فيليكس كلاين

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة
فيليكس كلاين
وُلِدّ( 1849-04-25 )25 أبريل 1849
دوسلدورف ( مقاطعة الراين )، بروسيا
مات22 يونيو 1925 (1925-06-22)(76 سنة)
جوتنجن ( مقاطعة هانوفر )، بروسيا ، ألمانيا
المدرسة الأمجامعة بون
معروف بـبرنامج إرلانجن
زجاجة كلاين
نموذج بلترامي-
كلاين موسوعة كلاين للعلوم الرياضية
مجموعة كلاين
مجموعة كلاين الرباعية
الجوائزميدالية دي مورجان (1893)
وميدالية كوبلي (1912)
وجائزة أكيرمان-تيوبنر التذكارية (1914)
المسيرة العلمية
الحقولالرياضيات
المؤسساتجامعة إيرلانغن
التقنية العليا جامعة ميونيخ
جامعة لايبزيغ
جامعة جورج أغسطس غوتنغن
مستشارو الدكتوراهيوليوس بلوكر ورودولف ليبشيتز
طلاب الدكتوراه
قائمة
لودفيغ بيبرباخ
ماكسيم بوشر
أوسكار بولزا
ماكس بروكنر
فرانك نيلسون كول
فريدريش دينجيلدي
هنري بي. فاين
إروين فروندليتش
روبرت فريك
فيليب فورتوانجلر
أكسل هارناك ميلين أدولف
هورويتز
إدوارد كاسنر
فرديناند
فون ليندمان ألكسندر أوستروفسكي
جوليو
ري باستور هيرمان
روث فريدريش
شيلينغ
فيرجيل سنايدر
إدوارد فان فليك
فالتر فون دايك
أدولف وايلر
هنري سيلي وايت
ألكسندر ويتنغ
غريس تشيشولم يونغ
طلاب بارزون آخرونإدوارد كاسنر

فيليكس كريستيان كلاين ( بالألمانية: Felix Christian Klein ) (25 أبريل 1849 - 22 يونيو 1925) كان عالم رياضيات ومعلم رياضيات ألماني ، اشتهر بعمله في نظرية المجموعات ، والتحليل المركب ، والهندسة غير الإقليدية ، والارتباطات بين الهندسة ونظرية المجموعات . صنف برنامجه في إرلانجن عام 1872 الأشكال الهندسية حسب مجموعات تماثلها الأساسية وكان توليفة مؤثرة لكثير من الرياضيات في ذلك الوقت.

خلال فترة عمله في جامعة جوتنجن ، تمكن كلاين من تحويلها إلى مركز للأبحاث الرياضية والعلمية من خلال إنشاء محاضرات وأساتذة ومعاهد جديدة. غطت ندواته معظم مجالات الرياضيات المعروفة آنذاك بالإضافة إلى تطبيقاتها. كما كرس كلاين وقتًا كبيرًا للتدريس الرياضي، وروج لإصلاح تعليم الرياضيات في جميع المستويات الدراسية في ألمانيا والخارج. أصبح أول رئيس للجنة الدولية للتعليم الرياضي في عام 1908 في المؤتمر الدولي الرابع لعلماء الرياضيات في روما.

حياة

كلاين خلال فترة وجوده في لايبزيغ.

وُلِد فيليكس كلاين في 25 أبريل 1849 في دوسلدورف ، [1] لأبوين بروسيين . كان والده، كاسبر كلاين (1809-1889)، سكرتيرًا لمسؤول حكومي بروسي متمركزًا في مقاطعة الراين . كانت والدته صوفي إليز كلاين (1819-1890، ني كايزر). [2] التحق بالمدرسة الثانوية في دوسلدورف، ثم درس الرياضيات والفيزياء في جامعة بون ، [3] 1865-1866، وكان ينوي أن يصبح فيزيائيًا. في ذلك الوقت، كان يوليوس بلوكر أستاذًا في الرياضيات والفيزياء التجريبية في بون، ولكن بحلول الوقت الذي أصبح فيه كلاين مساعدًا له، في عام 1866، كان اهتمام بلوكر هو الهندسة بشكل أساسي. حصل كلاين على الدكتوراه، بإشراف بلوكر، من جامعة بون عام 1868.

