التوزيع المنتظم المستمر

دالة كثافة الاحتمال للتوزيع المنتظم المستمر هي $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{ba}}&{\text{لـ }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{لـ }}x<a\ {\text{ أو }}\ x>b.\end{cases}}}$$

قيم${\displaystyle f(x)}$عند الحدودين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$عادة ما تكون غير مهمة، لأنها لا تغير قيمة${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$على مدى أي فترة${\displaystyle [c,d],}$ولا من${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx,}$ولا من أي عزم أعلى. أحيانًا يتم اختيارها لتكون صفرًا، وأحيانًا يتم اختيارها لتكون${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}.}$يُعدّ الخيار الأخير مناسبًا في سياق التقدير باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى . أما في سياق تحليل فورييه ، فيمكن أخذ قيمة${\displaystyle f(a)}$أو${\displaystyle f(b)}$يكون${\displaystyle {\tfrac {1}{2(ba)}},}$لأنّ التحويل العكسي للعديد من التحويلات التكاملية لهذه الدالة المنتظمة سيعيد الدالة نفسها، بدلاً من دالة متساوية " تقريبًا في كل مكان "، أي باستثناء مجموعة من النقاط ذات القياس الصفري . كما أنّ هذا يتوافق مع دالة الإشارة ، التي لا يوجد فيها مثل هذا الغموض.

أي دالة كثافة احتمالية تتكامل إلى${\displaystyle 1,}$لذا، يتم تمثيل دالة كثافة الاحتمال للتوزيع المنتظم المستمر بيانياً على شكل مستطيل حيث ⁠${\displaystyle ba}$يمثل ⁠ طول القاعدة و ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}}$يمثل الارتفاع. مع زيادة طول القاعدة، ينخفض ​​الارتفاع (الكثافة عند أي قيمة معينة ضمن حدود التوزيع). ^{[ 4 ]}

من حيث المتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2},}$دالة كثافة الاحتمال للتوزيع المنتظم المستمر هي $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\[2pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

دالة التوزيع التراكمي للتوزيع المنتظم المستمر هي: $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}$$

ومعكوسه هو: $${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.}$$

من حيث المتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2},}$دالة التوزيع التراكمي للتوزيع المنتظم المستمر هي: $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}$$

وعكسه هو: $${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.}$$

التوزيع المنتظم المستمر ذو المعلمات${\displaystyle a=0}$و${\displaystyle b=1,}$أي${\displaystyle U(0,1),}$يُطلق عليه اسم التوزيع المنتظم القياسي .

إحدى الخصائص المثيرة للاهتمام للتوزيع المنتظم القياسي هي أنه إذا${\displaystyle u_{1}}$إذا كان له توزيع منتظم قياسي، فإنه كذلك${\displaystyle 1-u_{1}.}$يمكن استخدام هذه الخاصية، من بين أمور أخرى، لتوليد متغيرات متضادة . بعبارة أخرى، تُعرف هذه الخاصية بطريقة الانعكاس ، حيث يمكن استخدام التوزيع المنتظم القياسي المستمر لتوليد أرقام عشوائية لأي توزيع مستمر آخر. ^{[ 4 ]} إذا${\displaystyle u_{1}}$هو عدد عشوائي منتظم ذو توزيع منتظم قياسي، أي مع${\displaystyle U(0,1),}$ثم${\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})}$يُولد رقمًا عشوائيًا${\displaystyle x}$من أي توزيع مستمر ذي دالة التوزيع التراكمي المحددة${\displaystyle F.}$^{[ 4 ]}

طالما يتم اتباع نفس الاصطلاحات عند نقاط الانتقال، يمكن أيضًا التعبير عن دالة كثافة الاحتمال للتوزيع المنتظم المستمر بدلالة دالة هيفسايد المتدرجة على النحو التالي: $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}$$

أو بدلالة دالة المستطيل كما يلي: $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}$$

لا يوجد أي لبس عند نقطة التحول لدالة الإشارة . باستخدام اصطلاح نصف القيمة القصوى عند نقاط التحول، يمكن التعبير عن التوزيع المنتظم المستمر بدلالة دالة الإشارة كما يلي: $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$$

المتوسط ​​( العزم الخام الأول ) للتوزيع المنتظم المستمر هو: $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}$$

اللحظة الخام الثانية لهذا التوزيع هي: $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}$$

بشكل عام، الـ${\displaystyle n}$اللحظة الخام رقم -th لهذا التوزيع هي: $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$$

التباين ( العزم المركزي الثاني ) لهذا التوزيع هو: $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$$

يترك${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$كن عينة مستقلة ومتطابقة التوزيع من${\displaystyle U(0,1),}$ودع${\displaystyle X_{(k)}}$كن${\displaystyle k}$الإحصائية المرتبة رقم - من هذه العينة.

