مزاد مغلق السعر الأول

الموسوعة الحرة
قاعة المزادات، كريستيز، لندن
قاعة المزادات، كريستيز، لندن

مزاد العطاءات المغلقة ذو السعر الأول (FPSBA) هو نوع شائع من المزادات ، ويُعرف أيضًا بالمزاد السري . [ 1 ] في هذا النوع من المزادات، يُقدّم جميع المزايدين عطاءات مغلقة في وقت واحد، بحيث لا يعلم أي مزايد بعطاء أي مشارك آخر. يدفع صاحب أعلى عطاء السعر الذي قدّمه. [ 2 ] : ص2 [ 3 ]

التحليل الاستراتيجي

في نظام المزايدة القائم على العرض والطلب، يتميز كل مزايد بتقييمه النقدي للسلعة المعروضة للبيع.

لنفترض أن أليس هي إحدى مقدمات العروض وأن تقييمها هوأ{\displaystyle a}ثم، إذا كانت أليس عقلانية:

  • لن تقدم عرضًا بأكثر منأ{\displaystyle a}لأن المزايدة بأكثر منأ{\displaystyle a}لن يؤدي ذلك إلا إلى خسارتها لقيمتها الصافية.
  • إذا قدمت عرضًا بالضبطأ{\displaystyle a}إذن، لن تخسر ولن تربح أي قيمة إيجابية.
  • إذا قدمت عرضًا أقل منأ{\displaystyle a}إذاً، قد يكون لديها بعض المكاسب الإيجابية، لكن المكسب الدقيق يعتمد على عروض الآخرين.

ترغب أليس في تقديم أقل مبلغ ممكن للفوز بالسلعة، بشرط ألا يتجاوز هذا المبلغ مبلغًا معينًا.أ{\displaystyle a}على سبيل المثال، إذا كان هناك مزايد آخر اسمه بوب وقام بالمزايدةy{\displaystyle y}وy<أ{\displaystyle y<a}إذاً، ترغب أليس في تقديم عرض.y+ε{\displaystyle y+\varepsilon }(أينε{\displaystyle \varepsilon }هو أصغر مبلغ يمكن إضافته، على سبيل المثال سنت واحد).

لسوء الحظ، لا تعلم أليس قيمة عروض المزايدين الآخرين، بل إنها لا تعرف حتى تقييماتهم. لذا، من الناحية الاستراتيجية، نحن أمام لعبة بايزية - لعبة لا يعرف فيها اللاعبون عوائد بعضهم البعض.

يكمن التحدي المثير للاهتمام في مثل هذه اللعبة في إيجاد توازن ناش بايزي . ومع ذلك، فإن هذا ليس بالأمر السهل حتى في حالة وجود مزايدين اثنين فقط. يصبح الوضع أبسط عندما تكون تقييمات المزايدين متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ، بحيث تُستمد جميع التقييمات من توزيع احتمالي مسبق معروف. [ 4 ] : ​​234-236

مثال

لنفترض أن هناك مزايدين اثنين، أليس وبوب، بتقييماتهماأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يتم سحبها من توزيع منتظم مستمر على الفترة [0،1]. عندئذٍ، يكون التوازن من نوع بايزي-ناش عندما يقدم كل مزايد نصف قيمته بالضبط: أليس تقدم عرضًاأ/2{\displaystyle a/2}وقدّم بوب عرضهب/2{\displaystyle b/2}.

البرهان: يُقدّم البرهان من وجهة نظر أليس. نفترض أنها تعلم أن بوب قدّم عرضًا.و(ب)=ب/2{\displaystyle f(b)=b/2}لكنها لا تعلمب{\displaystyle b}نحدد أفضل استجابة من أليس لاستراتيجية بوب. لنفترض أن أليس قدمت عرضًا.x{\displaystyle x}هناك حالتان:

  • x≥و(ب){\displaystyle x\geq f(b)}ثم تفوز أليس وتحصل على ربح صافٍ قدرهأ-x{\displaystyle a-x}يحدث هذا باحتماليةو-1(x)=2x{\displaystyle f^{-1}(x)=2x}.
  • x<و(ب){\displaystyle x<f(b)}ثم تخسر أليس ويكون صافي ربحها صفرًا. يحدث هذا باحتمالية1-و-1(x){\displaystyle 1-f^{-1}(x)}.

