 ]}

إذا كان للمتغير _{العشوائي Xᵢ} توزيع جاما ( αᵢ , θ ) حيث i = 1, 2, ..., N (أي أن جميع التوزيعات لها نفس معامل المقياس θ )، فإن

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i},\theta \right)}$$

بشرط أن تكون جميع المتغيرات X _i مستقلة .

بالنسبة للحالات التي تكون فيها المتغيرات X _i مستقلة ولكن لها معلمات قياس مختلفة، انظر ماثاي ^{[ 16 ]} أو موشوبولوس ^{[ 17 ] .}

يُظهر توزيع جاما قابلية قسمة لا نهائية .

لو $${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\theta ),}$$

ثم، لأي قيمة لـ c > 0 ،

$${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,c\,\theta ),}$$باستخدام دوال توليد العزوم،

أو ما يعادل ذلك، إذا

$${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,\beta \right)}$$(تحديد معلمات الشكل والمعدل)

$${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\beta }{c}}\right),}$$

في الواقع، نعلم أنه إذا كان X متغيرًا عشوائيًا أسيًا بمعدل β ، فإن cX هو متغير عشوائي أسي بمعدل β / c ؛ وينطبق الشيء نفسه على متغيرات جاما (ويمكن التحقق من ذلك باستخدام دالة توليد العزوم ، انظر، على سبيل المثال، هذه الملاحظات ، 10.4-(ii)): الضرب في ثابت موجب c يقسم المعدل (أو، بشكل مكافئ، يضرب المقياس).

توزيع جاما هو عائلة أسية ذات معلمتين مع معلمات طبيعية α − 1 و −1/ θ (بشكل مكافئ، α − 1 و − β )، وإحصائيات طبيعية X و ln X.

إذا تم تثبيت معلمة الشكل α ، فإن عائلة التوزيعات ذات المعلمة الواحدة الناتجة هي عائلة أسية طبيعية .

يمكن للمرء أن يثبت ذلك

$${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\ln \beta }$$

أو ما يعادل ذلك،

$${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )+\ln \theta }$$

حيث ψ هي دالة ديغاما . وبالمثل،

$${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi ^{(1)}(\alpha )}$$

أين${\displaystyle \psi ^{(1)}}$هي دالة تريغاما .

يمكن اشتقاق ذلك باستخدام صيغة العائلة الأسية لدالة توليد العزوم للإحصائية الكافية ، لأن إحدى الإحصائيات الكافية لتوزيع جاما هي ln x .

إنتروبيا المعلومات هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln p(X)]\\[4pt]&=\operatorname {E} [-\alpha \ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )-(\alpha -1)\ln X+\beta X]\\[4pt]&=\alpha -\ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$$

في تمثيل المعاملات α و θ ، تُعطى إنتروبيا المعلومات بواسطة

$${\displaystyle \operatorname {H} (X)=\alpha +\ln \theta +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).}$$

يتم إعطاء تباعد كولباك-لايبير (KL-divergence) لتوزيع جاما ( α _p , β _p ) ("التوزيع الحقيقي") من توزيع جاما ( α _q , β _q ) ("التوزيع التقريبي") بواسطة ^{[ 18 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log {\frac {\Gamma (\alpha _{p})}{\Gamma (\alpha _{q})}}\\&{}+\alpha _{q}\log {\frac {\beta _{p}}{\beta _{q}}}+\alpha _{p}\left({\frac {\beta _{q}}{\beta _{p}}}-1\right).\end{aligned}}}$$

مكتوبًا باستخدام المعلمات α , θ ، يتم إعطاء اختلاف KL لجاما ( α _p , θ _p ) من Gamma ( α _q , θ _q ) بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\theta _{p};\alpha _{q},\theta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log {\frac {\Gamma (\alpha _{p})}{\Gamma (\alpha _{q})}}\\&{}+\alpha _{q}\log {\frac {\theta _{q}}{\theta _{p}}}+\alpha _{p}\left({\frac {\theta _{p}}{\theta _{q}}}-1\right).\end{aligned}}}$$

تحويل لابلاس لدالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما، وهي دالة توليد العزوم لتوزيع جاما، هو

$${\displaystyle F(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]={\frac {1}{\left(1+\theta s\right)^{\alpha }}}=\left({\frac {\beta }{\beta +s}}\right)^{\alpha }}$$

(أين${\textstyle X}$(متغير عشوائي ذو هذا التوزيع).

