الكسر المصري

الكسر المصري هو مجموع محدود من كسور الوحدة المختلفة ، مثل $${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.}$$ أي أن كل كسر في التعبير له بسط يساوي 1 ومقام عدد صحيح موجب ، وجميع المقامات تختلف عن بعضها البعض. قيمة تعبير من هذا النوع هي عدد نسبي موجب .${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$على سبيل المثال، مجموع الكسر المصري أعلاه يساوي${\displaystyle {\tfrac {43}{48}}}$يمكن تمثيل كل عدد نسبي موجب بكسر مصري. تشمل المجاميع من هذا النوع، والمجاميع المماثلة أيضًا${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$و${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$استُخدمت الكسور المصرية ، كرموز أساسية للأعداد النسبية، من قِبل المصريين القدماء، واستمر استخدامها من قِبل حضارات أخرى حتى العصور الوسطى. في التدوين الرياضي الحديث، حلت الكسور الشائعة والتدوين العشري محل الكسور المصرية . ومع ذلك، لا تزال الكسور المصرية موضع دراسة في نظرية الأعداد الحديثة والرياضيات الترفيهية ، وكذلك في الدراسات التاريخية الحديثة للرياضيات القديمة .

إلى جانب استخدامها التاريخي، تتمتع الكسور المصرية ببعض المزايا العملية مقارنةً بغيرها من تمثيلات الأعداد الكسرية. فعلى سبيل المثال، يمكن للكسور المصرية أن تساعد في تقسيم الطعام أو غيره من الأشياء إلى حصص متساوية. ^{[ 1 ]} فعلى سبيل المثال، إذا أراد شخص ما تقسيم 5 قطع بيتزا بالتساوي بين 8 أشخاص، فإن الكسر المصري $${\displaystyle {\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}$$ يعني هذا أن كل شخص يحصل على نصف بيتزا بالإضافة إلى ثمن بيتزا آخر، على سبيل المثال بتقسيم 4 بيتزا إلى 8 أنصاف، والبيتزا المتبقية إلى 8 أثمان. تُعدّ تمارين تطبيق هذا النوع من التقسيم العادل للطعام مثالًا شائعًا في الفصول الدراسية لتعليم الطلاب التعامل مع الكسور الوحدوية. ^{[ 2 ]}

يمكن للكسور المصرية أن تقدم حلاً لألغاز حرق الحبال ، حيث يُراد قياس مدة زمنية معينة عن طريق إشعال حبال غير منتظمة تحترق بعد وحدة زمنية. يمكن قياس أي كسر نسبي لوحدة زمنية عن طريق تحويل الكسر إلى مجموع كسور وحدة، ثم لكل كسر وحدة${\displaystyle 1/x}$حرق حبل بحيث يكون دائمًا${\displaystyle x}$نقاط مضاءة في وقت واحد حيث يشتعل. في هذا التطبيق، ليس من الضروري أن تكون كسور الوحدة متميزة عن بعضها البعض. ومع ذلك، قد يتطلب هذا الحل عددًا لا نهائيًا من خطوات إعادة الإشعال. ^{[ 3 ]}

طُوِّرت كتابة الكسور المصرية في عصر الدولة الوسطى بمصر . ومن أوائل النصوص التي وردت فيها الكسور المصرية: لفافة الجلد الرياضية المصرية ، وبردية موسكو الرياضية ، وبردية رايزنر ، وبردية كاهون ، ولوح أخميم الخشبي . وفي وقت لاحق، قدّمت بردية رايند الرياضية طرقًا مُحسَّنة لكتابة الكسور المصرية. كُتبت بردية رايند على يد أحمس ، وتعود إلى الفترة الانتقالية الثانية ؛ وهي تتضمن جدولًا لتوسيعات الكسور المصرية للأعداد النسبية.${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$بالإضافة إلى 84 مسألة كلامية . كُتبت حلول كل مسألة بالاختزال الكتابي، مع التعبير عن الإجابات النهائية لجميع المسائل الـ 84 باستخدام تدوين الكسور المصري. جداول توسعات لـ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$تظهر أشكال مشابهة لتلك الموجودة على بردية رايند في بعض النصوص الأخرى. ومع ذلك، وكما تُظهر بردية كاهون ، فقد استخدم النساخ الكسور الشائعة في حساباتهم.

