نموذج الأخطاء في المتغيرات

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة
يوضح الشكل تأثير تخفيف الانحدار (أو انحياز التخفيف) الناتج عن نطاق تقديرات الانحدار في نماذج الأخطاء في المتغيرات. يحدد خطان للانحدار (باللون الأحمر) نطاق احتمالات الانحدار الخطي. يُحصل على ميل منخفض عندما يكون المتغير المستقل (أو المتنبئ) على المحور السيني. ويُحصل على ميل حاد عندما يكون المتغير المستقل على المحور الصادي. اصطلاحًا، عندما يكون المتغير المستقل على المحور السيني، يُحصل على ميل منخفض. تمثل الخطوط المرجعية الخضراء المتوسطات ضمن فئات عشوائية على طول كل محور. لاحظ أن تقديرات الانحدار الأكثر حدة (باللونين الأخضر والأحمر) تتوافق بشكل أكبر مع أخطاء أصغر في متغير المحور الصادي.

في الإحصاء ، يُعرف نموذج أخطاء المتغيرات أو نموذج خطأ القياس بأنه نموذج انحدار يأخذ في الحسبان أخطاء القياس في المتغيرات المستقلة . في المقابل، تفترض نماذج الانحدار القياسية أن هذه المتغيرات المستقلة قد تم قياسها بدقة، أو رصدها دون خطأ؛ وبالتالي، فإن هذه النماذج لا تأخذ في الحسبان سوى الأخطاء في المتغيرات التابعة ، أو الاستجابات.

في حالة وجود أخطاء في قياس بعض المتغيرات المستقلة، يؤدي التقدير القائم على الافتراض القياسي إلى تقديرات غير متسقة ، ما يعني أن تقديرات المعلمات لا تقترب من القيم الحقيقية حتى في العينات الكبيرة جدًا. في الانحدار الخطي البسيط، يتمثل التأثير في التقليل من قيمة المعامل، وهو ما يُعرف بانحياز التضاؤل . أما في النماذج غير الخطية، فمن المرجح أن يكون اتجاه الانحياز أكثر تعقيدًا. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

مثال مُحفِّز

لنفترض نموذج انحدار خطي بسيط على النحو التالي:

yت=α+βxت*+εت،ت=1،...،تي،{\displaystyle y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}\,,\quad t=1,\ldots ,T,}

أينxت*{\displaystyle x_{t}^{*}}يشير إلى المتغير المستقل الحقيقي ولكن غير المرصود . بدلاً من ذلك، نرصد هذه القيمة مع وجود خطأ:

xت=xت*+ηت{\displaystyle x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}\,}

حيث خطأ القياسηت{\displaystyle \eta _{t}}يُفترض أن يكون مستقلاً عن القيمة الحقيقيةxت*{\displaystyle x_{t}^{*}}من التطبيقات العملية لقانون هوك التجربة العلمية المدرسية القياسية ، حيث يتم تقدير العلاقة بين الوزن المضاف إلى نابض ومقدار استطالة النابض . إذا yت{\displaystyle y_{t}}يتم ببساطة تطبيق الانحدار علىxت{\displaystyle x_{t}}إذا كانت قيم ′s (انظر الانحدار الخطي البسيط )، فإن مُقدِّر معامل الميل هو

β^x=1تي∑ت=1تي(xت-x¯)(yت-y¯)1تي∑ت=1تي(xت-x¯)2،{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\,,}

والتي تتقارب مع حجم العينةتي{\displaystyle T}يزداد بلا حدود:

β^x→صكوف⁡[xت،yت]متغير⁡[xت]=βσx*2σx*2+ση2=β1+ση2/σx*2.{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma _{x^{*}}^{2}}{\sigma _{x^{*}}^{2}+\sigma _{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma _{\eta }^{2}/\sigma _{x^{*}}^{2}}}\,.}

وهذا يتناقض مع التأثير "الحقيقي" لـβ{\displaystyle \beta }، تم تقديرها باستخدامxت*{\displaystyle x_{t}^{*}},:

β^=1تي∑ت=1تي(xت*-x¯)(yت-y¯)1تي∑ت=1تي(xت*-x¯)2،{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})^{2}}}\,,}

تكون التباينات غير سالبة، لذا فإن التقدير في النهايةβ^x{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}أصغر منβ^{\displaystyle {\hat {\beta }}}وهو تأثير يسميه الإحصائيون بالتخفيف أو تخفيف الانحدار . [ 4 ] وبالتالي فإن مقدر المربعات الصغرى "الساذج"β^x{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}هو مُقدِّر غير متسق لـ β{\displaystyle \beta }. لكن،β^x{\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}يُعدّ مُقدِّرًا متسقًا للمعامل المطلوب لأفضل مُتنبئ خطي لـy{\displaystyle y}بالنظر إلى الملاحظةxت{\displaystyle x_{t}}في بعض التطبيقات، قد يكون هذا هو المطلوب، بدلاً من تقدير معامل الانحدار "الحقيقي".β{\displaystyle \beta }على الرغم من أن ذلك يفترض أن تباين الأخطاء في التقدير والتنبؤ متطابق. وينتج هذا مباشرة من النتيجة المذكورة أعلاه، ومن حقيقة أن معامل الانحدار الذي يربطyت{\displaystyle y_{t}}′s إلى الملاحظة الفعليةxت{\displaystyle x_{t}}في الانحدار الخطي البسيط، يُعطى 's' بالصيغة التالية:

βx=كوف⁡[xت،yت]متغير⁡[xت].{\displaystyle \beta _{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}.}

هذا هو المعامل، وليسβ{\displaystyle \beta }، وهو ما سيكون مطلوبًا لبناء نموذج تنبؤي لـy{\displaystyle y}استنادًا إلى الملاحظةx{\displaystyle x}والتي تتعرض للضوضاء.