يُعرَّف العرض الكامل عند نصف القيمة القصوى لتوزيع احتمالي أحادي النمط بأنه الفرق بين قيمتي الدعم اللتين تُنتجان قيمة تساوي نصف القيمة القصوى للدالة عند تقييمها بواسطة دالة كثافة الاحتمال للتوزيع . بالنسبة لتوزيع جاما ذي معامل الشكل${\displaystyle \alpha >1}$، قيمة FWHM هي ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle \mathrm {FWHM} =(\alpha -1)\theta \left[W_{0}\left(-{\frac {2^{-1/(\alpha -1)}}{e}}\right)-W_{-1}\left(-{\frac {2^{-1/(\alpha -1)}}{e}}\right)\right]}$$

متى${\displaystyle \alpha =1}$يتحول توزيع جاما إلى توزيع أسي ، ويكون عرضه عند نصف الارتفاع الأقصى (FWHM) هو

$${\displaystyle \mathrm {FWHM} =\theta \ln {2}}$$

متى${\displaystyle \alpha <1}$، توزيع جاما ليس له نمط نهائي وبالتالي ليس له عرض نصف القيمة القصوى (FWHM) محدد جيدًا.

• يترك${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$يكون${\displaystyle n}$المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع التي تتبع التوزيع الأسي بمعامل معدل β ، إذن${\textstyle \sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,\beta )}$حيث n هو معامل الشكل و β هو المعدل، و${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,n\beta )}$.
• إذا كان X يتبع توزيع غاما (1، β ) (في نموذج الشكل-المعدل)، فإن X يتبع توزيعًا أسيًا بمعامل معدل β . أما في نموذج الشكل-المقياس، فإن X يتبع توزيع غاما (1، θ ) بمعامل معدل 1/ θ .
• إذا كان X يتبع توزيع غاما ( ν /2, 2) (في نموذج الشكل والمقياس)، فإن X يكون مطابقًا لتوزيع كاي تربيع ⁽ χ² ( ν )) ذي درجات الحرية ν . وبالعكس، إذا كان Q يتبع توزيع كاي ^تربيع (χ² ( ν )) وكان c ثابتًا موجبًا، فإن cQ يتبع توزيع غاما ( ν /2, 2c ) .
• إذا كانت θ = 1/ α ، فإن المرء يحصل على توزيع شولز-زيم ، والذي يستخدم بشكل بارز لنمذجة أطوال سلسلة البوليمر.
• إذا كان α عددًا صحيحًا ، فإن توزيع جاما هو توزيع إيرلانغ ، وهو التوزيع الاحتمالي لوقت الانتظار حتى "وصول" الحدث رقم α في عملية بواسون أحادية البعد بكثافة 1/ θ .

${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha \in \mathbb {Z} ,\theta ),\qquad Y\sim \operatorname {Pois} \left({\frac {x}{\theta }}\right),}$