إجمالاً، فإن المكسب المتوقع لأليس هو:جي(x)=و-1(x)⋅(أ-x){\displaystyle G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)}يتحقق أقصى ربح عندماجي′(x)=0{\displaystyle G'(x)=0}المشتقة هي (انظر الدوال العكسية والتفاضل ):

جي′(x)=-و-1(x)+(أ-x)⋅1و′(و-1(x)){\displaystyle G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}

and it is zero when Alice's bid x{\displaystyle x} satisfies:

f−1(x)=(a−x)⋅1f′(f−1(x)){\displaystyle f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}

Now, since we are looking for a symmetric equilibrium, we also want Alice's bid x{\displaystyle x} to equal f(a){\displaystyle f(a)}. So we have:

f−1(f(a))=(a−f(a))⋅1f′(f−1(f(a))){\displaystyle f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}}
a=(a−f(a))⋅1f′(a){\displaystyle a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}}
af′(a)=(a−f(a)){\displaystyle af'(a)=(a-f(a))}

The solution of this differential equation is: f(a)=a/2{\displaystyle f(a)=a/2}.

Generalization

Denote by:

  • vi{\displaystyle v_{i}} – the valuation of bidder i{\displaystyle i};
  • yi{\displaystyle y_{i}} – the maximum valuation of all bidders except i{\displaystyle i}, i.e., yi=maxj≠ivj{\displaystyle y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}}.

Then, a FPSBA has a unique symmetric BNE in which the bid of player i{\displaystyle i} is given by:[5]:33–40

E[yi∣yi<vi]{\displaystyle E[y_{i}\mid y_{i}<v_{i}]}

Incentive-compatible variant

The FPSBA is not incentive-compatible even in the weak sense of Bayesian-Nash-Incentive-Compatibility (BNIC), since there is no Bayesian-Nash equilibrium in which bidders report their true value.

However, it is easy to create a variant of FPSBA which is BNIC, if the priors on the valuations are common knowledge. For example, for the case of Alice and Bob described above, the rules of the BNIC variant are:

  • The highest bidder wins;
  • The highest bidder pays 1/2 of his/her bid.

In effect, this variant simulates the Bayesian-Nash equilibrium strategies of the players, so in the Bayesian-Nash equilibrium, both bidders bid their true value.

This example is a special case of a much more general principle: the revelation principle.

Comparison to second-price auction

The following table compares FPSBA to sealed-bid second-price auction (SPSBA):

Auction:First-priceSecond-price
Winner:Agent with highest bidAgent with highest bid
Winner pays:Winner's bidSecond-highest bid
Loser pays:00
Dominant strategy:No dominant strategyBidding truthfully is dominant strategy[6]
Bayesian Nash equilibrium[7]Bidder i{\displaystyle i} bids n−1nvi{\displaystyle {\frac {n-1}{n}}v_{i}}Bidder i{\displaystyle i} truthfully bids vi{\displaystyle v_{i}}
Auctioneer's revenue[7]n−1n+1{\displaystyle {\frac {n-1}{n+1}}}n−1n+1{\displaystyle {\frac {n-1}{n+1}}}

The auctioneer's revenue is calculated in the example case, in which the valuations of the agents are drawn independently and uniformly at random from [0,1]. As an example, when there are n=2{\displaystyle n=2} agents:

  • In a first-price auction, the auctioneer receives the maximum of the two equilibrium bids, which is max(a/2,b/2){\displaystyle \max(a/2,b/2)}.
  • In a second-price auction, the auctioneer receives the minimum of the two truthful bids, which is min(a,b){\displaystyle \min(a,b)}.

In both cases, the auctioneer's expected revenue is 1/3.

This fact that the revenue is the same is not a coincidence - it is a special case of the revenue equivalence theorem. This holds only when the agents' valuations are statistically independent; when the valuations are dependent, we have a common value auction, and in this case, the revenue in a second-price auction is usually higher than in a first-price auction.

