توزيع كينت

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة
ثلاث مجموعات نقاط مأخوذة من توزيع كينت. تُظهر الأسهم الاتجاهات المتوسطة.κ{\displaystyle \kappa \,}تكون المعلمة أعلى ما يمكن بالنسبة للمجموعة الحمراء.

في الإحصاء الاتجاهي ، يُعرف توزيع كينت ، أو توزيع فيشر-بينغهام ذو الخمسة معلمات (نسبةً إلى جون تي. كينت، ورونالد فيشر ، وكريستوفر بينغهام )، بأنه توزيع احتمالي على الكرة الوحدة ( الكرة ثنائية الأبعاد S² في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ ) . وهو نظير التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات على S² مع مصفوفة تباين غير مقيدة. اقترح جون تي . كينت توزيع كينت عام 1982، ويُستخدم في الجيولوجيا والمعلوماتية الحيوية .

تعريف

دالة كثافة الاحتمالو(x){\displaystyle f(\mathbf {x} )\,}يتم إعطاء توزيع كينت بواسطة:

و(x)=1ج(κ،β)خبرة⁡{κγ1تيx+β[(γ2تيx)2-(γ3تيx)2]}{\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}]\right\}}

أين x{\displaystyle \mathbf {x} \,}هو متجه وحدة ثلاثي الأبعاد،(⋅)تي{\displaystyle (\cdot )^{T}}يشير إلى منقولة(⋅){\displaystyle (\cdot )}، وثابت التطبيع ج(κ،β){\displaystyle {\textrm {c}}(\kappa ,\beta )\,} يكون:

ج(κ،β)=2π∑ج=0∞Γ(ج+12)Γ(ج+1)β2ج(12κ)-2ج-12أنا2ج+12(κ){\displaystyle c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa )}

أينأناv(κ){\displaystyle I_{v}(\kappa )}هي دالة بيسل المعدلة وΓ(⋅){\displaystyle \Gamma (\cdot )}دالة غاما . لاحظ أنج(0،0)=4π{\displaystyle c(0,0)=4\pi }وج(κ،0)=4π(κ-1)سينه⁡(κ){\displaystyle c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )}، ثابت التطبيع لتوزيع فون ميزس-فيشر .

المعلمةκ{\displaystyle \kappa \,} (معκ>0{\displaystyle \kappa >0\,}يحدد تركيز أو انتشار التوزيع، بينما β{\displaystyle \beta \,} (مع 0≤2β<κ{\displaystyle 0\leq 2\beta <\kappa }يحدد هذا المتغير شكل الخطوط البيضاوية ذات الاحتمالية المتساوية. كلما زادت قيمة هذا المتغير، زادت قيمة الاحتمالية. κ{\displaystyle \kappa \,} و β{\displaystyle \beta \,} كلما زادت المعلمات، زاد تركيز التوزيع وشكله البيضاوي، على التوالي. متجه γ1{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{1}\,} يمثل الاتجاه المتوسط، والمتجهات γ2،γ3{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3}\,} يمثل المحوران الرئيسي والثانوي المحورين الأكبر والأصغر. يحدد المتجهان الأخيران اتجاه خطوط الاحتمالية المتساوية على الكرة، بينما يحدد المتجه الأول المركز المشترك لهذه الخطوط.3×3{\displaystyle 3\times 3}مصفوفة(γ1،γ2،γ3){\displaystyle ({\boldsymbol {\gamma }}_{1},{\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3})\,}يجب أن يكون متعامدًا.

التعميم إلى أبعاد أعلى

يمكن تعميم توزيع كينت بسهولة ليشمل الكرات في أبعاد أعلى. إذاx{\displaystyle x}هي نقطة على كرة الوحدةSص-1{\displaystyle S^{p-1}}فيRص{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}ثم دالة الكثافة لـص{\displaystyle p}يتناسب توزيع كينت ذو الأبعاد n مع

خبرة⁡{κγ1تيx+∑ج=2صβج(γجتيx)2} ،{\displaystyle \exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_ {1}^{T}\mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\mathbf {x} )^{2}\right\}\ ,}

أين∑ج=2صβج=0{\displaystyle \sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0}و0≤2|βج|<κ{\displaystyle 0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa }والمتجهات{γج|ج=1،...،ص}{\displaystyle \{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1,\ldots ,p\}}تكون متعامدة. ومع ذلك، يصبح التعامل مع ثابت التطبيع صعبًا للغاية بالنسبة لـص>3{\displaystyle p>3}.

انظر أيضاً

مراجع