توزيع فيشر z

توزيع فيشر z هو التوزيع الإحصائي لنصف لوغاريتم متغير توزيع F :

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\log F}$

تم وصفها لأول مرة من قبل رونالد فيشر في ورقة بحثية ألقيت في المؤتمر الرياضي الدولي لعام 1924 في تورنتو . ^{[ 1 ]} في الوقت الحاضر، يستخدم المرء عادة توزيع F بدلاً من ذلك.

يمكن إيجاد دالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي باستخدام توزيع F عند قيمة .${\displaystyle x'=e^{2x}\,}$ومع ذلك، فإن المتوسط ​​والتباين لا يتبعان نفس التحويل.

دالة كثافة الاحتمال هي ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}},}$

حيث B هي دالة بيتا .

عندما تصبح درجات الحرية كبيرة (${\displaystyle d_{1},d_{2}\rightarrow \infty }$)، يقترب التوزيع من التوزيع الطبيعي بمتوسط ^{​​[ 2 ]}

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)}$

والتباين

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right).}$

• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ثم${\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)\,}$( توزيع F )
• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$ثم${\displaystyle {\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$

• مدخل ماث وورلد