دالة غاما

الترميز${\displaystyle \Gamma (z)}$يعود ذلك إلى ليجندر . ^{[ 1 ]} إذا كان الجزء الحقيقي من العدد المركب${\displaystyle z}$موجب تمامًا ( ⁠${\displaystyle \Re (z)>0}$ثم التكامل​$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$يتقارب تقارباً مطلقاً ، ويُعرف باسم تكامل أويلر من النوع الثاني . (تكامل أويلر من النوع الأول هو دالة بيتا . ^{[ 1 ]} )

القيمة${\displaystyle \Gamma (1)}$يمكن حسابها على النحو التالي$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1.\end{aligned}}}$$

وبإجراء التكامل بالتجزئة ، يتبين أن$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\[6pt]&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }z\,t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$إدراكًا لذلك${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$كما​${\displaystyle t\to 0}$( طالما أن )${\displaystyle \Re (z)>0}$) و كما${\displaystyle t\to \infty }$،​$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=z\,\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

وهكذا نكون قد أثبتنا أن${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$لأي عدد صحيح موجب n بالاستقراء .

الهوية${\textstyle z\Gamma (z)=\Gamma (z+1)}$يمكن استخدام (أو، للحصول على نفس النتيجة، يمكن استخدام الاستمرار التحليلي ) لتوسيع الصيغة التكاملية بشكل فريد لـ${\displaystyle \Gamma (z)}$إلى دالة ميرومورفية معرفة لجميع الأعداد المركبة${\displaystyle z}$باستثناء الأعداد الصحيحة الأقل من أو تساوي الصفر. ^{[ 1 ]} هذه النسخة الموسعة هي التي يشار إليها عادةً باسم دالة غاما. ^{[ 1 ]}

توجد العديد من التعريفات المكافئة.

إلى جانب الخاصية الأساسية التي نوقشت أعلاه،$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z).}$$من المعادلات الوظيفية المهمة الأخرى لدالة غاما صيغة انعكاس أويلر ،$${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,}$$وهذا يعني$${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$وصيغة تكرار ليجندر$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z).}$$

صيغة المضاعفة هي حالة خاصة من نظرية الضرب (انظر ^{[ 9 ]} المعادلة 5.5.6):   $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

إحدى الخصائص البسيطة ولكن المفيدة، والتي يمكن ملاحظتها من تعريف النهاية، هي: $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

على وجه الخصوص، مع${\displaystyle z=a+bi}$هذا المنتج هو $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

إذا كان الجزء الحقيقي عددًا صحيحًا أو نصف عدد صحيح ، فيمكن التعبير عن ذلك بشكل نهائي في صيغة مغلقة : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

لعلّ أشهر قيمة لدالة غاما عند وسيط غير صحيح هي $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ والتي يمكن العثور عليها عن طريق التعيين${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$في صيغة الانعكاس، باستخدام العلاقة بدالة بيتا الموضحة أدناه مع${\displaystyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$أو ببساطة عن طريق إجراء الاستبدال${\displaystyle t=u^{2}}$في التعريف التكاملي لدالة غاما، ينتج عنه تكامل غاوسي . بشكل عام، بالنسبة للقيم الصحيحة غير السالبة لـ${\displaystyle n}$لدينا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}\,n!\,{\sqrt {\pi }}\\[6pt]\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}\,n!}}\end{aligned}}}$$حيث المضروب المزدوج${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$انظر القيم المحددة لدالة جاما للاطلاع على القيم المحسوبة.

قد يكون من المغري تعميم النتيجة التي${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$من خلال البحث عن صيغة للقيم الفردية الأخرى${\displaystyle \Gamma (r)}$أين${\displaystyle r}$هو عدد نسبي، خاصةً لأنه وفقًا لنظرية غاوس ديغاما ، من الممكن فعل ذلك لدالة ديغاما المرتبطة بها ارتباطًا وثيقًا عند كل قيمة نسبية. ومع ذلك، فإن هذه الأرقام${\displaystyle \Gamma (r)}$لا يُعرف أنها قابلة للتعبير عنها بذاتها بدلالة الدوال الأولية. وقد ثبت أن${\displaystyle \Gamma (n+r)}$هو عدد متسامٍ ومستقل جبريًا عن${\displaystyle \pi }$لأي عدد صحيح${\displaystyle n}$وكل كسر من الكسور${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$[ ^{10 ]} بشكل عام ،عند حساب قيم دالة جاما، يجب علينا الاكتفاء بالتقريبات العددية ^.

