إحصائيات اتجاهية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 56 صور
الموسوعة الحرة

الإحصاء الاتجاهي ( ويُعرف أيضاً بالإحصاء الدائري أو الإحصاء الكروي ) هو فرع من فروع الإحصاء يُعنى بالاتجاهات ( متجهات الوحدة في الفضاء الإقليدي ، Rⁿ )، والمحاور ( الخطوط المارة بنقطة الأصل في Rⁿ )، أو الدورانات في Rⁿ . وبشكل أعم، يتناول الإحصاء الاتجاهي الملاحظات على مشعبات ريمانية متراصة ، بما في ذلك مشعب ستيفل .

يمكن تمثيل الشكل العام للبروتين كسلسلة من النقاط على الكرة الوحدة . يوضح الشكلان المنظرين التاليين للرسم البياني الكروي لهذه النقاط لمجموعة كبيرة من هياكل البروتينات. يندرج التحليل الإحصائي لهذه البيانات ضمن مجال الإحصاء الاتجاهي. [ 1 ]

إن حقيقة أن زاويتي الصفر والثلاثمائة درجة متطابقتان ، بحيث لا تُعدّ 180 درجة، على سبيل المثال، متوسطًا منطقيًا لزاويتي درجتين و358 درجة، تُقدّم مثالًا على ضرورة استخدام أساليب إحصائية خاصة لتحليل بعض أنواع البيانات (في هذه الحالة، البيانات الزاوية). ومن الأمثلة الأخرى على البيانات التي يمكن اعتبارها اتجاهية: الإحصاءات المتعلقة بالفترات الزمنية (مثل وقت اليوم، والأسبوع، والشهر، والسنة، وما إلى ذلك)، واتجاهات البوصلة، والزوايا ثنائية السطوح في الجزيئات، والاتجاهات، والدورانات، وما شابه ذلك.

التوزيعات الدائرية

أي دالة كثافة احتمالية (pdf) ص(x){\displaystyle \ p(x)}يمكن "لف" الخط حول محيط دائرة نصف قطرها وحدة واحدة. [ 2 ] أي أن دالة كثافة الاحتمال للمتغير الملفوف θ=xw=xتعديل2π  ∈(-π،π]{\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]} يكون صw(θ)=∑ك=-∞∞ص(θ+2πك).{\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}

يمكن توسيع هذا المفهوم ليشمل السياق متعدد المتغيرات من خلال توسيع المجموع البسيط إلى عدد منF{\displaystyle F}المجاميع التي تغطي جميع الأبعاد في مساحة الميزات: صw(θ)=∑ك1=-∞∞⋯∑كF=-∞∞ص(θ+2πك1هـ1+⋯+2πكFهـF)// _ {1}+\النقاط +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}} أينهـك=(0،...،0،1،0،...،0)تي{\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}هوك{\displaystyle k}متجه الأساس الإقليدي رقم -th.

توضح الأقسام التالية بعض التوزيعات الدائرية ذات الصلة.

توزيع فون ميزس الدائري

يُعدّ توزيع فون ميزس توزيعًا دائريًا، وكأي توزيع دائري آخر، يُمكن اعتباره التفافًا لتوزيع احتمالي خطي مُحدد حول الدائرة. يُعدّ التوزيع الاحتمالي الخطي الأساسي لتوزيع فون ميزس معقدًا رياضيًا؛ ومع ذلك، ولأغراض إحصائية، لا حاجة للتعامل مع هذا التوزيع الخطي الأساسي. تكمن فائدة توزيع فون ميزس في جانبين: فهو أسهل التوزيعات الدائرية من الناحية الرياضية، مما يُتيح تحليلًا إحصائيًا أبسط، كما أنه يُقارب التوزيع الطبيعي المُلتف ، الذي يُعدّ مهمًا، على غرار التوزيع الطبيعي الخطي، لأنه يُمثل الحالة الحدية لمجموع عدد كبير من الانحرافات الزاوية الصغيرة. في الواقع، يُعرف توزيع فون ميزس غالبًا باسم التوزيع "الطبيعي الدائري" نظرًا لسهولة استخدامه وعلاقته الوثيقة بالتوزيع الطبيعي المُلتف. [ 3 ]

دالة توزيع فون ميزس بصيغة PDF هي:و(θ؛μ،κ)=هـκكوس⁡(θ-μ)2πأنا0(κ){\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}} حيثأنا0{\displaystyle I_{0}}هي دالة بيسل المعدلة من الرتبة 0.

