معدل التغطية الخاطئة

يوضح الجدول التالي النتائج المحتملة عند اختبار عدة فرضيات صفرية. لنفترض أن لدينا عددًا m من الفرضيات الصفرية، يُرمز لها بـ: H₁ ، H₂ _، ... ، Hₘ _.    باستخدام اختبار إحصائي ، نرفض الفرضية الصفرية إذا كانت نتيجة الاختبار دالة إحصائيًا. ولا نرفضها إذا كانت النتيجة غير دالة إحصائيًا. بجمع كل نوع من النتائج لجميع _{الفرضيات} الصفرية Hᵢ _،  نحصل على المتغيرات العشوائية التالية:

	الفرضية الصفرية صحيحة (H 0 )	الفرضية البديلة صحيحة (H A )	المجموع
تم إعلان أهمية الاختبار	V	S	R
تم إعلان الاختبار غير ذي دلالة إحصائية.	يو	تي	${\displaystyle mR}$
المجموع	${\displaystyle m_{0}}$	${\displaystyle m-m_{0}}$	م

• يمثل m العدد الإجمالي للفرضيات التي تم اختبارها
• ${\displaystyle m_{0}}$يمثل عدد الفرضيات الصفرية الصحيحة ، وهو معلمة غير معروفة
• ${\displaystyle m-m_{0}}$يمثل عدد الفرضيات البديلة الصحيحة
• V هو عدد النتائج الإيجابية الخاطئة (الخطأ من النوع الأول) (يسمى أيضًا "الاكتشافات الخاطئة").
• S هو عدد النتائج الإيجابية الحقيقية (وتسمى أيضًا "الاكتشافات الحقيقية").
• يمثل T عدد النتائج السلبية الخاطئة (الخطأ من النوع الثاني).
• يمثل U عدد النتائج السلبية الصحيحة
• ${\displaystyle R=V+S}$يمثل عدد الفرضيات الصفرية المرفوضة (وتسمى أيضًا "الاكتشافات"، سواء كانت صحيحة أو خاطئة).

في اختبارات الفرضيات m التي${\displaystyle m_{0}}$إذا كانت الفرضيات الصفرية صحيحة، فإن R متغير عشوائي قابل للملاحظة، و S و T و U و V متغيرات عشوائية غير قابلة للملاحظة .

يؤدي الانتقاء إلى انخفاض متوسط ​​التغطية. يمكن تمثيل الانتقاء على أنه شرط مشروط بحدث محدد بواسطة البيانات، وقد يؤثر على احتمالية تغطية فاصل الثقة لمعلمة واحدة . وبالمثل، تُغير مشكلة الانتقاء المعنى الأساسي لقيم P. تأخذ إجراءات FCR في الاعتبار أن هدف التغطية المشروطة بعد أي قاعدة انتقاء لأي مجموعة من القيم (غير المعروفة) للمعلمات أمر مستحيل التحقيق. هناك خاصية أضعف ممكنة فيما يتعلق بفواصل الثقة الانتقائية، مما يجنبنا بيانات التغطية الخاطئة. يُعد FCR مقياسًا لتغطية الفاصل بعد الانتقاء. لذلك، على الرغم من أن فاصل الثقة 1  − α لا يوفر تغطية انتقائية ( مشروطة )، فإن احتمالية إنشاء فاصل ثقة بدون تغطية هي على الأكثر α ، حيث 

${\displaystyle \Pr[\theta \not \in \mathrm {CI} ,\ {\text{CIbuilt}}]\leq \Pr[\theta \not \in \mathrm {CI} ]\leq \alpha }$

عند مواجهة كل من التعددية (الاستدلال حول معلمات متعددة) والاختيار ، لا تتساوى النسبة المتوقعة لتغطية المعلمات المختارة عند 1−α مع النسبة المتوقعة لعدم التغطية عند α فحسب، بل لا يمكن ضمان الأخيرة أيضًا من خلال إنشاء فترات ثقة هامشية لكل معلمة مختارة. تحل إجراءات معدل التغطية الخاطئة (FCR) هذه المشكلة بأخذ النسبة المتوقعة للمعلمات غير المغطاة بفترات ثقتها من بين المعلمات المختارة، حيث تكون النسبة صفرًا إذا لم يتم اختيار أي معلمة. يُعد معدل التغطية الخاطئة (FCR) خاصية لأي إجراء، ويُحدد من خلال طريقة اختيار المعلمات وطريقة إنشاء الفترات المتعددة.

فترات الثقة المتزامنة مع إجراء بونفيروني عند وجود m معلمات، حيث تُنشأ كل فترة ثقة هامشية عند مستوى 1 − α/m. وبدون اختيار، توفر هذه الفترات تغطية متزامنة، بمعنى أن احتمال تغطية جميع فترات الثقة لمعلماتها الخاصة هو 1 − α على الأقل. مع ذلك، حتى هذه الخاصية القوية لا تضمن خاصية الثقة الشرطية بعد الاختيار.

لا توفر طريقة بونفيروني-بونفيروني تغطية مشروطة، إلا أنها تتحكم في معدل الخطأ الكاذب عند قيم أقل من α. في الواقع، تتحكم فيه بشكل مفرط، حيث يكون معدل الخطأ الكاذب قريبًا جدًا من الصفر عند القيم الكبيرة لـ θ. يعتمد اختيار الفترات على اختبار بونفيروني، ثم تُنشأ فترات ثقة بونفيروني. يُقدّر معدل الخطأ الكاذب بحساب نسبة الفترات التي لا تغطي معاييرها من بين فترات الثقة المُنشأة (مع ضبط النسبة على الصفر عند عدم اختيار أي منها). ويعتمد الاختيار على اختبار فردي غير مُعدّل، وتُنشأ فترات ثقة غير مُعدّلة.

في إجراء بونفيروني لتصحيح معدل الاكتشاف الخاطئ (FDR)، بعد ترتيب قيم p بحيث يكون P (1) ≤  • • •  ≤ P ( m ) وحساب R = max{ j  : P ( j ) ≤ j • q / m }، يتم رفض الفرضيات الصفرية R التي تحقق الشرط P ( i ) ≤ R • q / m . إذا تم الاختبار باستخدام إجراء بونفيروني، فقد ينخفض ​​الحد الأدنى لمعدل الاكتشاف الخاطئ (FCR) إلى ما دون المستوى المطلوب q ، مما يعني أن الفترات طويلة جدًا. في المقابل، يؤدي تطبيق الإجراء التالي، الذي يجمع بين الإجراء العام واختبار التحكم في معدل الاكتشاف الخاطئ في إجراء بونفيروني، إلى الحصول على حد أدنى لمعدل الاكتشاف الخاطئ، وهو q /2 ≤ FCR. يتميز هذا الإجراء بدقته، حيث يقترب معدل الاكتشاف الخاطئ من q في بعض الحالات .

1. قم بترتيب قيم p المستخدمة لاختبار الفرضيات m المتعلقة بالمعلمات، P (1) ≤ • • • ≤ P ( m ).

2. احسب R = max{ i  : P ( i ) ≤ i • q / m }.

3. حدد معلمات R التي يكون عندها P ( i ) ≤ R • q / m ، والتي تتوافق مع الفرضيات المرفوضة.

4. قم بإنشاء فاصل ثقة 1 − R • q / m لكل معلمة مختارة.