مخطط (المنطق الرياضي)

في نظرية النماذج ، وهي فرع من فروع المنطق الرياضي ، يُعد مخطط البنية مجموعة الجمل التي تحتوي على معلمات من البنية وتكون صحيحة في تلك البنية، ويُرمز لها بـ${\displaystyle D({\mathfrak {A}})}$أو${\displaystyle {\text{Diag}}({\mathfrak {A}})}$لهيكل${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$عادةً ما يُقصد بـ"المخطط" المخطط الذري الذي يحتوي فقط على الجمل الذرية والجمل الذرية المنفية التي تكون صحيحة في البنية. ويمكننا أيضاً تعريف المخطط الأولي الذي يحتوي على جميع الجمل الصحيحة.

تُعدّ المخططات أداةً بسيطةً لكنها فعّالة لإثبات خصائص مفيدة لنظرية ما ، مثل خاصية الدمج وخاصية التضمين المشترك ، وغيرها. وقد صاغ مصطلح "مخطط" أبراهام روبنسون ، أول منظّر نماذج يستخدم المخططات بشكل منهجي. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle {\mathcal {L}}}$أن تكون لغة من الدرجة الأولى و${\displaystyle T}$أن تكون نظرية${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$بالنسبة للنموذج${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ل${\displaystyle T}$يتوسع المرء${\displaystyle {\mathcal {L}}}$إلى لغة جديدة

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}:={\mathcal {L}}\cup \{c_{i}:a_{i}\in A\}}$

بإضافة رمز ثابت جديد${\displaystyle c_{i}}$لكل عنصر${\displaystyle a_{i}}$في${\displaystyle A,}$أين${\displaystyle A}$هي مجموعة جزئية (ليست بالضرورة مجموعة جزئية فعلية) من مجال${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$والآن يمكن للمرء أن يتوسع${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$إلى النموذج ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}:=({\mathfrak {A}},a_{i})_{a_{i}\in A}.}$

الرسم التخطيطي (الذري)${\displaystyle D({\mathfrak {A}})}$ل${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$هي مجموعة جميع الجمل الذرية ونفي الجمل الذرية من${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$ذلك التمسك${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}.}$^{[ 2 ] [ 3 ]} رمزياً،${\displaystyle D({\mathfrak {A}})=\{\phi$ :{\mathfrak {A}}\models \phi {\text{ حيث }}\phi {\text{ هي صيغة ذرية }}{\mathcal {L}}_{A}{\text{ أو نفيها}}\}} .

الرسم التخطيطي الأساسي${\displaystyle D_{el}({\mathfrak {A}})}$ل${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$هي مجموعة جميع الجمل من${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$ذلك التمسك${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}.}$^{[ 4 ] [ 5 ]} رمزياً،${\displaystyle D_{el}({\mathfrak {A}})=\{\phi$ :{\mathfrak {A}}\models \phi {\text{ حيث }}\phi {\text{ جملة من }}{\mathcal {L}}_{A}\}} . وبصورة مكافئة،${\displaystyle D_{el}({\mathfrak {A}})=\{\phi (c_{1},\ldots ,c_{n}):{\mathfrak {A}}\models \phi (c_{1},\ldots ,c_{n}){\text{ حيث }}\phi {\text{ هي صيغة \mathcal {L}}{\text{-formula}}\}}$[ ^{6 ]​}

الرسم البياني الموجب لـ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$، ويشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle D^{+}({\mathfrak {A}})}$، هي مجموعة جميع الجمل الذرية التي تكون صحيحة في${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$بينما يُشار إلى الرسم البياني السالب بـ${\displaystyle D^{-}({\mathfrak {A}}),}$وهي مجموعة جميع الجمل الذرية التي لا تصح في${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$يتحد الرسم البياني الموجب ونفي جميع الصيغ في الرسم البياني السالب لتشكيل الرسم البياني الذري. رمزياً،${\displaystyle D({\mathfrak {A}})=D^{+}({\mathfrak {A}})\cup \neg D^{-}({\mathfrak {A}})}$.