يمكن القول إن جميع مجموعات البيانات الموجودة تقريبًا تحتوي على أخطاء متفاوتة في طبيعتها وحجمها، مما يجعل تحيز التخفيف شائعًا للغاية (مع أن اتجاه التحيز في الانحدار متعدد المتغيرات غير واضح [ 5 ] ). ويرى جيري هاوسمان أن هذا قانون أساسي في الاقتصاد القياسي : "عادةً ما يكون حجم التقدير أصغر من المتوقع". [ 6 ]

مواصفة

عادةً ما يتم وصف نماذج خطأ القياس باستخدام أسلوب المتغيرات الكامنة . إذاy{\displaystyle y}هو المتغير التابع وx{\displaystyle x}إذا كانت القيم المرصودة للمتغيرات المستقلة، فمن المفترض وجود بعض المتغيرات الكامنة.y*{\displaystyle y^{*}}وx*{\displaystyle x^{*}}والتي تتبع العلاقة الوظيفية "الحقيقية" للنموذجز(⋅){\displaystyle g(\cdot )}وبحيث تكون الكميات المرصودة عبارة عن ملاحظات مشوشة:

{y*=ز(x*،w|θ)،y=y*+ε،x=x*+η،{\displaystyle {\begin{cases}y^{*}=g(x^{*}\!,w\,|\,\theta ),\\y=y^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}}

أينθ{\displaystyle \theta }هو مُعامل النموذج وw{\displaystyle w}هي تلك المتغيرات المستقلة التي يُفترض أنها خالية من الأخطاء (على سبيل المثال، عندما يحتوي الانحدار الخطي على حد ثابت، فإن المتغير المستقل الذي يُقابل الثابت بالتأكيد لا يحتوي على "أخطاء قياس"). اعتمادًا على المواصفات، قد تُعامل هذه المتغيرات المستقلة الخالية من الأخطاء بشكل منفصل أو لا؛ في الحالة الأخيرة، يُفترض ببساطة أن المدخلات المقابلة في مصفوفة التباين لـη{\displaystyle \eta }قيم 's تساوي صفرًا.

المتغيراتy{\displaystyle y}،x{\displaystyle x}،w{\displaystyle w}جميعها مُلاحَظة ، مما يعني أن الإحصائي يمتلك مجموعة بيانات منن{\displaystyle n}الوحدات الإحصائية{yأنا،xأنا،wأنا}أنا=1،...،ن{\displaystyle \left\{y_{i},x_{i},w_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n}}والتي تتبع عملية توليد البيانات الموضحة أعلاه؛ المتغيرات الكامنةx*{\displaystyle x^{*}}،y*{\displaystyle y^{*}}،ε{\displaystyle \varepsilon }، وη{\displaystyle \eta }لكنها غير ملحوظة.

لا تشمل هذه المواصفات جميع نماذج الأخطاء في المتغيرات الموجودة. على سبيل المثال، في بعضها، الدالةز(⋅){\displaystyle g(\cdot )}قد تكون غير بارامترية أو شبه بارامترية. وتقوم مناهج أخرى بنمذجة العلاقة بينy*{\displaystyle y^{*}}وx*{\displaystyle x^{*}}باعتبارها توزيعية بدلاً من وظيفية؛ أي أنهم يفترضون أنy*{\displaystyle y^{*}}بشرطx*{\displaystyle x^{*}}يتبع توزيعًا معينًا (عادةً ما يكون توزيعًا بارامتريًا).