الترميز

لكتابة الكسور الوحدوية المستخدمة في تدوين الكسور المصري، بالخط الهيروغليفي، وضع المصريون الهيروغليفية التالية :

( er ، بمعنى " واحد من بين" أو ربما re ، بمعنى فم) فوق رقم لتمثيل مقلوب ذلك الرقم. وبالمثل، في الكتابة الهيراطيقية، كانوا يرسمون خطًا فوق الحرف الذي يمثل الرقم. على سبيل المثال:

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

كان لدى المصريين رموز خاصة لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$،${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$، و${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$التي استُخدمت لتقليل حجم الأرقام الأكبر من${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$عند تحويل هذه الأعداد إلى سلسلة كسور مصرية، يُكتب العدد المتبقي بعد طرح أحد هذه الكسور الخاصة كمجموع كسور وحدة مختلفة وفقًا لرمز الكسور المصري المعتاد.

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

استخدم المصريون أيضاً تدويناً بديلاً معدلاً من المملكة القديمة للدلالة على مجموعة خاصة من الكسور على الشكل التالي:${\displaystyle 1/2^{k}}$(ل${\displaystyle k=1,2,\dots ,6}$) ومجموع هذه الأعداد، وهي بالضرورة أعداد نسبية ثنائية . وقد سُميت هذه الأعداد "كسور عين حورس" نسبةً إلى نظرية (تم دحضها الآن) ^{[ 4 ]} مفادها أنها تستند إلى أجزاء رمز عين حورس . استُخدمت هذه الكسور في عصر الدولة الوسطى بالتزامن مع التدوين اللاحق للكسور المصرية لتقسيم الهيكات ، وهي وحدة قياس الحجم الأساسية في مصر القديمة للحبوب والخبز وغيرها من الكميات الصغيرة، كما هو موضح في لوح أخميم الخشبي . إذا تبقى أي باقٍ بعد التعبير عن كمية ما بكسور عين حورس من الهيكات، يُكتب الباقي باستخدام تدوين الكسور المصري المعتاد كمضاعفات للرو ، وهي وحدة تساوي${\displaystyle {\tfrac {1}{320}}}$من الهيكات.

استمر استخدام نظام الكسور المصري في العصر اليوناني وحتى العصور الوسطى، ^{[ 9 ]} على الرغم من الشكاوى التي ظهرت في وقت مبكر من كتاب المجسطي لبطليموس حول صعوبة هذا النظام مقارنةً ببدائل أخرى مثل نظام الكسور البابلي ذي الأساس 60. كما دُرست مسائل مشابهة تتعلق بتحليل الكسور إلى كسور الوحدة في الهند في القرن التاسع الميلادي على يد عالم الرياضيات الجيني ماهافيرا . ^{[ 10 ]} ويُعدّ كتاب "ليبر أباتشي" (1202) لليوناردو البيزي (المعروف باسم فيبوناتشي) نصًا هامًا في الرياضيات الأوروبية في العصور الوسطى ، إذ يُقدّم بعض الأفكار حول استخدامات الكسور المصرية في تلك الحقبة، ويطرح مواضيع لا تزال ذات أهمية في الدراسات الرياضية الحديثة لهذه المتسلسلات.

الموضوع الرئيسي لكتاب "ليبر أباتشي" هو العمليات الحسابية التي تتضمن تدوين الكسور العشرية والعادية، والتي حلت لاحقًا محل الكسور المصرية. استخدم فيبوناتشي نفسه تدوينًا معقدًا للكسور يجمع بين تدوين الأساس المختلط ومجموع الكسور. تتضمن العديد من العمليات الحسابية في كتاب فيبوناتشي أعدادًا ممثلة بالكسور المصرية، ويقدم أحد أقسام هذا الكتاب ^{[ 11 ]} قائمة بطرق تحويل الكسور العادية إلى كسور مصرية. إذا لم يكن العدد كسرًا وحدويًا، فإن الطريقة الأولى في هذه القائمة هي محاولة تقسيم البسط إلى مجموع قواسم المقام؛ وهذا ممكن عندما يكون المقام عددًا عمليًا ، ويتضمن كتاب "ليبر أباتشي" جداولًا لتوسيعات من هذا النوع للأعداد العملية 6 و8 و12 و20 و24 و60 و100.

