مسألة إردوش-غراهام

في نظرية الأعداد التوافقية ، تُعرف مسألة إردوش-غراهام بأنها مسألة إثبات أنه إذا كانت المجموعة${\displaystyle \{2,3,4,\dots \}}$إذا تم تقسيم مجموعة من الأعداد الصحيحة الأكبر من واحد إلى عدد محدود من المجموعات الجزئية، فيمكن استخدام إحدى هذه المجموعات الجزئية لتكوين تمثيل كسري مصري للوحدة. أي، لكل${\displaystyle r>0}$وكل${\displaystyle r}$بتلوين الأعداد الصحيحة الأكبر من واحد، توجد مجموعة جزئية أحادية اللون منتهية${\displaystyle S}$من هذه الأعداد الصحيحة بحيث.

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$

بمزيد من التفصيل، افترض بول إيردوس ورونالد غراهام أنه بالنسبة لقيم كبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle r}$أكبر عضو في${\displaystyle S}$يمكن أن تكون محدودة بـ${\displaystyle b^{r}}$لبعض الثوابت${\displaystyle b}$مستقل عن${\displaystyle r}$كان من المعروف أنه لكي يكون هذا صحيحًا،${\displaystyle b}$يجب أن يكون على الأقل ثابت أويلر${\displaystyle e}$[ ^{1 ]​}

أثبت إرني كروت هذه الفرضية كجزء من أطروحته للدكتوراه ، ^{[ 2 ]} ونشر لاحقًا (أثناء عمله كباحث ما بعد الدكتوراه في جامعة كاليفورنيا في بيركلي ) البرهان في مجلة حوليات الرياضيات . ^{[ 3 ]} القيمة التي قدمها كروت لـ${\displaystyle b}$كبير جدًا: على الأكثر${\displaystyle e^{167000}}$تأتي نتيجة كروت كنتيجة طبيعية لنظرية أكثر عمومية تنص على وجود تمثيلات كسرية مصرية للوحدة للمجموعات${\displaystyle C}$من الأعداد السلسة في فترات من الشكل${\displaystyle [X,X^{1+\delta }]}$، أين${\displaystyle C}$تحتوي على عدد كافٍ من الأعداد بحيث يكون مجموع مقلوباتها ستة على الأقل. وتستنتج حدسية إردوش-غراهام من هذه النتيجة، حيث تُبين أنه يمكن إيجاد فترة من هذا الشكل يكون فيها مجموع مقلوبات جميع الأعداد الملساء ستة على الأقل.${\displaystyle 6r}$لذلك، إذا كانت الأعداد الصحيحة${\displaystyle r}$-ملون يجب أن تكون هناك مجموعة فرعية أحادية اللون${\displaystyle C}$تحقيق شروط نظرية كروت.

أعلن توماس بلوم ، الباحث ما بعد الدكتوراه في جامعة أكسفورد ، في عام 2021 ، عن صيغة أقوى لهذه النتيجة، وهي أن أي مجموعة من الأعداد الصحيحة ذات الكثافة العليا الموجبة تتضمن مقامات تمثيل كسر مصري للعدد واحد. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

• تخمينات إردوش

• صفحة إرني كروت الإلكترونية