المصطلحات والافتراضات

  • المتغير المرصودx{\displaystyle x}قد يُطلق عليه اسم المتغير البيان أو المؤشر أو المتغير الوكيل .
  • المتغير غير المرصودx*{\displaystyle x^{*}}قد يُطلق عليه اسم المتغير الكامن أو الحقيقي . ويمكن اعتباره إما ثابتًا غير معروف (وفي هذه الحالة يُسمى النموذج نموذجًا وظيفيًا )، أو متغيرًا عشوائيًا (وبالتالي نموذجًا هيكليًا ). [ 7 ]
  • العلاقة بين خطأ القياسη{\displaystyle \eta }والمتغير الكامنx*{\displaystyle x^{*}}يمكن نمذجتها بطرق مختلفة:
    • الأخطاء الكلاسيكية :η⊥x*{\displaystyle \eta \perp x^{*}}تكون الأخطاء مستقلة عن المتغير الكامن. هذا هو الافتراض الأكثر شيوعًا؛ وهو يعني أن الأخطاء ناتجة عن جهاز القياس وأن مقدارها لا يعتمد على القيمة المقاسة.
    • الاستقلال المتوسط :هـ⁡[η|x*]=0،{\displaystyle \operatorname {E} [\eta |x^{*}]\,=\,0,}تكون الأخطاء ذات متوسط ​​صفري لكل قيمة من قيم المتغير الكامن. وهذا افتراض أقل تقييدًا من الافتراض الكلاسيكي [ 8 ] ، إذ يسمح بوجود تباين غير متجانس أو تأثيرات أخرى في أخطاء القياس.
    • أخطاء بيركسون :η⊥x،{\displaystyle \eta \,\perp \,x,}تكون الأخطاء مستقلة عن المتغير المستقل x المرصود . [ 9 ] هذا الافتراض محدود التطبيق للغاية. أحد الأمثلة على ذلك أخطاء التقريب: على سبيل المثال، إذا كان عمر الشخص* متغيرًا عشوائيًا مستمرًا ، بينما يتم تقريب العمر المرصود إلى أقرب عدد صحيح أصغر ، فإن خطأ التقريب يكون مستقلًا تقريبًا عن العمر المرصود . احتمال آخر هو مع تصميم التجربة الثابت: على سبيل المثال، إذا قرر عالم إجراء قياس في لحظة زمنية محددة مسبقًا.x{\displaystyle x}، على سبيل المثال فيx=10s{\displaystyle x=10s}إذاً، قد يحدث القياس الحقيقي عند قيمة أخرى لـx*{\displaystyle x^{*}}(على سبيل المثال بسبب وقت رد فعلها المحدود) وسيكون خطأ القياس هذا مستقلاً بشكل عام عن القيمة "الملاحظة" للمتغير المستقل.
    • أخطاء التصنيف الخاطئ : حالة خاصة تُستخدم للمتغيرات الوهمية . إذاx*{\displaystyle x^{*}}إذا كان المتغير مؤشرًا على حدث أو حالة معينة (مثل جنس الشخص، أو تلقيه علاجًا طبيًا معينًا، وما إلى ذلك)، فإن خطأ القياس في هذا المتغير سيُقابله تصنيف خاطئ مشابه للخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني في الاختبارات الإحصائية. في هذه الحالة، يكون الخطأη{\displaystyle \eta }قد تأخذ ثلاث قيم محتملة فقط، وتوزيعها مشروط بـx*{\displaystyle x^{*}}يتم تصميم النموذج باستخدام معيارين:α=برو⁡[η=-1|x*=1]{\displaystyle \alpha =\operatorname {Pr} [\eta =-1|x^{*}=1]}، وβ=برو⁡[η=1|x*=0]{\displaystyle \beta =\operatorname {Pr} [\eta =1|x^{*}=0]}الشرط الضروري للتعرف هو أنα+β<1{\displaystyle \alpha +\beta <1}أي أن التصنيف الخاطئ لا ينبغي أن يحدث "بشكل متكرر". (يمكن تعميم هذه الفكرة على المتغيرات المنفصلة التي لها أكثر من قيمتين محتملتين).

النموذج الخطي

تمت دراسة نماذج الأخطاء في المتغيرات الخطية أولاً، ربما لأن النماذج الخطية شائعة الاستخدام وأسهل من النماذج غير الخطية. على عكس الانحدار الخطي القياسي (OLS)، فإن توسيع نطاق انحدار الأخطاء في المتغيرات (EiV) من الحالة البسيطة إلى الحالة متعددة المتغيرات ليس بالأمر السهل، إلا إذا تم التعامل مع جميع المتغيرات بنفس الطريقة، أي افتراض موثوقية متساوية، مما يؤدي إلى الصيغة الأنيقة والملائمة الموضحة أدناه لتركيب المعادلات غير المتحيزة. [ 10 ]

نموذج خطي بسيط

تم بالفعل عرض نموذج الأخطاء الخطية البسيطة في المتغيرات في قسم "الدافع":

{yت=α+βxت*+εت،xت=xت*+ηت،{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t},\end{cases}}}

حيث جميع المتغيرات قياسية . هنا ، α و β هما المعلمتان محل الاهتمام، بينما σ ε و σ η - الانحرافات المعيارية لحدود الخطأ - هما المعلمتان المزعجتان . يُعامل المتغير المستقل "الحقيقي" x* كمتغير عشوائي (نموذج هيكلي )، مستقل عن خطأ القياس η ( افتراض كلاسيكي ).

يمكن تحديد هذا النموذج في حالتين: (1) إما أن المتغير الكامن x* لا يتبع التوزيع الطبيعي ، (2) أو أن x* يتبع التوزيع الطبيعي، ولكن لا يقبل كل من εt و ηt القسمة على التوزيع الطبيعي. [ 11 ] أي أنه يمكن تقدير المعاملين α و β بشكل متسق من مجموعة البيانات .(xت،yت)ت=1تي{\displaystyle \scriptstyle (x_{t},\,y_{t})_{t=1}^{T}}بدون أي معلومات إضافية، بشرط ألا يكون المتغير الكامن غاوسيًا.

قبل التوصل إلى هذه النتيجة المتعلقة بإمكانية تحديد النموذج، حاول الإحصائيون تطبيق أسلوب الاحتمال الأقصى بافتراض أن جميع المتغيرات تتبع التوزيع الطبيعي، ثم خلصوا إلى أن النموذج غير قابل للتحديد. وكان الحل المقترح هو افتراض أن بعض معلمات النموذج معروفة أو يمكن تقديرها من مصدر خارجي. وتشمل طرق التقدير هذه [ 12 ]

