دالة ذاتية الشكل

في الرياضيات، الدالة الذاتية الشكل هي دالة على فضاء ما، ثابتة تحت تأثير زمرة معينة ، أي دالة على فضاء القسمة . غالبًا ما يكون الفضاء متعدد الشعب المركب، وتكون الزمرة زمرة منفصلة .

في الرياضيات ، يظهر مفهوم عامل التماثل الذاتي لمجموعة تؤثر على مشعب تحليلي معقد . لنفترض مجموعة${\displaystyle G}$يؤثر على متعدد الشعب التحليلي المعقد${\displaystyle X}$. ثم،${\displaystyle G}$كما يؤثر على فضاء الدوال التحليلية من${\displaystyle X}$إلى الأعداد المركبة. دالة${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم الشكل التلقائي إذا تحققت الشروط التالية:

${\displaystyle f(gx)=j_{g}(x)f(x)}$

أين${\displaystyle j_{g}(x)}$هي دالة تحليلية غير صفرية في كل مكان. وبصورة مكافئة، فإن الشكل التلقائي هو دالة يكون قاسمها ثابتًا تحت تأثير${\displaystyle G}$.

عامل التماثل الذاتي للشكل المتماثل الذاتي${\displaystyle f}$هي الوظيفة${\displaystyle j}$الدالة الذاتية الشكل هي شكل ذاتي الشكل يكون فيه${\displaystyle j}$هي الهوية.

بعض الحقائق حول عوامل التماثل الذاتي:

• كل عامل من عوامل التماثل الذاتي هو دورة مشتركة لفعل${\displaystyle G}$على المجموعة الضربية للدوال الهولومورفية غير الصفرية في كل مكان.
• يكون عامل التماثل الذاتي حدًا مشتركًا إذا وفقط إذا نشأ من شكل تماثلي ذاتي غير صفري في كل مكان.
• بالنسبة لعامل معين من عوامل التماثل الذاتي، فإن فضاء الأشكال المتماثلة ذاتيًا هو فضاء متجهي.
• إن حاصل الضرب النقطي لشكلين ذاتيين هو شكل ذاتي يتوافق مع حاصل ضرب العوامل المتناظرة للتماثل الذاتي.

العلاقة بين عوامل التماثل الذاتي والمفاهيم الأخرى:

• يترك${\displaystyle \Gamma }$كن شبكة في زمرة لي${\displaystyle G}$ثم، عامل التماثل الذاتي لـ${\displaystyle \Gamma }$يتوافق مع حزمة خطية على مجموعة القسمة${\displaystyle G/\Gamma }$علاوة على ذلك، فإن الأشكال التلقائية لعامل معين من التماثل الذاتي تتوافق مع مقاطع حزمة الخط المقابلة.

قضية${\displaystyle G}$مجموعة فرعية من${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$تتناول المقالة المتعلقة بالعوامل الذاتية الشكلية تأثيرها على النصف العلوي من المستوى . وعلى وجه الخصوص، تتناول المقالة الدوال الذاتية الشكلية للمجموعة النمطية .${\displaystyle G=SL_{2}(\mathbb {Z} )}$تُسمى هذه الدوال بالدوال النمطية .

• أ. ن. بارشين (2001) [1994]، "الشكل التلقائي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• أندريانوف، أ.ن.؛ بارشين، أ.ن. (2001) [1994]، "الدالة التلقائية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• فورد، ليستر ر. (1929)، الدوال الذاتية الشكل ، نيويورك: ماكجرو هيل، JFM 55.0810.04 
• فريك, روبرت ; كلاين ، فيليكس (1897)، Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen (بالألمانية)، المجلد.  I. Die gruppentheoretischen Grundlagen.، لايبزيغ: BG Teubner، JFM 28.0334.01 
• فريك، روبرت. كلاين، فيليكس (1912)، Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. فرقة زويتر: وظيفة النفخ والسماعات النظرية. 1. التشغيل: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (بالألمانية)، لايبزيغ: بي جي تيوبنر، JFM 32.0430.01