تُوصَف مشتقات دالة غاما بدلالة دالة بولي غاما ،${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}$⁠ :$${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$بالنسبة لعدد صحيح موجب${\displaystyle m}$يمكن حساب مشتقة دالة غاما على النحو التالي:

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$ أين${\displaystyle H(m)}$هو${\displaystyle m}$رقم التوافقي رقم و${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

ل${\displaystyle \Re (z)>0}$ال${\displaystyle n}$المشتقة النونية لدالة غاما هي:$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$(يمكن اشتقاق ذلك عن طريق تفاضل الشكل التكاملي لدالة غاما بالنسبة إلى ⁠${\displaystyle z}$. )

استخدام الهوية$${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\,\zeta (n)),}$$أين${\displaystyle \zeta (z)}$هي دالة زيتا لريمان ، و${\displaystyle B_{n}}$هو${\displaystyle n}$بالنسبة لكثير الحدود بيل ، لدينا على وجه الخصوص توسيع سلسلة لوران لدالة جاما ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

عند اقتصارها على الأعداد الحقيقية الموجبة ، تكون دالة غاما دالة محدبة لوغاريتميًا تمامًا . ويمكن التعبير عن هذه الخاصية بإحدى الطرق الثلاث المتكافئة التالية:

• لأي عددين حقيقيين موجبين${\displaystyle x_{1}}$و​${\displaystyle x_{2}}$، ولأي​${\displaystyle t\in [0,1]}$،​$${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• لأي عددين حقيقيين موجبين${\displaystyle x_{1}}$و​${\displaystyle x_{2}}$، و${\displaystyle x_{2}}$>${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• لأي عدد حقيقي موجب${\displaystyle x}$،​$${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

العبارة الأخيرة من هذه العبارات، بحكم تعريفها، هي نفسها العبارة التي تقول${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$، حيث${\displaystyle \psi ^{(1)}}$هي دالة متعددة غاما من الرتبة 1. ولإثبات التحدب اللوغاريتمي لدالة غاما، يكفي بالتالي ملاحظة أن${\displaystyle \psi ^{(1)}}$له تمثيل متسلسل يتكون، بالنسبة لـ x الحقيقي الموجب ، من حدود موجبة فقط.

يستلزم كل من التحدب اللوغاريتمي ومتباينة جنسن معًا، لأي أعداد حقيقية موجبة ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$و​​${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$،​ $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

توجد أيضًا حدود على نسب دوال غاما. وأشهرها متباينة غاوتشي ، التي تنص على أنه لأي عدد حقيقي موجب x وأي s ∈ (0, 1) ، $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

سلوك${\displaystyle \Gamma (x)}$بالنسبة لمتغير حقيقي موجب متزايد، يتم التعبير عنه بواسطة صيغة ستيرلينغ$${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$حيث الرمز${\displaystyle \sim }$يعني التقارب التقاربي: نسبة الطرفين تتقارب إلى ⁠${\displaystyle 1}$في حدود​${\displaystyle \textstyle x\to +\infty }$[ ^{1 ]} هذا النمو أسرع من ^النمو الأسي ،${\displaystyle \exp(\beta x)}$، لأي قيمة ثابتة لـ${\displaystyle \beta }$⁠ .

حدٌّ مفيدٌ آخر للتقريبات التقاربية لـ${\displaystyle x\to +\infty }$يكون:$${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

عند كتابة حد الخطأ كحاصل ضرب لانهائي، يمكن استخدام صيغة ستيرلينغ لتعريف دالة جاما: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{e}}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{x+n+{\frac {1}{2}}}\right].}$$

على الرغم من أن التعريف الرئيسي لدالة غاما - تكامل أويلر من النوع الثاني - صالح فقط (على المحور الحقيقي) للوسائط الموجبة، إلا أنه يمكن توسيع نطاقها باستخدام الاستمرار التحليلي ^{[ 13 ]} إلى الوسائط السالبة عن طريق تحويل الوسيط السالب إلى قيم موجبة باستخدام صيغة انعكاس أويلر،$${\displaystyle \Gamma (-x)={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}{\frac {\pi }{\sin {\big (}\pi (x+1){\big )}}},}$$أو الخاصية الأساسية،$${\displaystyle \Gamma (-x):={\frac {\,1}{-x}}\,\Gamma (-x+1),}$$عندما​${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$على سبيل المثال ،$${\displaystyle \Gamma \!\left(\!-{\frac {1}{2}}\right)=-2\,\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right).}$$

السلوك غير الإيجابي${\displaystyle z}$الأمر أكثر تعقيدًا. لا يتقارب تكامل أويلر من أجل ⁠${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$لكن الدالة التي تُعرّفها في النصف الموجب من المستوى المركب لها امتداد تحليلي فريد إلى النصف السالب. إحدى طرق إيجاد هذا الامتداد التحليلي هي استخدام تكامل أويلر للأعداد الموجبة وتوسيع نطاقه إلى الأعداد السالبة من خلال تطبيق صيغة التكرار بشكل متكرر، ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$اختيار${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle z+n}$موجب. يكون حاصل الضرب في المقام صفرًا عندما${\displaystyle z}$يساوي أيًا من الأعداد الصحيحة${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$وبالتالي ، يجب أن تكون دالة غاما غير معرفة عند تلك النقاط لتجنب القسمة على صفر ؛ فهي دالة ميرومورفية ذات أقطاب بسيطة عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة. ^{[ 1 ]}

لوظيفة${\displaystyle f}$لمتغير مركب${\displaystyle z}$، عند عمود بسيط${\displaystyle c}$، بقايا​​${\displaystyle f}$يُعطى بواسطة:$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