  • انحدار ديمينغ - يفترض أن النسبة δ = σ² ε / σ² η معلومة. قد يكون هذا مناسبًا، على سبيل المثال، عندما تكون الأخطاء في y و x ناتجة عن القياسات، وتكون دقة أجهزة القياس أو الإجراءات معروفة.
    • الحالة التي تكون فيها δ = 1 تُعرف أيضًا باسم الانحدار المتعامد .
    • في الحالة التي يكون فيها δ = σ² x / σ² y ، تُعرف هذه العلاقة بالعلاقة الوظيفية للمتوسط ​​الهندسي (GMFR). تُعامل هذه العلاقة كلا المتغيرين على أنهما يتمتعان بنفس الموثوقية ، أي ( σ y / σ ε = σ x / σ η) . الميل الناتج هو المتوسط ​​الهندسي لميل المربعات الصغرى العادية وميل المربعات الصغرى العكسية، أي الخطان الأحمران في الرسم البياني. [ 13 ] تتميز هذه الطريقة بثباتها عند تغيير المقياس، أو الإزاحة، أو تبديل المتغيرات، وهي الطريقة الوحيدة التي تعتمد فقط على العزمين الأول والثاني لتحقيق هذه الخاصية. [ 14 ]
    • يمكن التعامل مع طريقة المربعات الصغرى العادية على x على أنها δ = 0، ويمكن التعامل مع طريقة المربعات الصغرى العادية على y على أنها δ = ∞. [ 13 ]
  • الانحدار مع نسبة موثوقية معروفة λ = σ² ∗ / ( σ² η + σ² ∗ )، حيث σ² ∗ هو تباين المتغير الكامن. يمكن تطبيق هذا النهج، على سبيل المثال، عند توفر قياسات متكررة لنفس الوحدة، أو عندما تكون نسبة الموثوقية معروفة من دراسة مستقلة. في هذه الحالة، يكون التقدير المتسق للميل مساويًا لتقدير المربعات الصغرى مقسومًا على λ .
  • قد يحدث الانحدار مع معرفة σ² η عندما يكون مصدر الأخطاء في x معروفًا ويمكن حساب تباينها. قد يشمل ذلك أخطاء التقريب، أو الأخطاء الناتجة عن جهاز القياس. عندما تكون σ² η معروفة، يمكننا حساب نسبة الموثوقية كالتالي: λ = ( σ² x − σ² η ) / σ² x ، وبالتالي اختزال المسألة إلى الحالة السابقة.

تتضمن أساليب التقدير التي لا تفترض معرفة بعض معلمات النموذج ما يلي:

  • طريقة العزوم - مُقدِّر GMM القائم على العزوم التراكمية المشتركة من الرتبة الثالثة (أو أعلى) للمتغيرات القابلة للملاحظة. يمكن تقدير معامل الميل من [ 15 ]
    β^=ك^(ن1،ن2+1)ك^(ن1+1،ن2)،ن1،ن2>0،{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\hat {K}}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat {K}}(n_{1}+1,n_{2})}},\quad n_{1},n_{2}>0,}

    حيث ( n1 , n2 ) بحيث يكون K ( n1 + 1, n2 ) - العزم التراكمي المشترك لـ ( x , y ) - غير صفري. في حالة كون العزم المركزي الثالث للمتغير الكامن x* غير صفري، فإن الصيغة تُختزل إلى

    β^=1تي∑ت=1تي(xت-x¯)(yت-y¯)21تي∑ت=1تي(xت-x¯)2(yت-y¯) .{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}(y_{t}-{\bar {y}})}}\ .}
  • المتغيرات الآلية - وهي نوع من الانحدار يتطلب توفر متغيرات بيانات إضافية معينة z ، تُسمى الأدوات . يجب أن تكون هذه المتغيرات غير مرتبطة بالأخطاء في معادلة المتغير التابع (النتيجة) ( صالحة )، ويجب أن تكون مرتبطة ( ذات صلة ) بالمتغيرات المستقلة الحقيقية x* . إذا أمكن إيجاد هذه المتغيرات، فإن المُقدِّر يأخذ الشكل التالي:
    β^=1تي∑ت=1تي(zت-z¯)(yت-y¯)1تي∑ت=1تي(zت-z¯)(xت-x¯) .{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(x_{t}-{\bar {x}})}}\ .}

نموذج خطي متعدد المتغيرات

يبدو النموذج متعدد المتغيرات تمامًا مثل النموذج الخطي البسيط، ولكن هذه المرة β و η t و x t و x* t هي متجهات k × 1.

{yت=α+β′xت*+εت،xت=xت*+ηت.{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta 'x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}}

في حالة كون ( εt , ηt ) توزيعًا طبيعيًا مشتركًا، لا يمكن تحديد  المعلمة β إلا إذا وفقط إذا وُجدت مصفوفة كتلية غير منفردة من الرتبة k×k [ aA ] ، حيث a متجه من الرتبة k× 1 بحيث يكون a′x*  موزعًا توزيعًا طبيعيًا ومستقلًا عن  A′x* . أما في حالة كون εt و ηt1 و ... و ηtk مستقلة عن بعضها، فلا يمكن تحديد المعلمة  β إلا إذا وفقط إذا أمكن ،  بالإضافة إلى الشروط المذكورة أعلاه، كتابة بعض الأخطاء كمجموع متغيرين مستقلين أحدهما توزيع طبيعي. [ 16 ]

تتضمن بعض طرق التقدير للنماذج الخطية متعددة المتغيرات ما يلي:

  • تُعدّ طريقة المربعات الصغرى الكلية امتدادًا لانحدار ديمينغ في سياق المتغيرات المتعددة. عندما تتساوى تباينات جميع مكونات المتجه ( ε , η ) البالغ عددها k + 1 وتكون مستقلة، فإن هذا يُكافئ إجراء انحدار متعامد لـ y على المتجه x ، أي الانحدار الذي يُقلل مجموع مربعات المسافات بين النقاط ( yt , xt ) والمستوى الفائق ذي الأبعاد k الذي يُمثل "أفضل مُلاءمة".
  • يُعدّ نموذج الانحدار المحايد تعميمًا للعلاقة الوظيفية للمتوسط ​​الهندسي ليشمل متغيرات متعددة. وهو يعامل جميع المتغيرات بنفس الطريقة بافتراض موثوقية متساوية، ولا يتطلب أي تمييز بين المتغيرات التفسيرية والمتغيرات المستجيبة، لذا يمكن إعادة ترتيب المعادلة الناتجة كأي معادلة رياضية. وهو أبسط نموذج لخطأ القياس على الإطلاق. لا يتطلب سوى حساب التغايرات، وبالتالي يمكن تقديره باستخدام وظائف جداول البيانات الأساسية. بفرض وجود مصفوفة التغاير M ومعكوسها M⁻¹ ، يكون الانحدار كما يلي:م11-1x1+م22-1x2+...=ثابت.{\displaystyle M_{11}^{-1}x_{1}+M_{22}^{-1}x_{2}+...={\text{constant}}.}[ 17 ]
  • يمكن بناء مُقدِّر طريقة العزوم [ 18 ] استنادًا إلى شروط العزوم E[ z t ·( y t − α − β'x t )] = 0، حيث يُعرَّف متجه الأدوات z t ذو الأبعاد ( 5k + 3) على النحو التالي:
    zت=(1 zت1′ zت2′ zت3′ zت4′ zت5′ zت6′ zت7′)′،أينzت1=xت∘xتzت2=xتyتzت3=yت2zت4=xت∘xت∘xت-3(هـ⁡[xتxت′]∘أناك)xتzت5=xت∘xتyت-2(هـ⁡[yتxت′]∘أناك)xت-yت(هـ⁡[xتxت′]∘أناك)أناكzت6=xتyت2-هـ⁡[yت2]xت-2yتهـ⁡[xتyت]zت7=yت3-3yتهـ⁡[yت2]{\displaystyle {\begin{aligned}&z_{t}=\left(1\ z_{t1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\ z_{t5}'\ z_{t6}'\ z_{t7}'\right)',\quad {\text{where}}\\&z_{t1}=x_{t}\circ x_{t}\\&z_{t2}=x_{t}y_{t}\\&z_{t3}=y_{t}^{2}\\&z_{t4}=x_{t}\circ x_{t}\circ x_{t}-3{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}\\&z_{t5}=x_{t}\circ x_{t}y_{t}-2{\big (}\operatorname {E} [y_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}-y_{t}{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}\iota _{k}\\&z_{t6}=x_{t}y_{t}^{2}-\operatorname {E} [y_{t}^{2}]x_{t}-2y_{t}\operatorname {E} [x_{t}y_{t}]\\&z_{t7}=y_{t}^{3}-3y_{t}\operatorname {E} [y_{t}^{2}]\end{aligned}}}

    أين∘{\displaystyle \circ }يشير إلى حاصل ضرب هادامارد للمصفوفات، وقد تم إزالة المتوسطات من المتغيرات x t و y t مبدئيًا. يقترح مؤلفو الطريقة استخدام مقدر المتغيرات الآلية المعدل لفولر. [ 19 ]

    يمكن توسيع هذه الطريقة لاستخدام العزوم الأعلى من الرتبة الثالثة، إذا لزم الأمر، ولاستيعاب المتغيرات المقاسة بدون خطأ. [ 20 ]
  • يتطلب أسلوب المتغيرات الآلية إيجاد متغيرات بيانات إضافية z<sub> t </sub> تعمل كأدوات للمتغيرات المستقلة x<sub> t</sub> المقاسة بشكل خاطئ . تُعد هذه الطريقة الأبسط من حيث التطبيق، إلا أن عيبها يكمن في أنها تتطلب جمع بيانات إضافية، وهو ما قد يكون مكلفًا أو حتى مستحيلاً. عند إيجاد الأدوات، يأخذ المُقدِّر الشكل القياسي.
    β^=(X′Z(Z′Z)-1Z′X)-1X′Z(Z′Z)-1Z′y.{\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X{\big )}^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y.}

النماذج غير الخطية

يأخذ نموذج خطأ القياس غير الخطي العام الشكل التالي

{yت=ز(xت*)+εت،xت=xت*+ηت.{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=g(x_{t}^{*})+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}}

هنا، يمكن أن تكون الدالة g إما بارامترية أو غير بارامترية. عندما تكون الدالة g بارامترية، فسيتم كتابتها على النحو التالي: g ( x *, β ).

بالنسبة للمتغير الانحداري العام ذي القيم المتجهة x*، فإن شروط قابلية تحديد النموذج غير معروفة. ومع ذلك، في حالة x* القياسي ، يكون النموذج محددًا ما لم تكن الدالة g من الشكل "اللوغاريتمي الأسي" [ 21 ].

ز(x*)=أ+بln⁡(هـجx*+د){\displaystyle g(x^{*})=a+b\ln {\big (}e^{cx^{*}}+d{\big )}}

والمتغير الكامن x* له كثافة

وx*(x)={أهـ-بهـجx+جدx(هـجx+هـ)-F،لو د>0أهـ-بx2+جxلو د=0{\displaystyle f_{x^{*}}(x)={\begin{cases}Ae^{-Be^{Cx}+CDx}(e^{Cx}+E)^{-F},&{\text{if}}\ d>0\\Ae^{-Bx^{2}+Cx}&{\text{if}}\ d=0\end{cases}}}

حيث قد تعتمد الثوابت A و B و C و D و E و F على a و b و c و d .

على الرغم من هذه النتيجة المتفائلة، لا توجد حتى الآن طرق لتقدير نماذج الأخطاء غير الخطية في المتغيرات دون أي معلومات خارجية. ومع ذلك، توجد عدة تقنيات تستخدم بعض البيانات الإضافية: إما المتغيرات الآلية، أو الملاحظات المتكررة.

