شكل تلقائي

في التحليل التوافقي ونظرية الأعداد ، الشكل التلقائي هو دالة حسنة السلوك من مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$إلى الأعداد المركبة (أو فضاء المتجهات المركبة ) الذي يظل ثابتًا تحت تأثير مجموعة فرعية منفصلة${\displaystyle \Gamma <G}$من المجموعة الطوبولوجية. الأشكال التلقائية هي تعميم لفكرة الدوال الدورية في الفضاء الإقليدي إلى المجموعات الطوبولوجية العامة.

الأشكال النمطية هي أشكال تامة الشكلية ذاتية التشكل معرفة على الزمر SL(2, R ) أو PSL(2, R ) ، حيث تكون الزمرة الجزئية المنفصلة هي الزمرة النمطية أو إحدى زمر التطابق الجزئية الخاصة بها ؛ وبهذا المعنى، تُعد نظرية الأشكال ذاتية التشكل امتدادًا لنظرية الأشكال النمطية. وبشكل أعم، يمكن استخدام المنهج الأديلي كوسيلة للتعامل مع عائلة زمر التطابق الجزئية بأكملها دفعة واحدة. من هذا المنظور، فإن الشكل ذاتي التشكل على الزمرة${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$، بالنسبة لمجموعة جبرية${\displaystyle G}$وحقل عددي جبري${\displaystyle F}$، هي دالة ذات قيم مركبة على${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ذلك يبقى ثابتًا تحت${\displaystyle G(F)}$ويستوفي شروطًا معينة تتعلق بالنعومة والنمو.

اكتشف هنري بوانكاريه الأشكال التلقائية كتعميمات للدوال المثلثية والقطع الناقص . ومن خلال حدسيات لانجلاندز ، تلعب الأشكال التلقائية دورًا مهمًا في نظرية الأعداد الحديثة. ^{[ 1 ]}

في الرياضيات ، يظهر مفهوم عامل التماثل الذاتي لمجموعة تؤثر على مشعب تحليلي معقد . لنفترض مجموعة${\displaystyle G}$يؤثر على متعدد الشعب التحليلي المعقد${\displaystyle X}$. ثم،${\displaystyle G}$كما يؤثر على فضاء الدوال التحليلية من${\displaystyle X}$إلى الأعداد المركبة. دالة${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم الشكل التلقائي إذا تحققت الشروط التالية:

${\displaystyle f(g\cdot x)=j_{g}(x)f(x)}$

أين${\displaystyle j_{g}(x)}$هي دالة تحليلية غير صفرية في كل مكان. وبصورة مكافئة، فإن الشكل التلقائي هو دالة يكون قاسمها ثابتًا تحت تأثير${\displaystyle G}$.

عامل التماثل الذاتي للشكل المتماثل الذاتي${\displaystyle f}$هي الوظيفة${\displaystyle j}$الدالة الذاتية الشكل هي شكل ذاتي الشكل يكون فيه${\displaystyle j}$هي الهوية.

الشكل التلقائي هو دالة F على G (بقيم في فضاء متجهي ثابت ذي أبعاد محدودة V ، في حالة القيم المتجهة)، تخضع لثلاثة أنواع من الشروط:

1. لتحويل العناصر أثناء عملية الترجمة${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$وفقًا لعامل التماثل الذاتي المعطى j ؛
2. أن تكون دالة ذاتية لبعض مؤثرات كازيمير على G ؛ و
3. لتحقيق شرط "النمو المعتدل" التقاربي، دالة الارتفاع .

إن أول هذه العوامل هو ما يجعل F ذاتية الشكل ، أي أنها تحقق معادلة وظيفية مثيرة للاهتمام تربط F ( g ) بـ F ( γg ) لـ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$في حالة القيم المتجهة، يمكن أن يتضمن التحديد تمثيلًا زمريًا محدود الأبعاد ρ يؤثر على المكونات لـ"تغييرها". ينص شرط كازيمير للمؤثر على أن بعض مؤثرات لابلاس لها F كدالة ذاتية؛ وهذا يضمن أن F تتمتع بخصائص تحليلية ممتازة، ولكن ما إذا كانت دالة تحليلية مركبة أم لا يعتمد على الحالة الخاصة. أما الشرط الثالث فهو لمعالجة الحالة التي لا تكون فيها G /Γ متراصة ولكنها تحتوي على نقاط انعطاف حادة .