للعمود البسيط${\displaystyle z=-n}$، يمكن إعادة كتابة صيغة التكرار على النحو التالي:$${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$البسط في${\displaystyle z=-n}$، هو$${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$والمقام$${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$إذن فإن بقايا دالة جاما عند تلك النقاط هي: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$دالة غاما لا تساوي الصفر في كل مكان على طول خط الأعداد الحقيقية، على الرغم من أنها تقترب من الصفر بشكل تعسفي عندما${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$في الواقع ، لا يوجد عدد مركب${\displaystyle z}$والتي من أجلها${\displaystyle \Gamma (z)=0}$وبالتالي دالة غاما المقلوبة${\textstyle {\dfrac {1}{\Gamma (z)}}}$هي دالة كاملة ، مع أصفار عند ⁠${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$[ ¹ ]^​​

على خط الأعداد الحقيقية، توجد قيمة صغرى محلية لدالة غاما عند z _min = +1.46163 21449 68362 34126... ^{[ 15 ]} حيث تبلغ قيمتها Γ( z _min ) = +0.88560 31944 10888 70027... ^{[ 16 ]} . ترتفع دالة غاما على جانبي هذه القيمة الصغرى. حل المعادلة Γ( z − 0.5) = Γ( z + 0.5) هو z = +1.5 ، والقيمة المشتركة هي Γ(1) = Γ(2) = +1 . الحل الموجب للمعادلة Γ( z − 1) = Γ( z + 1) هو z = φ ≈ +1.618 ، وهي النسبة الذهبية ، والقيمة المشتركة هي Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ ! = +1.44922 96022 69896 60037... . ^{[ 17 ]}

يجب أن تتبادل دالة غاما الإشارة بين قطبيها عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة لأن حاصل الضرب في التكرار الأمامي يحتوي على عدد فردي من العوامل السالبة إذا كان عدد الأقطاب بين${\displaystyle z}$و${\displaystyle z+n}$يكون العدد فرديًا، ويكون زوجيًا إذا كان عدد الأقطاب زوجيًا. ^{[ 14 ]} القيم عند القيم القصوى المحلية لدالة غاما على طول المحور الحقيقي بين الأعداد الصحيحة غير الموجبة هي:

Γ( −0.50408 30082 64455 40925... ^{[ 18 ]} ) = −3.54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1.57349 84731 62390 45877... ^{[ 19 ]} ) = 2.30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2.61072 08684 44144 65000... ^{[ 20 ]} ) = −0.88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3.63529 33664 36901 09783... ^{[ 21 ]} ) = 0.24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4.65323 77617 43142 44171... ^{[ 22 ]} ) = −0.05277 96395 87319 40076... إلخ.

هناك العديد من الصيغ، إلى جانب تكامل أويلر من النوع الثاني، التي تعبر عن دالة غاما كتكامل. على سبيل المثال، عندما يكون الجزء الحقيقي من${\displaystyle z}$موجب، ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$و ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$$${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$ حيث تُستنتج التكاملات الثلاثة على التوالي من عمليات الاستبدال ⁠${\displaystyle t=e^{-x}}$،​${\displaystyle t=-\log x}$^{[ 25 ]} و${\displaystyle t=cx^{2}}$^{[ 26 ]} في تكامل أويلر الثاني. يوضح التكامل الأخير على وجه الخصوص العلاقة بين دالة غاما عند وسائط نصف عدد صحيح والتكاملالغاوسي: إذا${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$نحصل$${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

تنص الصيغة التكاملية الأولى لـ Binet لدالة جاما على أنه عندما يكون الجزء الحقيقي من z موجبًا، فإن: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$يمكن تفسير التكامل الموجود على الجانب الأيمن على أنه تحويل لابلاس . أي،$${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

تنص صيغة بينيه التكاملية الثانية على أنه، مرة أخرى عندما يكون الجزء الحقيقي من z موجبًا، فإن: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

ليكن C مسار هانكل ، أي مسار يبدأ وينتهي عند النقطة ∞ على كرة ريمان ، ويتقارب متجه المماس الوحدوي الخاص به إلى -1 عند بداية المسار وإلى 1 عند نهايته، وله عدد لفات 1 حول 0 ، ولا يتقاطع مع ⁠${\displaystyle [0,\infty )}$. أصلح فرعًا من${\displaystyle \log(-t)}$عن طريق قطع فرع على طول${\displaystyle [0,\infty )}$وبأخذ${\displaystyle \log(-t)}$أن تكون حقيقياً عندما${\displaystyle t}$يقع على المحور الحقيقي السالب. إذا${\displaystyle z}$إذا لم يكن عددًا صحيحًا، فإن صيغة هانكل لدالة جاما هي: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$أين${\displaystyle (-t)^{z-1}}$يُفسر على أنه${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$تؤدي صيغة الانعكاس إلى التعبير ذي الصلة الوثيقة$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$وهو أمر صالح في كل مرة${\displaystyle z\not \in \mathbb {Z} }$⁠ .