كثيرات حدود هيرميت

من صيغ رودريغز المذكورة أعلاه، يمكننا أن نرى أن H _n ( x ) و He _n ( x ) دالتان زوجية أو فردية ، لهما نفس الزوجية مثل n : $${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}$$

H _{_n} ( x ) و He _{_n} ( x ) هماكثيرتا حدود من الدرجة n ، حيث n = 0، 1، 2، 3، ... . هاتان كثيرتا الحدود متعامدتان بالنسبة لدالة الوزن ( القياس ). $${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )}$$أو$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$ أي، لدينا $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

بالإضافة إلى، $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$ و $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$ أين${\displaystyle \delta _{nm}}$ هي دلتا كرونكر .

وبالتالي فإن كثيرات الحدود الاحتمالية متعامدة بالنسبة لدالة كثافة الاحتمال الطبيعي القياسي.

تشكل كثيرات حدود هيرميت (الاحتمالية أو الفيزيائية) أساسًا متعامدًا لفضاء هيلبرت للدوال التي تحقق $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$ حيث يُعطى الجداء الداخلي بواسطة التكامل $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$ بما في ذلك دالة الوزن الغاوسية w ( x ) المحددة في القسم السابق.

An orthogonal basis for L²(R, w(x) dx) is a complete orthogonal system. For an orthogonal system, completeness is equivalent to the fact that the 0 function is the only function f ∈ L²(R, w(x) dx) orthogonal to all functions in the system.

Since the linear span of Hermite polynomials is the space of all polynomials, one has to show (in physicist case) that if f satisfies $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$ for every n ≥ 0, then f = 0.

One possible way to do this is to appreciate that the entire function$${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$ vanishes identically. The fact then that F(it) = 0 for every real t means that the Fourier transform of f(x)e^−x2 is 0, hence f is 0 almost everywhere. Variants of the above completeness proof apply to other weights with exponential decay.

In the Hermite case, it is also possible to prove an explicit identity that implies completeness (see section on the Completeness relation below).

An equivalent formulation of the fact that Hermite polynomials are an orthogonal basis for L²(R, w(x) dx) consists in introducing Hermite functions (see below), and in saying that the Hermite functions are an orthonormal basis for L²(R).

The probabilist's Hermite polynomials are solutions of the Sturm–Liouvilledifferential equation$${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$ where λ is a constant. Imposing the boundary condition that u should be polynomially bounded at infinity, the equation has solutions only if λ is a non-negative integer, and the solution is uniquely given by ${\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)}$, where ${\displaystyle C_{1}}$ denotes a constant.

Rewriting the differential equation as an eigenvalue problem$${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$ the Hermite polynomials ${\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)}$ may be understood as eigenfunctions of the differential operator ${\displaystyle L[u]}$تُسمى مسألة القيم الذاتية هذه معادلة هيرميت ، على الرغم من أن المصطلح يُستخدم أيضًا للمعادلة ذات الصلة الوثيقة $${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$ والتي يُعطى حلها بشكل فريد بدلالة كثيرات حدود هيرميت الفيزيائية على النحو التالي${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$، أين${\displaystyle C_{1}}$يشير إلى ثابت، بعد فرض شرط الحدود بأن يكون u محدودًا متعدد الحدود عند اللانهاية.

إن الحلول العامة للمعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية المذكورة أعلاه هي في الواقع تراكيب خطية لكل من كثيرات حدود هيرميت ودوال فوق هندسية متقاربة من النوع الأول. على سبيل المثال، بالنسبة لمعادلة هيرميت الفيزيائية $${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$ يأخذ الحل العام الشكل التالي: $${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$ أين${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$هي ثوابت،${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$هي كثيرات حدود هيرميت الفيزيائية (من النوع الأول)، و ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$هي دوال هيرميت الفيزيائية (من النوع الثاني). ويمكن تمثيل هذه الدوال الأخيرة بشكل مختصر على النحو التالي:${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$أين ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$هي دوال فوق هندسية متقاربة من النوع الأول . ويمكن أيضًا التعبير عن كثيرات حدود هيرميت التقليدية بدلالة دوال فوق هندسية متقاربة، انظر أدناه.

باستخدام شروط حدودية أكثر عمومية ، يمكن تعميم كثيرات حدود هيرميت للحصول على دوال تحليلية أكثر عمومية لقيم λ المركبة. كما يمكن صياغة صيغة صريحة لكثيرات حدود هيرميت بدلالة تكاملات الكفاف ( كوران وهيلبرت 1989 ) .

كما أن متتالية كثيرات حدود هيرميت الاحتمالية تحقق علاقة التكرار$${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).}$$ ترتبط المعاملات الفردية بصيغة التكرار التالية: $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$ و a _0,0 = 1 ، a _1,0 = 0 ، a _1,1 = 1 .