أساليب المتغيرات الآلية

  • تتطلب طريقة نيوي للعزوم المحاكاة [ 22 ] للنماذج البارامترية وجود مجموعة إضافية من متغيرات التنبؤ المرصودة z t ، بحيث يمكن التعبير عن المتغير المستقل الحقيقي على النحو التالي:
    xت*=π0′zت+σ0ζت،{\displaystyle x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},}

    حيث π₀ و σ₀ مصفوفتان ثابتتان (غير معروفتين)، و ζₜ ⊥ zₜ . يمكن تقدير المعامل π₀ باستخدام انحدار المربعات الصغرى القياسي لـ x على z . توزيع ζₜ غير معروف؛ ومع ذلك ، يمكننا نمذجته على أنه ينتمي إلى عائلة بارامترية مرنة - متسلسلة إيدجوورث .

    وζ(v;γ)=ϕ(v)∑ج=1جγجvج{\displaystyle f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j}}

    حيث ϕ هو التوزيع الطبيعي القياسي .

    يمكن حساب اللحظات المحاكاة باستخدام خوارزمية أخذ العينات المهمة : أولاً، نقوم بتوليد عدة متغيرات عشوائية { v ts ~ ϕ , s = 1,…, S , t = 1,…, T } من التوزيع الطبيعي القياسي، ثم نحسب اللحظات عند المشاهدة رقم t كما يلي:

    مت(θ)=أ(zت)1S∑s=1Sح(xت،yت،zت،vتs;θ)∑ج=1جγجvتsج،{\displaystyle m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},}

    حيث θ = ( β , σ , γ )، و A هي مجرد دالة ما للمتغيرات الآلية z ، و H هو متجه ثنائي المكونات من العزوم

    ح1(xت،yت،zت،vتs;θ)=yت-ز(π^′zت+σvتs،β)،ح2(xت،yت،zت،vتs;θ)=zتyت-(π^′zت+σvتs)ز(π^′zت+σvتs،β){\displaystyle {\begin{aligned}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{aligned}}}
    باستخدام دوال العزم m t ، يمكن تطبيق تقنية GMM القياسية لتقدير المعلمة المجهولة θ .

الملاحظات المتكررة

في هذا النهج، تتوفر ملاحظتان متكررتان (أو ربما أكثر) للمتغير المستقل x* . تحتوي كلتا الملاحظتين على أخطاء قياس خاصة بهما؛ ومع ذلك، يُشترط أن تكون هذه الأخطاء مستقلة.

{x1ت=xت*+η1ت،x2ت=xت*+η2ت،{\displaystyle {\begin{cases}x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}}

حيث x* ⊥ η₁ ⊥ η₂ . لا يشترط أن تكون المتغيرات η₁ و η₂ متطابقة التوزيع (مع أن تطابقهما قد يُحسّن كفاءة المُقدِّر قليلاً). باستخدام هاتين الملاحظتين فقط ، يُمكن تقدير دالة كثافة x* بشكلٍ متسق باستخدام تقنية فك الالتفاف لكوتلارسكي . [ 23 ]

  • طريقة لي للكثافة الشرطية للنماذج البارامترية. [ 24 ] يمكن كتابة معادلة الانحدار بدلالة المتغيرات القابلة للملاحظة كما يلي:
    هـ⁡[yت|xت]=∫ز(xت*،β)وx*|x(xت*|xت)دxت*،{\displaystyle \operatorname {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x}(x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},}

    حيث يمكن حساب التكامل إذا عرفنا دالة الكثافة الشرطية ƒ x*|x . إذا أمكن معرفة هذه الدالة أو تقديرها، فإن المسألة تتحول إلى انحدار غير خطي قياسي، والذي يمكن تقديره، على سبيل المثال، باستخدام طريقة المربعات الصغرى غير الخطية (NLLS) . بافتراض، للتبسيط، أن η 1 و η 2 موزعتان توزيعًا متطابقًا، يمكن حساب هذه الكثافة الشرطية على النحو التالي:

    و^x*|x(x*|x)=و^x*(x*)و^x(x)∏ج=1كو^ηج(xج-xج*)،{\displaystyle {\hat {f}}_{x^{*}|x}(x^{*}|x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}(x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j}}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},}

    حيث يرمز x j، مع بعض التجاوز في الترميز، إلى المكون j من المتجه. يمكن تقدير جميع الكثافات في هذه الصيغة باستخدام معكوس الدوال المميزة التجريبية . على وجه الخصوص،

    φ^ηج(v)=φ^xج(v،0)φ^xج*(v)،أين φ^xج(v1،v2)=1تي∑ت=1تيهـأناv1x1تج+أناv2x2تج،φ^xج*(v)=خبرة⁡∫0v∂φ^xج(0،v2)/∂v1φ^xج(0،v2)دv2،φ^x(u)=12تي∑ت=1تي(هـأناu′x1ت+هـأناu′x2ت)،φ^x*(u)=φ^x(u)∏ج=1كφ^ηج(uج).{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{where }}{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj}+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{\frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }}_{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{aligned}}}

    لعكس هذه الدالة المميزة، يجب تطبيق تحويل فورييه العكسي، مع استخدام معامل ضبط C لضمان الاستقرار العددي. على سبيل المثال:

    و^x(x)=1(2π)ك∫-جج⋯∫-ججهـ-أناu′xφ^x(u)دu.{\displaystyle {\hat {f}}_{x}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k}}}\int _{-C}^{C}\cdots \int _{-C}^{C}e^{-iu'x}{\hat {\varphi }}_{x}(u)du.}
  • مقدِّر شيناخ لنموذج خطي ذي معلمات وغير خطي ذي متغيرات. [ 25 ] هذا نموذج من الشكل التالي:
    {yت=∑ج=1كβجزج(xت*)+∑ج=1ℓβك+جwجت+εت،x1ت=xت*+η1ت،x2ت=xت*+η2ت،{\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}}

    حيث يمثل w t المتغيرات المقاسة بدون أخطاء. المتغير المستقل x* هنا هو متغير عددي (يمكن تعميم الطريقة على حالة المتجه x* أيضًا). لولا أخطاء القياس، لكان هذا نموذجًا خطيًا قياسيًا مع المُقدِّر

    β^=(هـ^[ξتξت′])-1هـ^[ξتyت]،{\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],}

    أين

    ξت′=(ز1(xت*)،⋯،زك(xت*)،w1،ت،⋯،wل،ت).{\displaystyle \xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t},\cdots ,w_{l,t}).}

    اتضح أن جميع القيم المتوقعة في هذه الصيغة قابلة للتقدير باستخدام نفس حيلة فك الالتفاف. على وجه الخصوص، بالنسبة لمتغير قابل للملاحظة عام w t (والذي يمكن أن يكون 1، أو w 1 t ، ...، أو w ℓ  t ، أو y t ) ودالة h (والتي يمكن أن تمثل أي g j أو g i g j )، لدينا

    هـ⁡[wتح(xت*)]=12π∫-∞∞φح(-u)ψw(u)دu،{\displaystyle \operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,}

    حيث φ h هو تحويل فورييه لـ h ( x* )، ولكن باستخدام نفس الاصطلاح المستخدم للدوال المميزة ،

    φح(u)=∫هـأناuxح(x)دx{\displaystyle \varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx}،

    و

    ψw(u)=هـ⁡[wتهـأناux*]=هـ⁡[wتهـأناux1ت]هـ⁡[هـأناux1ت]خبرة⁡∫0uأناهـ⁡[x2تهـأناvx1ت]هـ⁡[هـأناvx1ت]دv{\displaystyle \psi _{w}(u)=\operatorname {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatorname {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatorname {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv}
    المُقدِّر الناتجβ^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {\beta }}}متسق وطبيعي تقاربياً.
  • مقدِّر شيناخ لنموذج غير معلمي. [ 26 ] يأخذ مقدِّر ناداريا-واتسون القياسي لنموذج غير معلمي الشكل التالي
    ز^(x)=هـ^[yتكح(xت*-x)]هـ^[كح(xت*-x)]،{\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},}
    لاختيار مناسب للنواة K وعرض النطاق h . يمكن تقدير كلا التوقعين هنا باستخدام نفس الأسلوب المستخدم في الطريقة السابقة.