توفي بلكر في عام 1868، تاركًا كتابه المتعلق بأساس هندسة الخطوط غير مكتمل. كان كلاين هو الشخص الواضح لإكمال الجزء الثاني من كتاب بلكر Neue Geometrie des Raumes ، وبالتالي أصبح على دراية بألفريد كليبش ، الذي انتقل إلى جوتنجن في عام 1868. زار كلاين كليبش في العام التالي، إلى جانب زيارات إلى برلين وباريس. في يوليو 1870، في بداية الحرب الفرنسية البروسية ، كان في باريس واضطر إلى مغادرة البلاد. لفترة وجيزة خدم كمنظم طبي في الجيش البروسي قبل تعيينه Privatdozent (محاضر) في جوتنجن في أوائل عام 1871.

عينت جامعة إرلانجن كلاين أستاذًا في عام 1872، عندما كان يبلغ من العمر 23 عامًا فقط. [4] ولهذا السبب، أيده كليبسش، الذي اعتبره من المرجح أن يصبح أفضل عالم رياضيات في عصره. لم يرغب كلاين في البقاء في إرلانجن، حيث كان هناك عدد قليل جدًا من الطلاب، وكان سعيدًا بعرض أستاذيته في Technische Hochschule München في عام 1875. هناك قام هو وألكسندر فون بريل بتدريس دورات متقدمة للعديد من الطلاب الممتازين، بما في ذلك أدولف هورويتز ، وفالتر فون دايك ، وكارل رون ، وكارل رونجي ، وماكس بلانك ، ولويجي بيانكي ، وجريجوريو ريتشي كورباسترو .

في عام 1875، تزوج كلاين من آن هيجل، حفيدة الفيلسوف جورج فيلهلم فريدريش هيجل . [5]

بعد قضاء خمس سنوات في Technische Hochschule، تم تعيين كلاين في منصب رئيس قسم الهندسة في جامعة لايبزيغ . وشمل زملاؤه والتر فون دايك ورون وإدوارد ستادي وفريدريك إنجل . غيرت سنوات كلاين في لايبزيغ، من عام 1880 إلى عام 1886، حياته بشكل أساسي. في عام 1882، انهارت صحته وعانى من الاكتئاب لمدة العامين التاليين. [6] ومع ذلك، استمر بحثه؛ ويرجع تاريخ عمله الرائد في وظائف سيجما المفرطة القطع، والذي نُشر بين عامي 1886 و1888، إلى هذه الفترة تقريبًا.

كلاين (1912). لوحة ماكس ليبرمان .

قبل كلاين منصب الأستاذية في جامعة جوتنجن عام 1886. ومنذ ذلك الحين، وحتى تقاعده عام 1913، سعى إلى إعادة تأسيس جوتنجن كمركز عالمي رئيسي لأبحاث الرياضيات. ومع ذلك، لم ينجح قط في نقل دوره الرائد كمطور للهندسة من لايبزيج إلى جوتنجن . قام بتدريس مجموعة متنوعة من الدورات في جوتنجن، والتي تتعلق بشكل أساسي بالواجهة بين الرياضيات والفيزياء، وخاصة الميكانيكا ونظرية الإمكانات .

كان مرفق الأبحاث الذي أنشأه كلاين في جوتنجن بمثابة نموذج لأفضل المرافق المماثلة في جميع أنحاء العالم. وقد قدم اجتماعات مناقشة أسبوعية، وأنشأ غرفة قراءة ومكتبة رياضية. في عام 1895، وظف كلاين ديفيد هيلبرت من جامعة كونيجسبيرج . أثبت هذا التعيين أهميته الكبيرة؛ استمر هيلبرت في تعزيز تفوق جوتنجن في الرياضيات حتى تقاعده في عام 1932.