${\displaystyle X_{(k)}}$له توزيع بيتا ، مع معلمات${\displaystyle k}$و​${\displaystyle n-k+1.}$⁠

القيمة المتوقعة هي: $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k}{n+1}}.}$$

تُعد هذه الحقيقة مفيدة عند إنشاء مخططات Q-Q .

التباين هو: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}.}$$

إن احتمال وقوع متغير عشوائي ذي توزيع منتظم مستمر ضمن أي فترة ذات طول ثابت مستقل عن موقع الفترة نفسها (ولكنه يعتمد على حجم الفترة).${\displaystyle (\ell )}$), طالما أن الفترة الزمنية تقع ضمن نطاق دعم التوزيع.

في الواقع، إذا${\displaystyle X\sim U(a,b)}$وإذا${\displaystyle [x,x+\ell ]}$هي فترة جزئية من${\displaystyle [a,b]}$مع ثابت${\displaystyle \ell >0,}$ثم: $${\displaystyle \Pr {\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$$ وهو أمر مستقل عن${\displaystyle x.}$هذه الحقيقة هي التي تحفز تسمية التوزيع.

يمكن تعميم التوزيع المنتظم ليشمل مجموعات أكثر عمومية من الفترات.

بصورة رسمية، دع${\displaystyle S}$ليكن مجموعة بوريل ذات قياس ليبيغ موجب ومنتهي${\displaystyle \lambda (S),}$أي${\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .}$التوزيع المنتظم على${\displaystyle S}$يمكن تحديد ذلك عن طريق تعريف دالة كثافة الاحتمال لتكون صفرًا خارج${\displaystyle S}$ومساوية باستمرار لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}}$على${\displaystyle S.}$

هناك العديد من الحالات الخاصة المعروفة، على سبيل المثال، عندما تكون المجموعة S عبارة عن سيمبلكس ^{[ 8 ] : القسم الخامس، النظرية 2.1} .

في مجال الاقتصاد، غالبًا ما لا يتبع الطلب والتجديد التوزيع الطبيعي المتوقع. ونتيجة لذلك، تُستخدم نماذج توزيع أخرى لتحسين التنبؤ بالاحتمالات والاتجاهات، مثل عملية برنولي . ^{[ 11 ]} ولكن وفقًا لوانكي (2008)، في حالة دراسة مهلة التوريد لإدارة المخزون في بداية دورة حياة منتج جديد كليًا، يثبت التوزيع المنتظم أنه أكثر فائدة. ^{[ 11 ]} في هذه الحالة، قد لا يكون التوزيع الآخر مناسبًا لعدم وجود بيانات متاحة عن المنتج الجديد، أو لعدم توفر سجل الطلب، وبالتالي لا يوجد توزيع مناسب أو معروف. ^{[ 11 ]} يُعد التوزيع المنتظم مثاليًا في هذه الحالة، لأن متغير مهلة التوريد (المرتبط بالطلب) غير معروف للمنتج الجديد، ولكن من المرجح أن تتراوح النتائج بين قيمتين محتملتين. ^{[ 11 ]} وبالتالي، تمثل مهلة التوريد المتغير العشوائي . انطلاقاً من نموذج التوزيع المنتظم، أمكن حساب عوامل أخرى متعلقة بفترة التسليم، مثل مستوى خدمة الدورة والنقص في كل دورة . ولوحظ أيضاً أن استخدام التوزيع المنتظم يعود إلى سهولة الحسابات. ^{[ 11 ]}

يُعد التوزيع المنتظم مفيدًا لأخذ العينات من التوزيعات العشوائية. ومن الطرق الشائعة طريقة أخذ العينات بالتحويل العكسي، التي تستخدم دالة التوزيع التراكمي (CDF) للمتغير العشوائي المستهدف. تُعد هذه الطريقة مفيدة جدًا في العمل النظري. ولأن عمليات المحاكاة باستخدام هذه الطريقة تتطلب عكس دالة التوزيع التراكمي للمتغير المستهدف، فقد تم ابتكار طرق بديلة للحالات التي لا تكون فيها دالة التوزيع التراكمي معروفة بصيغة مغلقة. ومن هذه الطرق طريقة أخذ العينات بالرفض .

يُعد التوزيع الطبيعي مثالًا هامًا على الحالات التي لا تكون فيها طريقة التحويل العكسي فعّالة. مع ذلك، توجد طريقة دقيقة، وهي تحويل بوكس-مولر ، التي تستخدم التحويل العكسي لتحويل متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان التوزيع المنتظم إلى متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان التوزيع الطبيعي .

في عملية التحويل من الإشارة التناظرية إلى الرقمية، يحدث خطأ في التكميم. وينتج هذا الخطأ إما عن التقريب أو الاقتطاع. عندما تكون الإشارة الأصلية أكبر بكثير من أقل بت ذي دلالة (LSB) ، فإن خطأ التكميم لا يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالإشارة، ويكون توزيعه منتظمًا تقريبًا. وبالتالي، ينتج خطأ الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) من تباين هذا التوزيع.