مراجع

  1. ↑ غريليشز، زفي؛ رينغستاد، فيدار (1970). "تحيز أخطاء المتغيرات في السياقات غير الخطية". إيكونومتريكا . 38 (2): 368-370 . doi : 10.2307/1913020 . JSTOR 1913020 . 
  2. ↑ تشيشر، أندرو (1991). "تأثير خطأ القياس" . بيومتريكا . 78 (3): 451-462 . doi : 10.1093/biomet/78.3.451 . JSTOR 2337015 . 
  3. ↑ كارول، ريموند جيه؛ روبرت، ديفيد؛ ستيفانسكي، ليونارد أ؛ كراينسيانو، سيبريان (2006). خطأ القياس في النماذج غير الخطية: منظور حديث ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. رقم ISBN  978-1-58488-633-4.
  4. ↑ غرين، ويليام هـ. (2003). التحليل الاقتصادي القياسي ( الطبعة الخامسة). نيوجيرسي: برنتيس هول. الفصل 5.6.1. ISBN  978-0-13-066189-0.
  5. ↑ وانسبيك، ت.؛ ماير، إ. (2000). "خطأ القياس والمتغيرات الكامنة" . في بالتاجي، ب.هـ. (محرر). دليل الاقتصاد القياسي النظري . بلاكويل. ص 162-179 . doi : 10.1111/b.9781405106764.2003.00013.x . ISBN  9781405106764.
  6. ↑ هاوسمان، جيري أ. (2001). "المتغيرات المقاسة بشكل خاطئ في التحليل الاقتصادي القياسي: مشاكل من اليمين ومشاكل من اليسار" . مجلة وجهات النظر الاقتصادية . 15 (4): 57-67 [ص 58]. doi : 10.1257/jep.15.4.57 . JSTOR 2696516 . 
  7. ↑ فولر، واين أ. (1987). نماذج خطأ القياس . جون وايلي وأولاده. ص 2. ISBN  978-0-471-86187-4.
  8. ↑ هاياشي، فوميو (2000). الاقتصاد القياسي . مطبعة جامعة برينستون. ص 7-8 . ISBN  978-1400823833.
  9. ↑ كول، هيرا؛ سونغ، ويشينغ (2008). "التحقق من نموذج الانحدار مع أخطاء قياس بيركسون". مجلة التخطيط والاستدلال الإحصائي . 138 (6): 1615-1628 . doi : 10.1016/j.jspi.2007.05.048 .
  10. ↑ توفاليس، سي. (2023). ملاءمة معادلة للبيانات بشكل غير متحيز. الرياضيات، 11(18)، 3957. https://ssrn.com/abstract=4556739 https://doi.org/10.3390/math11183957
  11. ↑ رايرسول، أولاف (1950). "إمكانية تحديد العلاقة الخطية بين المتغيرات المعرضة للخطأ". Econometrica . 18 (4): 375–389 [ص 383]. doi : 10.2307/1907835 . JSTOR 1907835 . وقد توصل جيري، آر سي (1942)، إلى نتيجة أكثر تقييداً نوعاً ما في وقت سابق. "العلاقات الجوهرية بين المتغيرات العشوائية". وقائع الأكاديمية الملكية الأيرلندية . 47 : 63-76 . JSTOR 20488436 . لقد أظهر أنه في ظل الافتراض الإضافي بأن ( ε, η ) طبيعيان بشكل مشترك، فإن النموذج لا يتم تحديده إذا وفقط إذا كانت x* s طبيعية.
  12. ↑ فولر، واين أ. (1987). "متغير تفسيري واحد" . نماذج خطأ القياس . جون وايلي وأولاده. ص 1-99 . ISBN  978-0-471-86187-4.
  13. 1 2 شو، شاو جي (2014-10-02). "خاصية من خصائص الانحدار الهندسي المتوسط" . الإحصائي الأمريكي . 68 (4): 277-281 . doi : 10.1080/00031305.2014.962763 . ISSN 0003-1305 . 
  14. ↑ توفاليس، كريس (2002). "ملاءمة النموذج لمتغيرات متعددة عن طريق تقليل الانحراف الهندسي المتوسط". في: فان هوفيل، سابين ؛ ليمرلينغ، ب. (محرران). المربعات الصغرى الكلية ونمذجة الأخطاء في المتغيرات: التحليل والخوارزميات والتطبيقات . دوردريخت: كلوير للنشر الأكاديمي. doi : 10.1007/978-94-017-3552-0 . ISBN 978-1402004766. SSRN 1077322 . 
  15. ↑ بال، مانورنجان (1980). "مُقدِّرات العزوم المتسقة لمعاملات الانحدار في وجود أخطاء في المتغيرات". مجلة الاقتصاد القياسي . 14 (3): 349-364 (ص 360-361). doi : 10.1016/0304-4076(80)90032-9 .
  16. ↑ بن موشيه، دان (2020). "تحديد الانحدارات الخطية مع وجود أخطاء في جميع المتغيرات". النظرية الاقتصادية القياسية . 37 (4): 1-31 . arXiv : 1404.1473 . doi : 10.1017/S0266466620000250 . S2CID 225653359 . 
  17. ↑ توفاليس، كريس (18 سبتمبر 2023). "ملاءمة معادلة للبيانات بشكل غير متحيز" . الرياضيات . 11 (18): 3957. arXiv : 2409.02573 . doi : 10.3390/math11183957 . SSRN 4556739 . 
  18. ↑ داغينايس، مارسيل ج.؛ داغينايس، دينيس ل. (1997). "مُقدِّرات العزوم العليا لنماذج الانحدار الخطي مع وجود أخطاء في المتغيرات". مجلة الاقتصاد القياسي . 76 ( 1-2 ): 193-221 . CiteSeerX 10.1.1.669.8286 . doi : 10.1016/0304-4076(95)01789-5 . في الورقة السابقة، تناول بال (1980) حالة أبسط عندما تكون جميع المكونات في المتجه ( ε ، η ) مستقلة وموزعة بشكل متناظر.
  19. ↑ فولر، واين أ. (1987). نماذج خطأ القياس . جون وايلي وأولاده. ص 184. ISBN  978-0-471-86187-4.
  20. ↑ إريكسون، تيموثي؛ وايتد، توني م. (2002). "تقدير نموذج أخطاء المتغيرات باستخدام العزوم العليا بطريقة العزوم المعممة على مرحلتين". النظرية الاقتصادية القياسية . 18 (3): 776-799 . doi : 10.1017/s0266466602183101 . JSTOR 3533649. S2CID 14729228 .  
  21. ↑ شيناخ، س .؛ هو، ي.؛ لوبيل، أ. (2007). "التحديد غير البارامتري لنموذج الأخطاء الكلاسيكية في المتغيرات بدون معلومات جانبية" . ورقة عمل .
  22. ↑ نيوي، ويتني ك. (2001). "تقدير العزوم المحاكاة المرنة لنموذج الأخطاء غير الخطية في المتغيرات". مراجعة الاقتصاد والإحصاء . 83 (4): 616-627 . doi : 10.1162/003465301753237704 . hdl : 1721.1/ 63613 . JSTOR 3211757. S2CID 57566922 .  
  23. ↑ لي، تونغ؛ فونغ، كوانغ (1998). "التقدير غير البارامتري لنموذج خطأ القياس باستخدام مؤشرات متعددة" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 65 (2): 139-165 . doi : 10.1006/jmva.1998.1741 .
  24. ↑ لي، تونغ (2002). "التقدير القوي والمتسق لنماذج الأخطاء غير الخطية في المتغيرات". مجلة الاقتصاد القياسي . 110 (1): 1-26 . doi : 10.1016/S0304-4076(02)00120-3 .
  25. ↑ شيناخ، سوزان م. (2004). "تقدير النماذج غير الخطية مع خطأ القياس". Econometrica . 72 (1): 33–75 . doi : 10.1111/j.1468-0262.2004.00477.x . JSTOR 3598849 . 
  26. ↑ شيناخ، سوزان م. (2004). "الانحدار غير البارامتري في وجود خطأ القياس". النظرية الاقتصادية القياسية . 20 (6): 1046-1093 . doi : 10.1017/S0266466604206028 . S2CID 123036368 . 

للمزيد من القراءة