تحت قيادة كلاين، أصبحت مجلة Mathematische Annalen واحدة من أفضل المجلات الرياضية في العالم. أسسها كليبش، ونمت تحت إدارة كلاين، لمنافسة مجلة Crelle ، التي يقع مقرها في جامعة برلين ، وتجاوزتها في النهاية . أسس كلاين فريقًا صغيرًا من المحررين الذين كانوا يجتمعون بانتظام، ويتخذون القرارات بروح ديمقراطية. تخصصت المجلة في البداية في التحليل المركب ، والهندسة الجبرية ، ونظرية الثوابت . كما وفرت منفذًا مهمًا للتحليل الحقيقي ونظرية المجموعة الجديدة .

في عام 1893، كان كلاين متحدثًا رئيسيًا في المؤتمر الدولي للرياضيات الذي عقد في شيكاغو كجزء من المعرض الكولومبي العالمي . [7] وبفضل جهود كلاين جزئيًا، بدأت غوتنغن في قبول النساء في عام 1893. أشرف على أول أطروحة دكتوراه في الرياضيات كتبتها امرأة في غوتنغن، وهي جريس تشيشولم يونغ ، وهي طالبة إنجليزية لدى آرثر كايلي ، والتي أعجب بها كلاين. في عام 1897، أصبح كلاين عضوًا أجنبيًا في الأكاديمية الملكية الهولندية للفنون والعلوم . [8]

حوالي عام 1900، بدأ كلاين يهتم بتعليم الرياضيات في المدارس. في عام 1905، كان له دور فعال في صياغة خطة توصي بتدريس الهندسة التحليلية ، وأساسيات حساب التفاضل والتكامل ، ومفهوم الدالة في المدارس الثانوية. [9] [10] تم تنفيذ هذه التوصية تدريجيًا في العديد من البلدان حول العالم. في عام 1908، انتُخب كلاين رئيسًا للجنة الدولية للتعليم الرياضي في مؤتمر روما الدولي لعلماء الرياضيات . [11] وتحت إرشاده، نشر الجزء الألماني من اللجنة العديد من المجلدات حول تدريس الرياضيات على جميع المستويات في ألمانيا.

منحت جمعية لندن للرياضيات كلاين ميدالية دي مورجان في عام 1893. وانتخب عضوًا في الجمعية الملكية في عام 1885، وحصل على ميدالية كوبلي في عام 1912. تقاعد في العام التالي بسبب سوء حالته الصحية، لكنه استمر في تدريس الرياضيات في منزله لعدة سنوات أخرى.

كان كلاين واحدًا من الثلاثة والتسعين الموقعين على بيان الثلاثة والتسعين ، وهي وثيقة كتبت لدعم الغزو الألماني لبلجيكا في المراحل الأولى من الحرب العالمية الأولى .

توفي في جوتنجن عام 1925.

عمل

بناء زجاجة كلاين من شريطين موبيوس

أطروحة كلاين، حول الهندسة الخطية وتطبيقاتها في الميكانيكا ، تصنف المركبات الخطية من الدرجة الثانية باستخدام نظرية وييرشتراس في المقسومات الأولية.

