التوافقية الحسابية

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يعتبر علم التوافيق الحسابي مجالاً يقع عند تقاطع نظرية الأعداد ، وعلم التوافيق ، ونظرية الإرجودية ، والتحليل التوافقي .

نِطَاق

يهتم علم التوافيق الحسابي بالتقديرات التوافقية المرتبطة بالعمليات الحسابية (الجمع والطرح والضرب والقسمة). أما علم التوافيق الجمعي فهو الحالة الخاصة التي تقتصر فيها العمليات على الجمع والطرح فقط.

يشرح بن جرين التوافقية الحسابية في مراجعته لكتاب "التوافقية الجمعية" لتاو وفو . [ 1 ]

نتائج مهمة

نظرية سيميريدي

تُعدّ نظرية سيميريدي نتيجةً في التوافقية الحسابية تتعلق بالمتتابعات الحسابية في مجموعات جزئية من الأعداد الصحيحة. في عام 1936، افترض إردوش وتوران [ 2 ] أن كل مجموعة من الأعداد الصحيحة A ذات كثافة طبيعية موجبة تحتوي على متتابعة حسابية من k حد لكل k . هذا الافتراض، الذي أصبح فيما بعد نظرية سيميريدي، يُعمّم نص نظرية فان دير فاردن .

نظرية غرين-تاو وامتداداتها

تنص نظرية غرين -تاو ، التي أثبتها بن غرين وتيرينس تاو عام ٢٠٠٤، [ ٣ ] على أن متتالية الأعداد الأولية تحتوي على متتابعات حسابية طويلة كيفما شاءت . بعبارة أخرى، توجد متتابعات حسابية من الأعداد الأولية، تتكون من k حدًا، حيث k أي عدد طبيعي. ويُعد البرهان امتدادًا لنظرية سيميريدي .

في عام ٢٠٠٦، وسّع تيرينس تاو وتامار زيغلر هذه النتيجة لتشمل المتتابعات متعددة الحدود. [ ٤ ] بتعبير أدق، إذا كانت لدينا أي كثيرات حدود P₁ , ..., Pₖ ذات قيم صحيحة في عدد مجهول m، جميعها ذات حد ثابت يساوي صفرًا، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة x و m بحيث تكون x + P₁ ( m ), ..., x + Pₖ ( m ) أعدادًا أولية في آن واحد. وتستلزم الحالة الخاصة عندما تكون كثيرات الحدود m₁ , 2m , ..., km النتيجة السابقة التي تنص على وجود متتابعات حسابية من الأعداد الأولية بطول k .    

نظرية برويارد-غرين-تاو

تُقدّم نظرية برويارد-غرين-تاو، التي أثبتها إيمانويل برويارد وبن غرين وتيرينس تاو عام 2011، [ 5 ] تصنيفًا كاملاً للمجموعات التقريبية . ويمكن اعتبار هذه النتيجة نسخة غير تبديلية من نظرية فريمان ، وتعميمًا لنظرية غروموف على مجموعات النمو متعدد الحدود .

مثال

إذا كانت A مجموعة من N عددًا صحيحًا، فما هو أكبر أو أصغر حجم يمكن أن تكون عليه المجموعة الكلية؟

أ+أ:={x+y:x،y∈أ}،{\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\},}

مجموعة الفرق

أ-أ:={x-y:x،y∈أ}،{\displaystyle AA:=\{xy:x,y\in A\},}

ومجموعة المنتجات

أ⋅أ:={xy:x،y∈أ}{\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}}

ما هي أحجام هذه المجموعات، وكيف ترتبط ببعضها البعض؟ (لا ينبغي الخلط بين مصطلحي مجموعة الفرق ومجموعة الضرب : فقد يكون لهما معانٍ أخرى).

الإضافات

قد تكون المجموعات التي يتم دراستها أيضًا مجموعات جزئية من هياكل جبرية أخرى غير الأعداد الصحيحة، على سبيل المثال ، المجموعات والحلقات والحقول . [ 6 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ غرين، بن (يوليو 2009). "مراجعات الكتب: التوافقية الجمعية، بقلم تيرينس سي. تاو وفان إتش. فو" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 46 (3): 489-497 . doi : 10.1090/s0273-0979-09-01231-2 .
  2. ↑ إردوش، بول ؛ توران، بول (1936). "حول بعض متواليات الأعداد الصحيحة" (ملف PDF) . مجلة الجمعية الرياضية بلندن . 11 (4): 261-264 . doi : 10.1112/jlms/s1-11.4.261 . MR 1574918 . .
  3. ↑ غرين، بن ؛ تاو، تيرينس (2008). "الأعداد الأولية تحتوي على متواليات حسابية طويلة كيفما كانت". حوليات الرياضيات . 167 (2): 481-547 . arXiv : math.NT/0404188 . doi : 10.4007 / annals.2008.167.481 . MR 2415379. S2CID 1883951 .  .
  4. ↑ تاو، تيرينس ؛ زيغلر، تامار (2008). "الأعداد الأولية تحتوي على متواليات متعددة الحدود طويلة كيفيًا". مجلة أكتا ماتيماتيكا . 201 (2): 213-305 . arXiv : math/0610050 . doi : 10.1007/s11511-008-0032-5 . MR 2461509. S2CID 119138411 .  .
  5. ^ برويار، إيمانويل ؛ جرين, بن ; تاو ، تيرينس (2012). “هيكل المجموعات التقريبية”. منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115 – 221. أرخايف : 1110.5008 . دوى : 10.1007/s10240-012-0043-9 . السيد 3090256 . S2CID 119603959 .  .
  6. ↑ بورغين، جان ؛ كاتز، نيتس ؛ تاو، تيرينس (2004). "تقدير مجموع الضرب في الحقول المنتهية، وتطبيقاته". التحليل الهندسي والوظيفي . 14 (1): 27-57 . arXiv : math/0301343 . doi : 10.1007/s00039-004-0451-1 . MR 2053599. S2CID 14097626 .  

مراجع

للمزيد من القراءة