بالنسبة لكثيرات الحدود الفيزيائية، بافتراض $${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$ لدينا $${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$ ترتبط المعاملات الفردية بصيغة التكرار التالية: $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$ و a _0,0 = 1 ، a _1,0 = 0 ، a _1,1 = 2 .

تُشكّل كثيرات حدود هيرميت متتالية أبيل ، أي أنها متتالية كثيرات حدود تحقق المتطابقة $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

العلاقة التكرارية التكاملية التي تم استنتاجها وإثباتها في ^{[ 6 ]} هي كما يلي: $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

وبصورة مكافئة، عن طريق توسيع تايلور ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$ هذه الهويات الظلية بديهية ومضمنة في تمثيل المؤثر التفاضلي المفصل أدناه، $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، بالنسبة للمشتقات من الرتبة m ، تسري العلاقات التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

ويترتب على ذلك أن كثيرات حدود هيرميت تحقق أيضًا علاقة التكرار$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام هذه العلاقات الأخيرة، جنبًا إلى جنب مع كثيرات الحدود الأولية H ₀ ( x ) و H ₁ ( x ) ، عمليًا لحساب كثيرات الحدود بسرعة.

أوجه عدم المساواة في توران هي $${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

علاوة على ذلك، تنطبق نظرية الضرب التالية :$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

يمكن كتابة كثيرات حدود هيرميت الفيزيائية بشكل صريح على النحو التالي $${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

يمكن دمج هاتين المعادلتين في معادلة واحدة باستخدام دالة الجزء الصحيح (الجزء السفلي) : $${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

كثيرات حدود هيرميت الاحتمالية لها صيغ مماثلة ، والتي يمكن الحصول ^عليها من هذه عن ^طريق استبدال قوة 2x بالقوة المقابلة لـ √2x وضرب المجموع الكلي في 2 ^{− n /} 2 ^:$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

معكوس التعبيرات الصريحة المذكورة أعلاه، أي تلك الخاصة بالحدوديات بدلالة كثيرات حدود هيرميت الاحتمالية ، هو$${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}$$

وتنتج التعبيرات المقابلة لكثيرات حدود هيرميت الفيزيائية H مباشرة عن طريق تغيير مقياس هذا بشكل صحيح: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

تُعطى كثيرات حدود هيرميت بواسطة الدالة المولدة الأسية$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

هذه المساواة صحيحة لجميع القيم المركبة لـ x و t ، ويمكن الحصول عليها بكتابة متسلسلة تايلور عند x للدالة الكاملة z → e ^{− z 2} (في حالة الفيزيائي). كما يمكن اشتقاق الدالة المولدة (في حالة الفيزيائي) باستخدام صيغة كوشي التكاملية لكتابة كثيرات حدود هيرميت على النحو التالي: $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

استخدام هذا في المجموع $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$ يمكن للمرء تقييم التكامل المتبقي باستخدام حساب البواقي والوصول إلى الدالة المولدة المطلوبة.

ينص تعميم طفيف على ^{[ 8 ]}$${\displaystyle e^{2xt-t^{2}}H_{k}(x-t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n+k}(x)t^{n}}{n!}}}$$

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا يتبع التوزيع الطبيعي بانحراف معياري 1 وقيمة متوقعة μ ، فإن $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

يمكن استخلاص عزوم التوزيع الطبيعي القياسي (بقيمة متوقعة صفر) مباشرة من العلاقة للمؤشرات الزوجية: $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$ حيث (2n − 1 )!! هو المضروب المزدوج . لاحظ أن التعبير أعلاه هو حالة خاصة من تمثيل كثيرات حدود هيرميت الاحتمالية على شكل عزوم. $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

من تمثيل الدالة المولدة أعلاه، نرى أن لكثيرات حدود هيرميت تمثيلاً بدلالة تكامل كفافي ، كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$ مع وجود محيط يحيط بالأصل.

باستخدام تحويل فورييه للتوزيع الغاوسي${\displaystyle e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-t^{2}+2ixt}dt}$لدينا$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}={\frac {(-2i)^{n}e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int t^{n}e^{-t^{2}+2ixt}dt\\\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {(-i)^{n}e^{x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\int t^{n}\,e^{-t^{2}/2+ixt}\,dt.\end{aligned}}}$$

يتم التعبير عن المميز على أنه عامل فائق : ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (H_{n})&=2^{{\frac {3}{2}}n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j}\\\operatorname {Disc} (\operatorname {He} _{n})&=\prod _{j=1}^{n}j^{j}\end{aligned}}}$$

تنص نظرية الجمع، أو نظرية المجموع، على أن ^{[ 10 ] [ 11 ] : 8.958}$${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}\right)^{\frac {n}{2}}}{n!}}H_{n}\left({\frac {\sum _{k=1}^{r}a_{k}x_{k}}{\sqrt {\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}}}}\right)=\sum _{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{r}=n,m_{i}\geq 0}\prod _{k=1}^{r}\left\{{\frac {a_{k}^{m_{k}}}{m_{k}!}}H_{m_{k}}\left(x_{k}\right)\right\}}$$لأي متجه غير صفري${\displaystyle a_{1:r}}$.