تم إجراء أول اكتشافات رياضية مهمة لكلاين في عام 1870. بالتعاون مع سوفوس لي ، اكتشف الخصائص الأساسية للخطوط المقاربة على سطح كومر . قاموا لاحقًا بالتحقيق في منحنيات W ، وهي منحنيات ثابتة تحت مجموعة من التحويلات الإسقاطية . كان لي هو من قدم لكلاين مفهوم المجموعة، والذي كان له دور رئيسي في عمله اللاحق. تعلم كلاين أيضًا عن المجموعات من كاميل جوردان . [12]

ابتكر كلاين " زجاجة كلاين " التي سميت باسمه، وهي عبارة عن سطح مغلق من جانب واحد لا يمكن تضمينه في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد ، ولكن يمكن غمره على شكل أسطوانة ملتفة للخلف من خلال نفسها للانضمام إلى طرفها الآخر من "الداخل". يمكن تضمينها في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد 4 وما فوق. تم ابتكار مفهوم زجاجة كلاين على أنها شريط موبيوس ثلاثي الأبعاد ، مع وجود طريقة واحدة للبناء وهي ربط حواف شريطي موبيوس . [13]

خلال تسعينيات القرن التاسع عشر، بدأ كلاين دراسة الفيزياء الرياضية بشكل أكثر كثافة، فكتب عن الجيروسكوب مع أرنولد سومرفيلد . [14] خلال عام 1894، بدأ فكرة موسوعة الرياضيات بما في ذلك تطبيقاتها، والتي أصبحت موسوعة العلوم الرياضية . وقد وفر هذا المشروع، الذي استمر حتى عام 1935، مرجعًا قياسيًا مهمًا ذا قيمة دائمة. [15]

برنامج إرلانجن

نماذج الهندسة غير الإقليدية التي اقترحها كلاين (يسار) وبوانكاريه (يمين)

في عام 1871، أثناء وجوده في غوتنغن، حقق كلاين اكتشافات رئيسية في الهندسة. نشر ورقتين بحثيتين بعنوان "حول ما يسمى بالهندسة غير الإقليدية" أظهرا أن الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية يمكن اعتبارها فضاءات مترية تحددها مقياس كايلي-كلاين . كان لهذه الرؤية نتيجة تكميلية مفادها أن الهندسة غير الإقليدية كانت متسقة إذا وفقط إذا كانت الهندسة الإقليدية كذلك، مما أعطى نفس المكانة للهندسة الإقليدية وغير الإقليدية، وأنهى كل الجدل حول الهندسة غير الإقليدية. لم يقبل آرثر كايلي حجة كلاين أبدًا، معتقدًا أنها دائرية.

كان لتوليف كلاين للهندسة باعتبارها دراسة لخصائص الفضاء الثابت تحت مجموعة معينة من التحويلات ، والمعروف باسم برنامج إرلانجن (1872)، تأثيرًا عميقًا على تطور الرياضيات. بدأ هذا البرنامج بمحاضرة كلاين الافتتاحية كأستاذ في إرلانجن، على الرغم من أنها لم تكن الخطاب الفعلي الذي ألقاه في هذه المناسبة. اقترح البرنامج نظامًا موحدًا للهندسة أصبح الطريقة الحديثة المقبولة. أظهر كلاين كيف يمكن تمثيل الخصائص الأساسية لهندسة معينة من خلال مجموعة التحويلات التي تحافظ على تلك الخصائص. وبالتالي فإن تعريف البرنامج للهندسة يشمل كل من الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية.

في الوقت الحاضر، أصبحت أهمية مساهمات كلاين في الهندسة واضحة. فقد أصبحت جزءًا كبيرًا من التفكير الرياضي لدرجة أنه من الصعب تقدير حداثتها عند تقديمها لأول مرة، وفهم حقيقة أنها لم تحظ بقبول فوري من جانب كل معاصريه.