تتضمن الطرق التالية متطابقات جبرية مثل $${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.}$$على سبيل المثال ، يُمثل فيبوناتشي الكسر ٨/١١ بتقسيم البسط إلى مجموع عددين، كل منهما يقسم ١ + المقام: ٨/١١ = ٦/١١ + ٢/١١ . يطبق فيبوناتشي المتطابقة الجبرية المذكورة أعلاه على كل من هذين الجزأين ، فينتج عنه التوسيع ٨/١١ = ١/٢ + ١/٢٢ + ١/٦ + ١/٦٦ . يصف فيبوناتشي طرقًا مماثلة للمقامات التي تقل بمقدار اثنين أو ثلاثة عن عدد له عوامل كثيرة .

في الحالات النادرة التي تفشل فيها جميع الطرق الأخرى، يقترح فيبوناتشي خوارزمية "جشعة" لحساب الكسور المصرية، حيث يتم اختيار الكسر ذي المقام الأصغر بشكل متكرر، بشرط ألا يكون أكبر من الكسر المتبقي المراد توسيعه: أي، بصيغة أكثر حداثة، نستبدل الكسر س / ص بالتوسيع$${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }},}$$ حيث يمثل ⌈ ⌉ دالة السقف ؛ بما أن (− y ) mod x < x ، فإن هذه الطريقة تعطي توسيعًا محدودًا.

يقترح فيبوناتشي التحول إلى طريقة أخرى بعد التوسع الأول من هذا القبيل ، ولكنه يقدم أيضًا أمثلة تم فيها تكرار هذا التوسع الجشع حتى تم بناء توسع كسر مصري كامل : 4 / 13 = 1 / 4 + 1 / 18 + 1 / 468 و 17 / 29 = 1 / 2 + 1 / 12 + 1 / 348 .

بالمقارنة مع التوسعات المصرية القديمة أو الطرق الحديثة، قد تُنتج هذه الطريقة توسعات طويلة جدًا ذات مقامات كبيرة، وقد لاحظ فيبوناتشي نفسه عدم سلاسة التوسعات الناتجة عن هذه الطريقة. على سبيل المثال، تتوسع طريقة الجشع $${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},}$$ بينما تؤدي طرق أخرى إلى توسع أقصر $${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.}$$

يمكن اعتبار متتالية سيلفستر 2، 3، 7، 43، 1807، ... مولدة بواسطة توسيع جشع لانهائي من هذا النوع للعدد 1، حيث نختار في كل خطوة المقام ⌊ ⁠ y / x ⁠ ⌋ + 1 بدلاً من ⌈ ⁠ y / x ⁠ ⌉ ، وفي بعض الأحيان تُنسب خوارزمية فيبوناتشي الجشعة إلى جيمس جوزيف سيلفستر .

بعد وصفه للخوارزمية الجشعة، يقترح فيبوناتشي طريقة أخرى، وهي توسيع الكسر a / b من خلال البحث عن عدد c له العديد من القواسم، مع b / 2 < c < b ، واستبدال a / b بـ ac / bc ، وتوسيع ac كمجموع قواسم bc ، على غرار الطريقة التي اقترحها هولتسش وبروينز لشرح بعض التوسعات في بردية رايند .

على الرغم من أن الكسور المصرية لم تعد تُستخدم في معظم التطبيقات العملية للرياضيات، إلا أن علماء نظرية الأعداد المعاصرين واصلوا دراسة العديد من المسائل المختلفة المتعلقة بها. وتشمل هذه المسائل تحديد طول أو أقصى مقام في تمثيلات الكسور المصرية، وإيجاد متسلسلات لأشكال خاصة معينة أو حيث تكون المقامات جميعها من نوع خاص، وإنهاء طرق مختلفة لتوسيع الكسور المصرية، وإثبات وجود متسلسلات لأي مجموعة كثيفة بما فيه الكفاية من الأعداد الملساء بما فيه الكفاية .