تتطلب هذه الصياغة المفهوم العام لعامل التماثل الذاتي j لـ Γ، وهو نوع من الدورة المشتركة من الرتبة 1 في لغة تماثل المجموعات . قد تكون قيم j أعدادًا مركبة، أو في الواقع مصفوفات مربعة مركبة، بما يتوافق مع إمكانية وجود أشكال تماثلية ذاتية ذات قيم متجهة. يمكن التحقق من شرط الدورة المشتركة المفروض على عامل التماثل الذاتي بشكل روتيني، عندما يُشتق j من مصفوفة جاكوبية ، باستخدام قاعدة السلسلة .

يُقدّم تعريفٌ أكثر وضوحًا، وإن كان متقدمًا تقنيًا، باستخدام نظرية حقول الفئات ، حيث يُنشئ الأشكال التلقائية ووظائفها المقابلة كتموين لمجموعات غالوا على امتدادات حقولها العالمية الأساسية . في هذه الصياغة، تُعدّ الأشكال التلقائية ثوابت محدودة معينة، تُسقط من مجموعة فئات إيديل وفقًا لقانون التبادلية لآرتين . يسمح التركيب التحليلي لدالة L الخاصة بها بتعميمات ذات خصائص جبرية هندسية متنوعة، وبرنامج لانغلاندز الناتج . باختصار، تُعتبر الأشكال التلقائية، من هذا المنظور العام، دوالًا تحليلية تُحدّد ثبات حقول الأعداد بطريقة مجردة للغاية، مما يُشير إلى "بدائية" بنيتها الأساسية . وهذا يُتيح أداة رياضية قوية لتحليل البنى الثابتة لأي بنية عددية تقريبًا.

من الصعب الحصول على أمثلة للأشكال التلقائية في حالة غير مجردة صريحة، على الرغم من أن بعضها له خصائص تحليلية مباشرة:

- سلسلة أيزنشتاين (وهي شكل نمطي نموذجي ) على امتدادات حقل معينة كمجموعات أبيلية .

- تعميمات محددة لدوال ديريشليه L ككائنات نظرية حقلية فئوية .

- بشكل عام، أي كائن تحليلي توافقي كدالة على مجموعات غالوا التي تكون ثابتة على مجموعة فئة المثالية (أو idele ).

كقاعدة عامة، يمكن اعتبار الأشكال التلقائية دوالًا تحليلية على بنى مجردة ، وهي ثابتة بالنسبة لنظير معمّم لمثالها الأولي (أو تمثيل أساسي مجرد غير قابل للاختزال ). وكما ذُكر، يمكن اعتبار الدوال التلقائية تعميمات للأشكال النمطية (كالمنحنيات الإهليلجية )، مُنشأة بواسطة نظير دالة زيتا على بنية تلقائية . وبأبسط معنى، الأشكال التلقائية هي أشكال نمطية مُعرّفة على زمر لي عامة ، نظرًا لخصائص التناظر الخاصة بها. لذا، بعبارة أبسط، هي دالة عامة تُحلل ثبات بنية ما بالنسبة لـ "مورفولوجيتها" الأولية .

قبل اقتراح هذا الإطار العام (حوالي عام 1960)، كانت هناك بالفعل تطورات كبيرة في الأشكال التلقائية بخلاف الأشكال النمطية. وقد حظيت حالة Γ، وهي زمرة فوكسية، باهتمام قبل عام 1900 (انظر أدناه). واقترحت الأشكال النمطية لهيلبرت (وتسمى أيضًا أشكال هيلبرت-بلومنتال) بعد ذلك بفترة وجيزة، على الرغم من أن وضع نظرية كاملة لها استغرق وقتًا طويلاً. ونشأت الأشكال النمطية لسيجل ، التي تكون فيها G زمرة تماثلية ، بشكل طبيعي من دراسة فضاءات المعاملات ودوال ثيتا . وقد شجع الاهتمام الذي أعقب الحرب بالعديد من المتغيرات المركبة على متابعة فكرة الشكل التلقائي في الحالات التي تكون فيها الأشكال تحليلية مركبة بالفعل. وقد بُذلت جهود كبيرة، ولا سيما من قبل إيليا بياتيتسكي-شابيرو ، في السنوات التي سبقت عام 1960، لإنشاء مثل هذه النظرية. وأظهرت نظرية صيغة أثر سيلبرغ ، كما طبقها آخرون، العمق الكبير لهذه النظرية. بيّن روبرت لانغلاندز كيف يمكن تطبيق نظرية ريمان-روخ (بشكل عام، مع معرفة العديد من الحالات الخاصة) لحساب أبعاد الأشكال التلقائية؛ وهذا بمثابة تحقق لاحق من صحة المفهوم. كما وضع النظرية العامة لمتسلسلات أيزنشتاين ، والتي تُقابل ما يُعرف في نظرية الأطياف بـ"الطيف المتصل" لهذه المسألة، تاركًا شكل الحدبة أو الجزء المنفصل للدراسة. ومن وجهة نظر نظرية الأعداد، اعتُبرت أشكال الحدبة، منذ سرينيفاسا رامانوجان ، جوهر المسألة.