تحليل معقد

اعتبر كلاين عمله في التحليل المركب بمثابة مساهمته الرئيسية في الرياضيات، وتحديدًا عمله في:

أظهر كلاين أن المجموعة المعيارية تحرك المنطقة الأساسية للمستوى المركب بحيث تشكل فسيفساء للمستوى. في عام 1879، فحص عمل PSL(2,7) ، والذي يعتبر صورة للمجموعة المعيارية ، وحصل على تمثيل صريح لسطح ريمان الذي يُطلق عليه الآن رباعي كلاين . أظهر أنه منحنى مركب في الفضاء الإسقاطي ، وأن معادلته كانت x 3 y  +  y 3 z  +  z 3 x  = 0، وأن مجموعة تماثلاته كانت PSL (2,7) من الدرجة 168. يعالج كتابه نظرية أوبر ريمان للوظائف الجبرية وتكاملاته (1882) التحليل المركب بطريقة هندسية، ويربط بين نظرية الإمكانات والتعيينات المطابقة . استقى هذا العمل من مفاهيم من ديناميكا الموائع .

درس كلاين معادلات الدرجة > 4، وكان مهتمًا بشكل خاص باستخدام الأساليب المتسامية لحل المعادلة العامة للدرجة الخامسة. بناءً على أساليب تشارلز هيرميت وليوبولد كرونيكر ، أنتج نتائج مماثلة لتلك التي توصل إليها بريوشي وحل المشكلة لاحقًا تمامًا عن طريق المجموعة العشرينية الوجوه . مكنه هذا العمل من كتابة سلسلة من الأوراق البحثية حول الدوال المعيارية الإهليلجية .

في كتابه الصادر عام 1884 عن العشريني الوجوه ، أسس كلاين نظرية الدوال الشكلية ، التي تربط بين الجبر والهندسة. وكان بوانكاريه قد نشر مخططًا لنظريته عن الدوال الشكلية في عام 1881، مما أدى إلى تنافس ودي بين الرجلين. سعى كلاهما إلى صياغة وإثبات نظرية توحيدية كبرى من شأنها أن تؤسس النظرية الجديدة بشكل أكثر اكتمالاً. نجح كلاين في صياغة مثل هذه النظرية ووصف استراتيجية لإثباتها. توصل إلى إثباته أثناء نوبة ربو في الساعة 2:30 صباحًا في 23 مارس 1882. [16]

قام كلاين بتلخيص عمله في الدوال النمطية الشكلية والإهليلجية في أطروحة مكونة من أربعة مجلدات، كتبها مع روبرت فريك على مدى فترة امتدت حوالي عشرين عامًا.

أعمال مختارة

  • 1882: نظرية أوبر ريمان حول الجبر الوظيفي والتكامل JFM  14.0358.01
  • النص الإلكتروني في مشروع جوتنبرج ، متاح أيضًا من جامعة كورنيل
  • 1884: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade
    • الترجمة الإنجليزية بواسطة GG Morrice (1888) محاضرات حول الإيكوساهيدرون؛ وحل معادلات الدرجة الخامسة عبر أرشيف الإنترنت
  • 1886: Über Hyperelliptische Sigmafunktionen . إرستر أوفساتز، ص 323-356، Mathematische Annalen Bd. 27,
  • 1888: Über Hyperelliptische Sigmafunktionen . زويتر أوفساتز، ص 357-387، الرياضيات. أنالين، ب. 32,
  • 1890: (مع روبرت فريك ) Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (مجلدان) [17] و1892)
  • 1894: وظيفة فائقة الهندسة
  • 1894: Über الخطي التفاضلي gleichungen der 2.Ordnung
  • 1894: ندوة إيفانستون (1893) التي أعدها ونشرها زيويت (نيويورك، 1894) [18]
  • كلاين، فيليكس (1894)، محاضرات في الرياضيات، نيويورك، لندن: ماكميلان وشركاه.
  • 1895: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie [19]
    • 1897: ترجمة إنجليزية بواسطة WW Beman و DE Smith للمسائل الشهيرة في الهندسة الأولية عبر أرشيف الإنترنت
  • 1897: (مع أرنولد سومرفيلد ) نظرية كريسلز (مجلدات لاحقة: 1898، 1903، 1910)
  • فريك، روبرت. كلاين، فيليكس (1897)، Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. فرقة إرستر؛ Die gruppentheoretischen Grundlagen (في المانيا)، لايبزيغ: BG Teubner، ISBN 978-1-4297-0551-6، جيه إف إم  28.0334.01[20] فرقة زويتر. 1901. [20]
  • 1897: النظرية الرياضية للقمة (عنوان برينستون، نيويورك) [21]
  • 1901: غاوس wissenschaftliches Tagebuch، 1796-1814. مع Anmerkungen von Felix Klein[22]
  • فريك، روبرت. كلاين، فيليكس (1912)، Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. فرقة زويتر: وظيفة النفخ والسماعات النظرية. 1. الحياة: Engere Theorie der automorphen Funktionen (باللغة الألمانية)، لايبزيغ: BG Teubner.، ISBN 978-1-4297-0552-3، جيه إف إم  32.0430.01
  • 1908: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (لايبزيغ)
  • 1926: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 Bände)، Julius Springer Verlag، Berlin [23] & 1927. S. Felix Klein Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert
  • 1928: Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag [24]
  • 1933: Vorlesungen über die Hypergeometrische Funktion , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag

فهرس

  • 1887. "الحساب في الرياضيات" في إيفالد، ويليام ب.، محرر، 1996. من كانط إلى هيلبرت: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات ، مجلدان. ​​مطبعة جامعة أكسفورد: 965-971.
  • 1921. "فيليكس كلاين gesammelte mathematische Abhandlungen" R. Fricke و A. Ostrowski (eds.) برلين، سبرينغر. 3 مجلدات. (نسخة على الإنترنت في GDZ)
  • 1890. "هندسة Nicht-Euklidische"

انظر أيضا

مراجع

  1. ^ سنيدر، فيرجيل (1922). "مجموعة أعمال كلاين". مجلة الرياضيات الأمريكية 28 (3): 125-129. doi : 10.1090/S0002-9904-1922-03510-0 .
  2. ^ روديجر ثيل (2011). فيليكس كلاين في لايبزيغ: mit F. Kleins Antrittsrede، Leipzig 1880 (في المانيا). إد. أنا جوتنبرجبلاتز. ص. 195. ردمك 978-3-937219-47-9.
  3. ^ هالستيد، جورج بروس (1894). "السيرة الذاتية: فيليكس كلاين". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 1 (12): 416-420. doi :10.2307/2969034. JSTOR  2969034.
  4. ^ إيفور جراتان-جينيس ، محرر (2005). كتابات بارزة في الرياضيات الغربية 1640-1940. إلسفير. ص 546. رقم ISBN 978-0-08-045744-4.
  5. ^ تشيسلينكو، يوجين؛ تشينكل، يوري. "بروتوكولات فيليكس كلاين"، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، أغسطس 2007، المجلد 54، العدد 8، ص 960-970.
  6. ^ ريد، كونستانس (1996). هيلبرت. نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ص 19. ISBN 9781461207399.
  7. ^ Case, Bettye Anne , ed. (1996). "Come to the Fair: The Chicago Mathematical Congress of 1893 by David E. Rowe and Karen Hunger Parshall". A Century of Mathematical Meetings . American Mathematical Society. p. 64. ISBN 9780821804650.
  8. ^ "فيليكس سي كلاين (1849–1925)". الأكاديمية الملكية الهولندية للفنون والعلوم . تم الاسترجاع في 22 يوليو 2015 .
  9. ^ غاري ماكولوتش؛ ديفيد كروك، محرران (2013). موسوعة روتليدج الدولية للتعليم. روتليدج. ص 373. رقم ISBN 978-1-317-85358-9.
  10. ^ ألكسندر كارب؛ جيرت شوبرينغ، محرران (2014). دليل تاريخ تعليم الرياضيات. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 499-500. رقم ISBN 978-1-4614-9155-2.
  11. ^ ألكسندر كارب؛ جيرت شوبرينغ، محرران (2014). دليل تاريخ تعليم الرياضيات. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 503. رقم ISBN 978-1-4614-9155-2.
  12. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Felix Klein", MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
  13. ^ Numberphile (22 يونيو 2015)، Klein Bottles – Numberphile، تم أرشفة النسخة الأصلية في 11 ديسمبر 2021 ، تم استرجاعها في 26 أبريل 2017
  14. ^ من: فيرنر بوراو وبرونو شوينبيرج "كلاين، كريستيان فيليكس". القاموس الكامل للسيرة العلمية . 2008. تم الاسترجاع في 4 ديسمبر 2014 من Encyclopedia.com: http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902326.html
  15. ^ إيفور جراتان-جينيس (2009) طرق التعلم: الطرق السريعة والمسارات والطرق الفرعية في تاريخ الرياضيات ، ص 44، 45، 90، مطبعة جامعة جونز هوبكنز ، ISBN 0-8018-9248-1 