تنص نظرية الضرب على أن ^{[ 10 ]}$${\displaystyle H_{n}\left(\lambda x\right)=\lambda ^{n}\sum _{\ell =0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {\left(-n\right)_{2\ell }}{\ell$$ !}}(1-\lambda ^{-2})^{\ell }H_{n-2\ell }\left(x\right)} لأي قيمة غير صفرية${\displaystyle \lambda }$.

صيغة فيلدهايم ^{[ 12 ] : مكافئ 46}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a\pi }}}&\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{a}}}H_{m}\left({\frac {x+y}{\lambda }}\right)H_{n}\left({\frac {x+z}{\mu }}\right)dx\\&=\left(1-{\frac {a}{\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}\left(1-{\frac {a}{\mu ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\min(m,n)}r!{\binom {m}{r}}{\binom {n}{r}}\left({\frac {2a}{\sqrt {\left(\lambda ^{2}-a\right)\left(\mu ^{2}-a\right)}}}\right)^{r}H_{m-r}\left({\frac {y}{\sqrt {\lambda ^{2}-a}}}\right)H_{n-r}\left({\frac {z}{\sqrt {\mu ^{2}-a}}}\right)\end{aligned}}}$$أين${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$له جزء حقيقي موجب. كحالة خاصة، ^{[ 12 ] : المعادلة 52}$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}H_{m}(t\sin \theta +v\cos \theta )H_{n}(t\cos \theta -v\sin \theta )dt=(-1)^{n}\cos ^{m}\theta \sin ^{n}\theta H_{m+n}(v)}$$

عندما n → ∞ ، ^{[ 13 ]}$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$في بعض الحالات المتعلقة بنطاق أوسع من التقييم، من الضروري تضمين عامل لتغيير السعة: $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$ والتي، باستخدام تقريب ستيرلينغ ، يمكن تبسيطها أكثر، في النهاية، إلى $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$هذا التوسع ضروري لحل دالة الموجة للمذبذب التوافقي الكمومي بحيث تتوافق مع التقريب الكلاسيكي في حالة مبدأ التوافق .${\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$يتوافق مع احتمال وجود جسيم كلاسيكي في بئر جهد ذي شكل${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2}}$في الموقع${\displaystyle x}$إذا كانت طاقتها الكلية${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}}$هذه طريقة عامة في التحليل شبه الكلاسيكي . ينهار التقريب شبه الكلاسيكي بالقرب من${\displaystyle \pm {\sqrt {2n+1}}}$، وهو الموقع الذي ستعود فيه الجسيمات الكلاسيكية إلى وضعها الأصلي. هذه كارثة طي ، وعند هذه النقطة تصبح دالة آيري ضرورية. ^{[ 14 ]}

يُعطى تقريب أفضل، يأخذ في الاعتبار التباين في التردد، بواسطة $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

تأخذ طريقة بلانشيريل -روتاش التقاربية ، المطبقة على كثيرات حدود هيرميت، في الاعتبار التباعد غير المنتظم للأصفار بالقرب من الحواف. ^{[ 15 ]} وهي تستخدم الاستبدال $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$ والتي يمكن من خلالها الحصول على التقريب المنتظم $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

تنطبق تقريبات مماثلة على المناطق الرتيبة والانتقالية. تحديدًا، إذا $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$ ثم $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$ بينما لـ$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$عندما يكون t عددًا مركبًا ومحدودًا، يكون التقريب هو $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$ حيث Ai هي دالة إيري من النوع الأول.

تُسمى كثيرات حدود هيرميت الفيزيائية التي يتم تقييمها عند وسيط صفري H _n (0) بأعداد هيرميت .

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$ والتي تحقق علاقة التكرار H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0) . وبصورة مكافئة،${\displaystyle H_{2n}(0)=(-2)^{n}(2n-1)!!}$.

من حيث كثيرات حدود عالم الاحتمالات، يُترجم هذا إلى $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

يترك${\textstyle M}$كن حقيقيا${\textstyle n\times n}$إذا كانت المصفوفة متناظرة ، فإن صيغة كيبل-سليبيان تنص على ما يلي:$${\displaystyle \det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{x^{T}M(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\cdots H_{k_{n}}(x_{n})}$$أين${\textstyle \sum _{K}}$هو${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$الجمع المطوي على الكل${\textstyle n\times n}$المصفوفات المتناظرة ذات المدخلات الصحيحة غير السالبة،${\displaystyle tr(K)}$هو أثر​${\displaystyle K}$، و${\textstyle k_{i}}$يُعرَّف بأنه${\textstyle k_{ii}+\sum _{j=1}^{n}k_{ij}}$وهذا يعطي صيغة ميهلر عندما${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&u\\u&0\end{bmatrix}}}$.