أثبت المفهوم اللاحق لـ"التمثيل الذاتي" قيمته التقنية الكبيرة عند التعامل مع G ، وهي زمرة جبرية ، تُعامل كزمرة جبرية أديليّة . لا يشمل هذا المفهوم فكرة الشكل الذاتي المذكورة أعلاه بشكل كامل، إذ أن المنهج الأديلي هو طريقة للتعامل مع عائلة زمر التطابق الفرعية بأكملها دفعة واحدة. داخل فضاء L² لحاصل قسمة الشكل الأديلي لـ G ، يكون التمثيل الذاتي تمثيلاً عبارة عن حاصل ضرب موتر لانهائي ^{لتمثيلات} الزمر p-adic ، مع تمثيلات جبرية محيطة محددة للأعداد الأولية اللانهائية . إحدى طرق التعبير عن هذا التحول في التركيز هي أن مؤثرات هيكه تُوضع هنا فعليًا على نفس مستوى مؤثرات كازيمير؛ وهو أمر طبيعي من وجهة نظر التحليل الوظيفي ، وإن لم يكن واضحًا بنفس القدر في نظرية الأعداد. هذا المفهوم هو الأساس في صياغة فلسفة لانجلاندز .

كانت الأشكال التلقائية من أوائل اكتشافات بوانكاريه في الرياضيات، والتي تعود إلى ثمانينيات القرن التاسع عشر. أطلق عليها اسم الدوال الفوشية، نسبةً إلى عالم الرياضيات لازاروس فوكس ، الذي عُرف بكونه معلمًا بارعًا وباحثًا في المعادلات التفاضلية ونظرية الدوال. وقد طوّر بوانكاريه مفهوم هذه الدوال في أطروحته للدكتوراه. ووفقًا لتعريف بوانكاريه، فإن الدالة التلقائية هي دالة تحليلية في مجالها وثابتة تحت تأثير زمرة لانهائية منفصلة من التحويلات الكسرية الخطية. وبذلك، تُعمّم الدوال التلقائية كلاً من الدوال المثلثية والقطع الناقص .

يشرح بوانكاريه كيف اكتشف الدوال الفوشية:

على مدى خمسة عشر يومًا، سعيتُ جاهدًا لإثبات استحالة وجود دوالٍّ تُشبه تلك التي أطلقتُ عليها لاحقًا اسم الدوال الفوشية. كنتُ حينها جاهلًا تمامًا؛ كنتُ أجلس كل يوم على مكتبي، وأمكث ساعة أو ساعتين، وأُجرّب عددًا كبيرًا من التوليفات دون جدوى. في إحدى الأمسيات، وخلافًا لعادتي، شربتُ قهوة سوداء ولم أستطع النوم. تداعت الأفكار في ذهني؛ شعرتُ بها تتصادم حتى تتشابك أزواج منها، مُشكّلةً توليفة مستقرة. بحلول صباح اليوم التالي، كنتُ قد أثبتُّ وجود فئة من الدوال الفوشية، تلك المُشتقة من المتسلسلات فوق الهندسية ؛ لم يتبقَّ لي سوى كتابة النتائج، وهو ما استغرق بضع ساعات فقط.

• العامل الذاتي
• دالة ذاتية الشكل
• شكل الحدبة ماس
• الأشكال التلقائية على GL(2) ، كتاب من تأليف هـ. جاكيه وروبرت لانغلاندز
• شكل جاكوبي

• ستيفن جيلبارت (1975)، "الأشكال التلقائية على مجموعات أديل"، ISBN 9780608066042
• تتضمن هذه المقالة مواد من جول هنري بوانكاريه على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

• اقتباسات متعلقة بالشكل التلقائي في ويكي الاقتباس
• الوسائط المتعلقة بالأشكال التلقائية في ويكيميديا ​​كومنز