• أثبت أحد أوائل منشورات بول إردوش أنه من غير الممكن أن تُشكّل متتالية توافقية تمثيلاً كسرياً مصرياً لعدد صحيح . والسبب هو أنه بالضرورة، سيكون أحد مقامات المتتالية على الأقل قابلاً للقسمة على عدد أولي لا يقسم أي مقام آخر. ^{[ 12 ]} أما أحدث منشورات إردوش، بعد ما يقرب من 20 عاماً من وفاته، فيُثبت أن لكل عدد صحيح تمثيلاً تكون فيه جميع المقامات عبارة عن حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية. ^{[ 13 ]}
• تنصّ حدسية إردوش-غراهام في نظرية الأعداد التوافقية على أنه إذا قُسّمت الأعداد الصحيحة الأكبر من 1 إلى عدد محدود من المجموعات الجزئية، فإن إحدى هذه المجموعات الجزئية تحتوي على مجموعة جزئية منتهية من نفسها يكون مجموع مقلوباتها واحدًا. أي أنه لكل r > 0 ، ولكل تلوين من r للأعداد الصحيحة الأكبر من 1، توجد مجموعة جزئية أحادية اللون منتهية S من هذه الأعداد الصحيحة بحيث$${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$$تم إثبات هذه الفرضية في عام 2003 بواسطة إرنست إس. كروت الثالث .
• ترتبط مسألة زنام والأعداد شبه الكاملة الأولية ارتباطًا وثيقًا بوجود الكسور المصرية من الشكل$${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.}$$على سبيل المثال ، العدد شبه الكامل الأساسي 1806 هو ناتج ضرب الأعداد الأولية 2 و 3 و 7 و 43 ، ويؤدي إلى الكسر المصري 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 .
• تُعرَّف الكسور المصرية عادةً بأنها تتطلب أن تكون جميع المقامات مختلفة، ولكن يمكن تخفيف هذا الشرط للسماح بالمقامات المتكررة. مع ذلك، لا يسمح هذا الشكل المخفف من الكسور المصرية بتمثيل أي عدد باستخدام عدد أقل من الكسور، إذ يمكن تحويل أي كسر يحتوي على كسور متكررة إلى كسر مصري مساوٍ أو أصغر ( ككسر مختلط يسمح أيضًا بالأعداد الصحيحة) عن طريق تطبيق الاستبدال بشكل متكرر.$${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}}$$إذا كان k فرديًا، أو ببساطة عن طريق استبدال 1 / k + 1 / k بـ 2 / k إذا كان k زوجيًا . وقد أثبت تاكينوتشي هذه النتيجة لأول مرة عام 1921 .
• أثبت غراهام وجويت ^{[ 14 ]} أنه من الممكن بالمثل تحويل المتسلسلات ذات المقامات المتكررة إلى كسور مصرية (أطول)، عن طريق الاستبدال$${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.}$$يمكن أن تؤدي هذه الطريقة إلى عمليات توسع طويلة ذات مقامات كبيرة، مثل$${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}.}$$استخدم بوتس (1967) في الأصل تقنية الاستبدال هذه لإظهار أن أي عدد نسبي له تمثيلات كسرية مصرية ذات مقامات دنيا كبيرة بشكل تعسفي.
• أي كسر ⁠ x / y ⁠ له تمثيل كسر مصري يكون فيه المقام الأقصى محدودًا بـ ^{[ 15 ]}$${\displaystyle O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right),}$$وتمثيل بحد أقصى$${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$$^{[ 16 ]} يجب أن يكون عدد الحدود في بعض الأحيان متناسبًا على الأقل مع لوغاريتم لوغاريتم ص ؛ على سبيل المثال، ينطبق هذا على الكسور في المتتالية 1/2، 2/3، 6/7، 42/43 ، 1806/1807 ، ... التي تشكل مقاماتها متتالية سيلفستر . وقد تم التكهن بأن O ( لوغاريتم لوغاريتم ص ) من الحدود كافية دائمًا . [ 17 ] ^من الممكن أيضًا إيجاد ^{تمثيلات يكون} فيها كل من ^المقام الأقصى وعدد الحدود صغيرين. ^[ 18 ^]
• وصف غراهام (1964) الأعداد التي يمكن تمثيلها بكسور مصرية جميع مقاماتها قوى من الرتبة n . وبالتحديد، يمكن تمثيل العدد النسبي q ككسر مصري بمقامات مربعة إذا وفقط إذا كان q يقع في إحدى الفترتين نصف المفتوحتين.$${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right).}$$
• أظهر مارتن (1999) أن أي عدد نسبي له توسعات كثيفة للغاية، باستخدام جزء ثابت من المقامات حتى N لأي N كبير بما فيه الكفاية .
• يُعدّ توسيع إنجل ، والذي يُطلق عليه أحيانًا اسم الضرب المصري ، شكلاً من أشكال توسيع الكسور المصرية حيث يكون كل مقام مضاعفًا للمقام السابق:$${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .}$$بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون متتالية المضاعفات aᵢ غير متناقصة. لكل عدد نسبي تمثيل إنجل محدود، بينما للأعداد غير النسبية _تمثيل إنجل غير محدود.
• درس أنشيل وغولدفيلد (1991) الأعداد التي لها تمثيلات كسرية مصرية متعددة ومختلفة بنفس عدد الحدود ونفس حاصل ضرب المقامات؛ على سبيل المثال، أحد الأمثلة التي قدموها هو$${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}.}$$على عكس المصريين القدماء، يسمحون بتكرار المقامات في هذه التوسعات. ويطبقون نتائجهم المتعلقة بهذه المسألة على توصيف الضرب الحر للمجموعات الأبيلية بواسطة عدد قليل من المعاملات العددية: رتبة المجموعة الفرعية التبادلية ، وعدد الحدود في الضرب الحر، وحاصل ضرب رتب العوامل.
• عدد الأنواع المختلفة${\displaystyle n}$تمثيلات الكسور المصرية ذات الحد الواحد محدودة من الأعلى والأسفل بدوال أسية مزدوجة لـ${\displaystyle n}$[ ^{19 ]​}
• عدد التمثيلات الكسورية المصرية المختلفة للعدد واحد ذات المقام الأكبر على الأكثر${\displaystyle n}$محصورة من الأعلى والأسفل بدالة من الشكل$${\displaystyle 2^{cn+o(n)},}$$ل${\displaystyle c\approx 0.91117}$وبشكل أعم، لكل عدد نسبي${\displaystyle x}$يوجد حد من نفس الشكل ولكن بثابت مختلف${\displaystyle c}$، اعتمادا علي${\displaystyle x}$[ ^{20 ]​}