توزيع دائري منتظم

دالة كثافة الاحتمال (pdf) للتوزيع الدائري المنتظم معطاة بالصيغة التالية: يو(θ)=12π.{\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}

ويمكن اعتباره أيضًاκ=0{\displaystyle \kappa =0}من فون ميزس المذكور أعلاه.

التوزيع الطبيعي الملتف

دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي الملتف (WN) هي: دبليوشمال(θ؛μ،σ)=1σ2π∑ك=-∞∞خبرة⁡[-(θ-μ-2πك)22σ2]=12πϑ(θ-μ2π،أناσ22π){\displaystyle WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)} حيث μ و σ هما المتوسط ​​والانحراف المعياري للتوزيع غير الملفوف، على التوالي. ϑ(θ،τ){\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}دالة جاكوبي ثيتا هي : ϑ(θ،τ)=∑ن=-∞∞(w2)نqن2{\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty}^{\infty}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}أينw≡هـأناπθ{\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}وq≡هـأناπτ.{\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}

توزيع كوشي المغلف

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع كوشي المغلف (WC) هي: دبليوج(θ؛θ0،γ)=∑ن=-∞∞γπ(γ2+(θ+2πن-θ0)2)=12πسينه⁡γضرب بالعصا⁡γ-كوس⁡(θ-θ0){\displaystyle WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}} حيثγ{\displaystyle \gamma }هو عامل المقياس وθ0{\displaystyle \theta _{0}}هو موضع الذروة.

توزيع ليفي المغلف

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع ليفي المغلف (WL) هي: ودبليول(θ؛μ،ج)=∑ن=-∞∞ج2πهـ-ج/2(θ+2πن-μ)(θ+2πن-μ)3/2{\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}} حيث تعتبر قيمة الجمع صفرًا عندماθ+2πن-μ≤0{\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}،ج{\displaystyle c}هو عامل المقياس وμ{\displaystyle \mu }هو مُعامل الموقع.

التوزيع الطبيعي المتوقع

التوزيع الطبيعي المُسقط هو توزيع دائري يُمثل اتجاه متغير عشوائي ذي توزيع طبيعي متعدد المتغيرات، ويتم الحصول عليه من خلال الإسقاط الشعاعي للمتغير على كرة الوحدة (n-1). ولهذا السبب، وعلى عكس التوزيعات الدائرية الأخرى الشائعة الاستخدام، فهو ليس متناظرًا ولا أحادي المنوال .

التوزيعات على متعددات الأبعاد الأعلى

ثلاث مجموعات من النقاط مأخوذة من توزيعات كينت المختلفة على الكرة.

توجد أيضًا توزيعات على الكرة ثنائية الأبعاد (مثل توزيع كينت [ 4 ] )، والكرة ذات الأبعاد N ( توزيع فون ميزس-فيشر [ 5 ] ) أو الطارة ( توزيع فون ميزس ثنائي المتغيرات [ 6 ] ).

يُعد توزيع فون ميزس-فيشر المصفوفي توزيعًا على مشعب ستيفل ، ويمكن استخدامه لإنشاء توزيعات احتمالية على مصفوفات الدوران . [ 7 ]

توزيع بينغهام هو توزيع على محاور في فضاء ذي N بُعد، أو بصورة مكافئة، على نقاط على كرة ذات ( N  -  1) بُعد، حيث تُحدد النقاط المتقابلة. [ 8 ] على سبيل المثال، إذا كان N  =  2، فإن المحاور عبارة عن خطوط غير موجهة تمر بنقطة الأصل في المستوى. في هذه الحالة، يقطع كل محور دائرة الوحدة في المستوى (وهي الكرة أحادية البعد) عند نقطتين متقابلتين. أما إذا كان N  = 4، فإن توزيع بينغهام هو توزيع على فضاء الكواترنيونات  الوحدوية ( المتجهات الدورانية ). وبما أن المتجه الدوراني يُقابل مصفوفة دوران، فيمكن استخدام توزيع بينغهام لـ N = 4 لإنشاء توزيعات احتمالية على فضاء الدورانات، تمامًا مثل توزيع ماتريكس-فون ميزس-فيشر.  