  16. ^ أبيكوف، ويليام (1981). "نظرية التوحيد". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 88 (8): 574-592. doi :10.2307/2320507. ISSN  0002-9890. JSTOR  2320507.
  17. ^ كول ، ف.ن. (1892). "Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen von Felix Klein، Erste Band" (PDF) . ثور. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب . 1 (5): 105-120. دوى : 10.1090/S0002-9904-1892-00049-3 . أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 9 أكتوبر 2022.
  18. ^ وايت، هنري س. (1894). "مراجعة: ندوة إيفانستون: محاضرات في الرياضيات بقلم فيليكس كلاين" (PDF) . مجلة الرياضيات الأمريكية . 3 (5): 119-122. doi : 10.1090/s0002-9904-1894-00190-6 . مؤرشف من الأصل (PDF) في 9 أكتوبر 2022.
  19. ^ سكوت ، شارلوت أنجاس (1896). "مراجعة: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie von Felix Klein" (PDF) . ثور. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب . 2 (6): 157-164. دوى : 10.1090/s0002-9904-1896-00328-1 . أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 9 أكتوبر 2022.
  20. ^ أب هاتشينسون، جي (1903). "مراجعة: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen von Robert Fricke & Felix Klein, Erste Band & Zweiter Band" (PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 9 (9): 470-492. دوى :10.1090/S0002-9904-1903-01020-9. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 9 أكتوبر 2022.
  21. ^ تومسون، هنري دالاس (1899). "مراجعة: النظرية الرياضية للقمة بقلم فيليكس كلاين" (PDF) . مجلة الجمعية الأمريكية للرياضيات . 5 (10): 486-487. doi : 10.1090/s0002-9904-1899-00643-8 . مؤرشف من الأصل (PDF) في 9 أكتوبر 2022.
  22. ^ بوشر ، ماكسيم (1902). "مراجعة: Gauss 'wissenschaftlichen Tagebuch، 1796–1814. Mit Anmerkungen von Felix Klein" (PDF) . ثور. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب . 9 (2): 125-126. دوى : 10.1090/s0002-9904-1902-00959-2 . أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 9 أكتوبر 2022.
  23. ^ سميث ، ديفيد يوجين (1928). "مراجعة: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert von Felix Klein. Erste Band" (PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 34 (4): 521-522. دوى :10.1090/S0002-9904-1928-04589-5. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 9 أكتوبر 2022.
  24. ^ ألين، إدوارد سويتزر (1929). "ثلاثة كتب عن الهندسة غير الإقليدية". مجلة الرياضيات الأمريكية . 35 : 271-276. doi : 10.1090/S0002-9904-1929-04726-8 .

قراءة إضافية

تحتوي ويكيميديا ​​كومنز على وسائط متعلقة بـفيليكس كلاين .
يحتوي موقع Wikiquote على اقتباسات متعلقة بـ Felix Klein .

تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=فيليكس_كلاين&oldid=1248994890"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate