الشكل التفاضلي المتغير

في الهندسة التفاضلية، يكون الشكل التفاضلي المتغير على مشعب M الذي تؤثر عليه زمرة لي G عبارة عن خريطة متعددة الحدود

${\displaystyle \alpha$ :{\mathfrak {g}}\to \Omega ^{*}(M)}

من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$إلى فضاء الأشكال التفاضلية على M التي تكون متغيرة؛ أي،

${\displaystyle \alpha (\operatorname {Ad} (g)X)=g\alpha (X).}$

بمعنى آخر، فإن الشكل التفاضلي المتغير هو عنصر ثابت من ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes \Omega ^{*}(M)=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Omega ^{*}(M).}$

بالنسبة للصيغة التفاضلية المتغيرة${\displaystyle \alpha }$، المشتق الخارجي المتغير${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\alpha }$ل${\displaystyle \alpha }$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle (d_{\mathfrak {g}}\alpha )(X)=d(\alpha (X))-i_{X^{\#}}(\alpha (X))}$

حيث d هي المشتقة الخارجية المعتادة و${\displaystyle i_{X^{\#}}}$هو حاصل الضرب الداخلي بواسطة حقل المتجهات الأساسي الناتج عن X. من السهل ملاحظة ذلك.${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0}$(استخدم حقيقة أن مشتق لي هو${\displaystyle \alpha (X)}$على امتداد${\displaystyle X^{\#}}$(صفر) ثم يضع واحد

${\displaystyle H_{G}^{*}(M)=\ker d_{\mathfrak {g}}/\operatorname {im} d_{\mathfrak {g}},}$

يُطلق على هذا اسم علم التماثل المتغير لـ M (والذي يتطابق مع علم التماثل المتغير العادي المُعرَّف بدلالة بناء بوريل ). ويعود هذا التعريف إلى هـ. كارتان. وللمفهوم تطبيق على نظرية المؤشر المتغير .

${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$مغلق أو${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$تُسمى الأشكال الدقيقة بالأشكال المغلقة المتغيرة أو الأشكال الدقيقة المتغيرة .

يمكن تقييم تكامل الشكل المغلق المتغير من خلال تقييده إلى النقطة الثابتة عن طريق صيغة التوطين .

• برلين، نيكول؛ جيتزلر، إي. فيرجني ، ميشيل (2004)، حبات الحرارة ومشغلي ديراك ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-20062-8