تُستخدم هذه التوزيعات، على سبيل المثال، في الجيولوجيا ، [ 9 ] وعلم البلورات ، [ 10 ] والمعلوماتية الحيوية . [ 1 ] [ 11 ] [ 12 ]

لحظات

تُعرَّف العزوم المتجهة الخام (أو المثلثية) للتوزيع الدائري على النحو التالي:

من=هـ⁡(zن)=∫ΓP(θ)zندθ{\displaystyle m_{n}=\operatorname {E} (z^{n})=\int _{\Gamma }P(\theta )z^{n}\,d\theta }

أينΓ{\displaystyle \Gamma }أي فاصل زمني بطول2π{\displaystyle 2\pi }،P(θ){\displaystyle P(\theta )}دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الدائري، وz=هـأناθ{\displaystyle z=e^{i\theta }}بما أن التكاملP(θ){\displaystyle P(\theta )}إذا كانت الوحدة هي ، وفترة التكامل محدودة، فإن ذلك يترتب عليه أن لحظات أي توزيع دائري تكون دائمًا محدودة ومحددة جيدًا.

يتم تعريف لحظات العينة بشكل مماثل:

م¯ن=1شمال∑أنا=1شمالzأنان.{\displaystyle {\overline {m}}_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}.}

يتم تعريف متجه المحصلة السكانية والطول ومتوسط ​​الزاوية بشكل مماثل لمعلمات العينة المقابلة.

ρ=م1{\displaystyle \rho =m_{1}}
R=|م1|{\displaystyle R=|m_{1}|}
θن=أرج⁡(من).{\displaystyle \theta _{n}=\operatorname {Arg} (m_{n}).}

بالإضافة إلى ذلك، يتم تعريف أطوال العزوم العليا على النحو التالي:

Rن=|من|{\displaystyle R_{n}=|m_{n}|}

بينما الأجزاء الزاوية للعزوم العليا هي فقط(نθن)تعديل2π{\displaystyle (n\theta _{n}){\bmod {2}}\pi }ستتراوح أطوال جميع العزوم بين 0 و 1.

مقاييس الموقع والانتشار

يمكن تعريف مقاييس مختلفة للنزعة المركزية والتشتت الإحصائي لكل من المجتمع الإحصائي وعينة مسحوبة من ذلك المجتمع. [ 3 ]

الإقليم المركزي

يُعدّ المتوسط ​​الدائري المقياس الأكثر شيوعًا لتحديد الموقع. المتوسط ​​الدائري للمجتمع هو ببساطة العزم الأول للتوزيع، بينما متوسط ​​العينة هو العزم الأول للعينة. ويُعتبر متوسط ​​العينة مُقدِّرًا غير متحيز لمتوسط ​​المجتمع.

عندما تكون البيانات مركزة، يمكن تعريف الوسيط والمنوال بالقياس على الحالة الخطية، ولكن بالنسبة للبيانات الأكثر تشتتًا أو متعددة الأنماط، فإن هذه المفاهيم ليست مفيدة.

تشتت

أكثر مقاييس الانتشار الدائري شيوعاً هي:

  • الالتباين الدائري . بالنسبة للعينة، يُعرَّف التباين الدائري على النحو التالي:متغير⁡(z)¯=1-R¯{\displaystyle {\overline {\operatorname {Var} (z)}}=1-{\overline {R}}}وبالنسبة للسكانمتغير⁡(z)=1-R{\displaystyle \operatorname {Var} (z)=1-R}سيكون لكليهما قيم تتراوح بين 0 و 1.
  • الالانحراف المعياري الدائريS(z)=ln⁡(1/R2)=-2ln⁡(R){\displaystyle S(z)={\sqrt {\ln(1/R^{2})}}={\sqrt {-2\ln(R)}}}S¯(z)=ln⁡(1/R¯2)=-2ln⁡(R¯){\displaystyle {\overline {S}}(z)={\sqrt {\ln(1/{\overline {R}}^{2})}}={\sqrt {-2\ln({\overline {R}})}}}بقيم تتراوح بين صفر وما لا نهاية. يُعدّ هذا التعريف للانحراف المعياري (بدلاً من الجذر التربيعي للتباين) مفيدًا لأنه، بالنسبة للتوزيع الطبيعي الملتف، يُقدّر الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي الأساسي. وبالتالي، سيسمح هذا بتطبيع التوزيع الدائري كما في الحالة الخطية، وذلك للقيم الصغيرة للانحراف المعياري. وينطبق هذا أيضًا على توزيع فون ميزس الذي يُقارب التوزيع الطبيعي الملتف تقريبًا كبيرًا. لاحظ أنه بالنسبة للقيم الصغيرةS(z){\displaystyle S(z)}لديناS(z)2=2متغير⁡(z){\displaystyle S(z)^{2}=2\operatorname {Var} (z)}.
  • التشتت دائريدلتا=1-R22R2{\displaystyle \delta ={\frac {1-R_{2}}{2R^{2}}}}دلتا¯=1-R¯22R¯2{\displaystyle {\overline {\delta }}={\frac {1-{{\overline {R}}_{2}}}{2{\overline {R}}^{2}}}}بقيم تتراوح بين الصفر واللانهاية. يُعدّ هذا المقياس للتشتت مفيدًا في التحليل الإحصائي للتباين.

توزيع المتوسط

بافتراض مجموعة من N قياساتzن=هـأناθن{\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}يُعرَّف متوسط ​​قيمة z على النحو التالي:

z¯=1شمال∑ن=1شمالzن{\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}

والتي يمكن التعبير عنها على النحو التالي

z¯=ج¯+أناS¯{\displaystyle {\overline {z}}={\overline {C}}+i{\overline {S}}}

أين

ج¯=1شمال∑ن=1شمالكوس⁡(θن) و S¯=1شمال∑ن=1شمالالخطيئة⁡(θن){\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n}){\text{ and }}{\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}

أو، بدلاً من ذلك، على النحو التالي:

z¯=R¯هـأناθ¯{\displaystyle {\overline {z}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}

أين

R¯=ج¯2+S¯2 و θ¯=دالة الظل العكسي⁡(S¯/ج¯).{\displaystyle {\overline {R}}={\sqrt {{\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}}{\text{ and }}{\overline {\theta }}=\arctan({\overline {S}}/{\overline {C}}).}

توزيع الزاوية المتوسطة (θ¯{\displaystyle {\overline {\theta }}}) بالنسبة لدالة كثافة الاحتمال الدائرية P ( θ ) سيتم إعطاؤها بواسطة:

P(ج¯،S¯)دج¯دS¯=P(R¯،θ¯)دR¯دθ¯=∫Γ⋯∫Γ∏ن=1شمال[P(θن)دθن]{\displaystyle P({\overline {C}},{\overline {S}})\,d{\overline {C}}\,d{\overline {S}}=P({\overline {R}},{\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}=\int _{\Gamma }\cdots \int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left[P(\theta _{n})\,d\theta _{n}\right]}

أينΓ{\displaystyle \Gamma }يكون على أي فاصل زمني من الطول2π{\displaystyle 2\pi }ويخضع التكامل للشرط التالي:S¯{\displaystyle {\overline {S}}}وج¯{\displaystyle {\overline {C}}}ثابتة، أو بدلاً من ذلك، أنR¯{\displaystyle {\overline {R}}}وθ¯{\displaystyle {\overline {\theta }}}ثابتة.

إن حساب توزيع المتوسط ​​لمعظم التوزيعات الدائرية غير ممكن تحليلياً، ولإجراء تحليل التباين، يلزم استخدام تقريبات عددية أو رياضية. [ 13 ]

يمكن تطبيق نظرية النهاية المركزية على توزيع متوسطات العينات. (المقال الرئيسي: نظرية النهاية المركزية للإحصاءات الاتجاهية ). ويمكن إثبات [ 13 ] أن توزيع[ج¯،S¯]{\displaystyle [{\overline {C}},{\overline {S}}]}يقترب من التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات في حالة حجم العينة الكبير.

اختبار جودة المطابقة والدلالة الإحصائية

بالنسبة للبيانات الدورية – (على سبيل المثال، هل هي موزعة بشكل منتظم)  :

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 هاميلريك، توماس؛ كينت، جون تي؛ كروغ، أندرس (2006). "هاميلريك، تي، كينت، جيه، كروغ، إيه (2006) أخذ عينات من التكوينات البروتينية الواقعية باستخدام التحيز الهيكلي المحلي. PLoS Comput. Biol.، 2(9): e131" . PLOS Computational Biology . 2 (9): e131. Bibcode : 2006PLSCB...2..131H . doi : 10.1371/journal.pcbi.0020131 . PMC 1570370. PMID 17002495 .  
  2. ↑ باهلمان، سي.، (2006)، السمات الاتجاهية في التعرف على الكتابة اليدوية عبر الإنترنت ، التعرف على الأنماط، 39
  3. 1 2 فيشر 1993 .
  4. ↑ كينت، ج (1982) توزيع فيشر-بينغهام على الكرة . مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، 44، 71-80.
  5. ↑ فيشر، ر. أ. (1953) التشتت على سطح كرة. وقائع الجمعية الملكية بلندن، السلسلة أ، 217، 295-305
  6. ↑ مارديا، ك.م. تايلور؛ س.س.؛ سوبرامانيام، ج.ك. (2007). "معلوماتية البروتين الحيوية ومزيج توزيعات فون ميزس ثنائية المتغيرات للبيانات الزاوية". القياسات الحيوية . 63 (2): 505-512 . doi : 10.1111/j.1541-0420.2006.00682.x . PMID 17688502. S2CID 14293602 .  
  7. ↑ داونز (1972). "الإحصاءات الاتجاهية". Biometrika . 59 (3): 665–676 . doi : 10.1093/biomet/59.3.665 .
  8. ↑ بينغهام، سي. (1974). "توزيع متناظر متقابل على الكرة" . حوليات الإحصاء 2 ( 6): 1201-1225 . doi : 10.1214/aos/1176342874 .
  9. ↑ بيل، د.؛ وايتن، و. ج.؛ ماكلاكلان، ج. ج. (2001). "ملاءمة مزيج من توزيعات كينت للمساعدة في تحديد المجموعة المشتركة" (ملف PDF) . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 96 (453): 56-63 . doi : 10.1198/016214501750332974 . S2CID 11667311 . 
  10. ↑ كريجر لاسن، ن.ك.؛ جول جنسن، د.؛ كونرادسن، ك. (1994). "حول التحليل الإحصائي لبيانات التوجيه". أكتا كريستالوغرافيكا . أ50 (6): 741-748 . رمز Bibcode : 1994AcCrA..50..741K . doi : 10.1107/S010876739400437X .
  11. ↑ كينت، جيه تي، وهاميلريك، تي. (2005). استخدام توزيع فيشر-بينغهام في النماذج العشوائية لبنية البروتين. مؤرشف في 20 يناير 2024 على موقع Wayback Machine . في: إس. باربر، وبي دي باكستر، وكيه في مارديا، وآر إي وولس (محررون)، البيولوجيا الكمية، وتحليل الشكل، والمويجات، الصفحات 57-60. ليدز، مطبعة جامعة ليدز.
  12. ↑ بومسما، ​​ووتر؛ مارديا، كانتي ف.؛ تايلور، تشارلز س.؛ فيركينغهوف-بورغ، يسبر؛ كروغ، أندرس؛ هاملريك، توماس (2008). " نموذج توليدي احتمالي لبنية البروتين المحلية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 105 (26): 8932-8937 . Bibcode : 2008PNAS..105.8932B . doi : 10.1073/pnas.0801715105 . PMC 2440424. PMID 18579771 .  
  13. 1 2 جمالاماداكا وسنغوبتا 2001 .

كتب عن الإحصاءات الاتجاهية