لا يجوز بيع السلعة المعروضة للبيع إذا لم يكن العرض النهائي مرتفعًا بما يكفي لإرضاء البائع، أي أن البائع يحتفظ بحقه في قبول أو رفض أعلى عرض. إذا أعلن البائع للمزايدين عن السعر الأدنى، يُعتبر المزاد علنيًا بسعر أدنى. [ 8 ] في المقابل، إذا لم يُعلن البائع عن السعر الأدنى قبل البيع وإنما بعده فقط، يُعتبر المزاد سريًا بسعر أدنى. [ 9 ]

مقارنة بالمزادات الأخرى

يختلف مزاد FPSBA عن المزاد الإنجليزي في أن كل مزايد لا يمكنه تقديم سوى عرض واحد. علاوة على ذلك، ولأن المزايدين لا يستطيعون رؤية عروض المشاركين الآخرين، فلا يمكنهم تعديل عروضهم وفقًا لذلك. [ 3 ]

يُقال إن نظام المزاد التنافسي القائم على الشراء (FPSBA) يُعادل استراتيجياً نظام المزاد الهولندي . [ 2 ] : ص13

تُعرف عمليات الشراء التي تُجرى عبر منصات التمويل والمشتريات والإنشاءات (FPSBA) عادةً باسم المناقصات ، وهي عملية تستخدمها الشركات والمؤسسات، لا سيما في العقود الحكومية والمزادات الخاصة بتراخيص التعدين. [ 3 ] يُعتقد أن هذه العمليات تُسهم في خفض تكاليف الشراء من خلال المنافسة، والحد من الفساد عبر زيادة الشفافية، على الرغم من أنها قد تستلزم تكلفة إضافية أعلى للمشروع المنجز، ووقتًا إضافيًا لإنجازه. [ 10 ]

مزاد السعر الأول المعمم هو آلية مزاد غير صادقة للبحث المدعوم (المعروف أيضًا باسم مزاد الموضع).

يُعدّ المزاد الذي يكون فيه السعر عبارة عن توليفة محدبة من السعر الأول والسعر الثاني تعميماً لكل من مزادات السعر الأول ومزادات السعر الثاني. [ 11 ]

مراجع

  1. ↑ "شور، ميخائيل، "المزاد الأعمى": قاموس مصطلحات نظرية الألعاب" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 17-09-2019 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10-01-2016 .
  2. 1 2 كريشنا، فيجاي (2002)، نظرية المزاد ، سان دييغو، الولايات المتحدة الأمريكية: أكاديميك برس، ISBN 978-0-12-426297-3
  3. 1 2 3 ماكافي، دينش ساتام؛ ماكميلان، دينش (1987)، "المزادات والمزايدة" (ملف PDF) ، مجلة الأدب الاقتصادي ، المجلد 25، العدد 2، الرابطة الاقتصادية الأمريكية (نُشر في يونيو 1987)، الصفحات 699-738 ، JSTOR 2726107 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 28 نوفمبر 2018 ، تم استرجاعه بتاريخ 25 يونيو 2008    
  4. ↑Vazirani, Vijay V.; Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva (2007). Algorithmic Game Theory(PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.
  5. ↑Daron Acemoglu; Asu Ozdaglar (2009). "Networks Lectures 19–21: Incomplete Information: Bayesian Nash Equilibria, Auctions and Introduction to Social Learning". MIT. Archived from the original on 22 October 2016. Retrieved 8 October 2016.
  6. ↑Hence a second-price auction is a truthful mechanism.
  7. 12Calculated for n{\displaystyle n} bidders whose valuations are drawn independently and uniformly at random from [0,1]
  8. ↑Riley, J.G.; Samuelson, W.F. (1981). "Optimal Auctions"(PDF). The American Economic Review. 71: 381–392.
  9. ↑Elyakime, B.; Laffont, J.J.; Loisel, P.; Vuong, Q. (1994). "First-Price Sealed-Bid Auctions with Secret Reservation Prices". Annales d'Économie et de Statistique. 34 (34): 115–141. doi:10.2307/20075949. JSTOR 20075949.
  10. ↑Decarolis, Francesco (2014). "Awarding Price, Contract Performance, and Bids Screening: Evidence from Procurement Auctions"(PDF). American Economic Journal: Applied Economics. 6 (1): 108–132. doi:10.1257/app.6.1.108.
  11. ↑Güth, W.; van Damme, E. (1986-09-01). "A comparison of pricing rules for auctions and fair division games". Social Choice and Welfare. 3 (3): 177–198. doi:10.1007/bf00433534. ISSN 0176-1714. S2CID 153813349.

Further reading

  • Hammami, Farouk; Rekik, Monia; Coelho, Leandro C. (2019). "Exact and heuristic solution approaches for the bid construction problem in transportation procurement auctions with a heterogeneous fleet". Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review. 127: 150–177. doi:10.1016/j.tre.2019.05.009. S2CID 182223089. Combinatorial auctions for transportation services procurement with first-price sealed-bid rules.