وبعبارة أخرى، إذا${\textstyle T}$إذا كانت مصفوفة شبه موجبة ، فضع${\textstyle M=-T(I+T)^{-1}}$لدينا${\textstyle M(I+M)^{-1}=-T}$، لذا$${\displaystyle e^{-x^{T}Tx}=\det(I+T)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\dots H_{k_{n}}(x_{n})}$$وبصيغة مكافئة أقرب إلى ميكانيكا الكم البوزونية للمذبذب التوافقي : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \pi ^{-n/4}\det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}(I-M)(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}M_{ij}^{k_{ij}}/k_{ij}!\right]\left[\prod _{1\leq i\leq n}k_{i}!\right]^{1/2}2^{-\operatorname {tr} K}\psi _{k_{1}}\left(x_{1}\right)\cdots \psi _{k_{n}}\left(x_{n}\right).}$$حيث كل${\textstyle \psi _{n}(x)}$هو${\textstyle n}$الدالة الذاتية رقم - للمذبذب التوافقي، المعرفة على النحو التالي:$${\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {1}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)}$$اقترح كيبل صيغة كيبل-سليبيان عام 1945 ^{[ 17 ]} ، وأثبتها سليبيان عام 1972 باستخدام تحليل فورييه. ^{[ 18 ]} وقدّم فواتا برهانًا توافقيًا ^{[ 19 ]} ، بينما قدّم لوك برهانًا باستخدام ميكانيكا الكم البوزونية. ^{[ 16 ]} ولها تعميم لكثيرات حدود هيرميت ذات الوسائط المركبة. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

يترك${\displaystyle x_{n,1}>\dots >x_{n,n}}$كن جذور${\displaystyle H_{n}}$بترتيب تنازلي.${\displaystyle a_{m}}$كن${\displaystyle m}$الصفر رقم -th لدالة آيري${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$بالترتيب التنازلي:${\displaystyle 0>a_{1}>a_{2}>\cdots }$بسبب تناظر${\displaystyle H_{n}}$، ما علينا سوى النظر إلى النصف الموجب من جذورها.

لدينا ^{[ 9 ]}$${\displaystyle (2n+1)^{\frac {1}{2}}>x_{n,1}>x_{n,2}>\cdots >x_{n,\lfloor n/2\rfloor }>0.}$$لكل${\displaystyle m}$، بشكل تقاربي عند${\displaystyle n\to \infty }$, ^{[ 9 ]}$${\displaystyle x_{n,m}=(2n+1)^{\frac {1}{2}}+2^{-{\frac {1}{3}}}(2n+1)^{-{\frac {1}{6}}}a_{m}+\epsilon _{n,m},}$$أين${\displaystyle \epsilon _{n,m}=O\left(n^{-{\frac {5}{6}}}\right)}$، و${\displaystyle \epsilon _{n,m}<0}$.

انظر أيضًا ^{[ 22 ]} والصيغ التي تتضمن أصفار كثيرات حدود لاغير .

يترك${\displaystyle F_{n}(t):={\frac {1}{n}}\#\{i:x_{n,i}\leq t\}}$لتكن دالة التوزيع التراكمي لجذور${\displaystyle H_{n}}$ثم لدينا قانون نصف الدائرة ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}({\sqrt {2n}}t)={\frac {2}{\pi }}\int _{-1}^{t}{\sqrt {1-s^{2}}}ds\quad t\in (-1,+1)}$$تنص علاقة ستيلتجس على أن ^{[ 24 ] [ 25 ]}$${\displaystyle -x_{n,i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}=0}$$ويمكن تفسيرها فيزيائياً على أنها موضع التوازن لـ${\displaystyle n}$جسيمات على خط، بحيث يكون كل جسيم${\displaystyle i}$ينجذب إلى نقطة الأصل بفعل قوة خطية${\displaystyle -x_{n,i}}$وتتنافر الجسيمات مع بعضها البعض${\displaystyle j}$بقوة متبادلة${\displaystyle {\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}}$يمكن بناء ذلك عن طريق الحصر${\displaystyle n}$الجسيمات المشحونة إيجابياً في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$إلى الخط الحقيقي ، وربط كل جسيم بالأصل بواسطة نابض . يُطلق على هذا أيضًا اسم النموذج الكهروستاتيكي ، ويرتبط بتفسير غاز كولوم للقيم الذاتية للمجموعات الغاوسية .