لا تزال بعض المشاكل البارزة دون حل فيما يتعلق بالكسور المصرية، على الرغم من الجهود الكبيرة التي يبذلها علماء الرياضيات.

• تتعلق حدسية إردوش-ستراوس ^{[ 17 ]} بطول أقصر امتداد لكسر على الصورة 4 / n . هل الامتداد$${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$$هل يوجد لكل n ؟ من المعروف أنه صحيح لجميع قيم n < 10 ¹⁷ ، ولجميع القيم الممكنة لـ n باستثناء جزء صغير للغاية ، لكن الحقيقة العامة للتخمين لا تزال غير معروفة.
• من غير المعروف ما إذا كان هناك توسيع جشع فردي لكل كسر ذي مقام فردي. إذا عُدِّلَت طريقة فيبوناتشي الجشعة بحيث تختار دائمًا أصغر مقام فردي ممكن ، فما هي الشروط التي تُنتج في ظلها هذه الخوارزمية المُعدَّلة توسيعًا محدودًا؟ من الواضح أن الشرط الضروري هو أن يكون للكسر الابتدائي x / y مقام فردي y ، ويُفترض، ولكن ليس من المؤكد ، أن هذا شرط كافٍ أيضًا. من المعروف ^{[ 21 ]} أن كل كسر x / y ذي مقام فردي y له توسيع إلى كسور وحدة فردية مختلفة، مُنشأة باستخدام طريقة مختلفة عن الخوارزمية الجشعة.
• من الممكن استخدام خوارزميات البحث الشامل لإيجاد التمثيل الكسري المصري لعدد معين بأقل عدد ممكن من الحدود ^{[ 22 ]} أو بتقليل المقام الأكبر؛ إلا أن هذه الخوارزميات قد تكون غير فعالة. ولا يزال وجود خوارزميات ذات زمن حسابي متعدد الحدود لهذه المسائل، أو بشكل أعم، التعقيد الحسابي لمثل هذه المسائل، غير معروف.

يصف جاي (2004) هذه المشاكل بمزيد من التفصيل ويسرد العديد من المشاكل المفتوحة الإضافية.

• قائمة بمجموع مقلوبات الأعداد
• لغز وراثة 17 حيوانًا

• براون، كيفن، الكسور الوحدوية المصرية.
• ابشتاين، ديفيد ، الكسور المصرية.
• نوت، رون، الكسور المصرية.
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "الكسور المصرية" ، عالم الرياضيات
• جيرو، أندريه، الكسور المصريةوزيليني ، إنريكي، خوارزميات للكسور المصريةمشروع عروض وولفرام ، استنادًا إلى برامج ديفيد إبستين .