ثم

${\displaystyle \Pr(X>x)=\Pr(Y<\alpha ).}$

• إذا كان للمتغير العشوائي X توزيع ماكسويل-بولتزمان بمعامل a ، فإن

${\displaystyle X^{2}\sim \Gamma {\left({\tfrac {3}{2}},2a^{2}\right)}.}$

• إذا كان X ~ Gamma( α , θ ) ، فإن${\textstyle \exp X}$يتبع توزيع لوغاريتمي غاما. ^{[ 20 ]}
• إذا كان X ~ Gamma( α , θ ) ، فإن${\textstyle \log X}$يتبع توزيعًا أُسّيًا غاما (يُختصر إلى exp-gamma). ^{[ 21 ]} ويُشار إليه أحيانًا بشكل خاطئ باسم توزيع لوغاريتم غاما. ^{[ 22 ]} توجد صيغ حساب متوسطه وتباينه في قسم #التوقع والتباين اللوغاريتمي .
• إذا كان X ~ Gamma( α , θ ) ، فإن${\displaystyle {\sqrt {X}}}$يتبع توزيع غاما المعمم بمعاملات p = 2 و d = 2α و${\displaystyle a={\sqrt {\theta }}}$.
• وبشكل أعم، إذا كان X ~ Gamma( α , θ ) ، فإن${\displaystyle X^{q}}$ل${\displaystyle q>0}$يتبع توزيع غاما المعمم بمعاملات p = 1/ q و d = α / q و${\displaystyle a=\theta ^{q}}$.
• إذا كان X ~ Gamma( α , θ ) بالشكل α والمقياس θ , ثم 1/ X ~ Inv-Gamma( α , θ ⁻¹ ) (انظر توزيع جاما العكسي للاشتقاق).
• المعامل 1: إذا${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})\,}$إذا كانوا مستقلين، فإنهم كذلك.${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\theta _{2}X_{1}}{\alpha _{1}\theta _{1}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$أو ما يعادل ذلك،${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)}$
• المعامل الثاني: إذا${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$إذا كانوا مستقلين، فإنهم كذلك.${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$أو ما يعادل ذلك،${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}\right)}$
• إذا كان X ~ Gamma( α , θ ) و Y ~ Gamma( β , θ ) موزعين بشكل مستقل، فإن X /( X + Y ) له توزيع بيتا بمعاملات α و β ، و X /( X + Y ) مستقل عن X + Y ، الذي هو توزيع Gamma( α + β , θ ) .
• لو${\displaystyle X_{n}\sim {\text{Beta}}(\alpha ,n\beta )\,}$و${\displaystyle Y_{n}=nX_{n}}$، ثم${\displaystyle Y_{n}}$يتقارب في التوزيع إلى${\displaystyle {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$تم تحديدها بموجب المعلمة 2.
• إذا كانت X _i ~ Gamma( α _i , 1) موزعة بشكل مستقل، فإن المتجه ( X ₁ / S , ..., X _n / S ) ، حيث S = X ₁ + ... + X _n ، يتبع توزيع Dirichlet مع المعلمات α ₁ , ..., α _n .
• بالنسبة إلى α الكبيرة ، يتقارب توزيع جاما مع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ = αθ والتباين σ ² = αθ ² .
• يُعد توزيع جاما التوزيع المسبق المترافق لدقة التوزيع الطبيعي ذي المتوسط ​​المعروف .
• يُعد توزيع جاما المصفوفي وتوزيع ويشارت تعميمات متعددة المتغيرات لتوزيع جاما (العينات عبارة عن مصفوفات موجبة محددة بدلاً من أعداد حقيقية موجبة).
• يُعد توزيع جاما حالة خاصة من توزيع جاما المعمم ، وتوزيع جاما الصحيح المعمم ، وتوزيع جاوس المعكوس المعمم .
• من بين التوزيعات المنفصلة، ​​يعتبر التوزيع ذو الحدين السالب أحيانًا النظير المنفصل لتوزيع جاما.
• توزيعات تويدي - توزيع جاما هو أحد أفراد عائلة نماذج التشتت الأسي لتويدي .
• يُعد توزيع جاما أحد أفراد عائلة التوزيعات نصف الطبيعية المعدلة .
• لمعاملات الشكل والمقياس${\displaystyle x|\theta \sim \Gamma (\alpha ,\theta )}$، إذا كان معامل المقياس${\displaystyle \theta \sim IG(b,1)}$أين${\displaystyle IG}$يشير إلى توزيع غاما المعكوس ، ثم التوزيع الهامشي${\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,b)}$أين${\displaystyle \beta '}$يشير إلى توزيع بيتا الأولي .

إذا كانت معلمة شكل توزيع غاما معروفة، ولكن معلمة المقياس العكسي غير معروفة، فإن توزيع غاما للمقياس العكسي يشكل توزيعًا مسبقًا مترافقًا. أما التوزيع المركب ، الناتج عن تكامل المقياس العكسي، فله حل مغلق يُعرف باسم توزيع غاما المركب . ^{[ 23 ]}

أما إذا كانت معلمة الشكل معروفة ولكن المتوسط ​​غير معروف، مع إعطاء التوزيع المسبق للمتوسط ​​بواسطة توزيع جاما آخر، فإن ذلك يؤدي إلى توزيع K.