فرانك هاراري

كان فرانك هاراري (11 مارس 1921 - 4 يناير 2005) عالم رياضيات أمريكيًا متخصصًا في نظرية الرسوم البيانية . يُعرف على نطاق واسع بأنه أحد "آباء" نظرية الرسوم البيانية الحديثة. ^{[ 1 ]} كان هاراري بارعًا في الشرح الواضح، وقد ساهم، مع العديد من طلاب الدكتوراه، في توحيد مصطلحات الرسوم البيانية. كما وسّع نطاق هذا المجال ليشمل الفيزياء وعلم النفس وعلم الاجتماع، وحتى علم الإنسان. وبفضل حسّه الفكاهي المميز، استطاع هاراري أن يُثير اهتمام الجمهور ويُمتعه على اختلاف مستوياتهم الرياضية. ومن الحيل التي استخدمها تحويل النظريات إلى ألعاب؛ فعلى سبيل المثال، كان الطلاب يحاولون إضافة حواف حمراء إلى رسم بياني بستة رؤوس لتكوين مثلث أحمر، بينما تحاول مجموعة أخرى إضافة حواف لتكوين مثلث أزرق (مع ضرورة أن تكون كل حافة من حواف الرسم البياني إما زرقاء أو حمراء). وبسبب نظرية " الأصدقاء والغرباء" ، كان لا بد لأحد الفريقين أن يفوز.

وُلد فرانك هاراري في مدينة نيويورك ، وهو الابن الأكبر لعائلة من المهاجرين اليهود من سوريا وروسيا . حصل على شهادتي البكالوريوس والماجستير من كلية بروكلين في عامي 1941 و1945 على التوالي ^{[ 2 ]} وحصل على درجة الدكتوراه ، تحت إشراف ألفريد إل فوستر ، من جامعة كاليفورنيا، بيركلي في عام 1948.

قبل مسيرته التدريسية، عمل كمساعد باحث في معهد البحوث الاجتماعية بجامعة ميشيغان .

بذل هاراري جهودًا مضنية لنشر أول منشور له، بعنوان "حلقات ذرية شبيهة بالحلقات البولية ذات جذر محدود"، في مجلة ديوك الرياضية عام 1950. قُدِّم هذا المقال أولًا إلى الجمعية الرياضية الأمريكية في نوفمبر 1948، ثم أُرسل إلى مجلة ديوك الرياضية حيث نُقِّح ثلاث مرات قبل أن يُنشر أخيرًا بعد عامين من تقديمه الأولي. بدأ هاراري مسيرته التدريسية في جامعة ميشيغان عام 1953، حيث شغل منصب أستاذ مساعد، ثم أستاذ مشارك عام 1959، وفي عام 1964 عُيِّن أستاذًا للرياضيات ، وهو المنصب الذي شغله حتى عام 1986.

منذ عام 1987، شغل منصب أستاذ (وأستاذ فخري متميز ) في قسم علوم الحاسوب بجامعة ولاية نيو مكسيكو في لاس كروسيس . وكان أحد مؤسسي مجلة نظرية التوافقية ومجلة نظرية الرسوم البيانية . ^{[ 1 ]}

في عام ١٩٤٩، نشر هاراري كتابه " حول البنية الجبرية للعقد ". وبعد فترة وجيزة، في عام ١٩٥٣، نشر كتابه الأول (بالاشتراك مع جورج أولينبيك) بعنوان "حول عدد أشجار هوسيمي" . وبعد هذا الكتاب، بدأ هاراري في بناء سمعة عالمية لأعماله في نظرية المخططات. وفي عام ١٩٦٥، نُشر كتابه الأول " النماذج الهيكلية: مقدمة في نظرية المخططات الموجهة" ، وظل اهتمامه منصبًا على مجال نظرية المخططات طوال حياته .

بدأ هاراري عمله في نظرية الرسوم البيانية حوالي عام ١٩٦٥، حيث شرع في شراء عقارات في آن أربور ، وتقسيم المنازل التي اشتراها إلى شقق. أدى ذلك إلى انتقادات بسبب سوء الصيانة، و"عشرات المخالفات لقوانين البناء"، وستة قرارات بمصادرة مبانٍ كان يملكها. في مقال صحفي نُشر عام ١٩٦٩، نُقل عن هاراري قوله: "أردنا هذه العقارات فقط لقيمة الأرض... أردنا إخراج المستأجرين"، بينما صرّحت زوجته جاين: "لطالما أردنا مساعدة السود الفقراء في إيجاد مساكن أفضل، لكننا تحملنا اللوم مرارًا وتكرارًا". ^{[ ٣ ] [ ٤ ]} أنجب هاراري وزوجته جاين ستة أطفال: ميريام، وناتالي، وجوديث، وتوماس، وجويل، وشايا.

من عام 1973 إلى عام 2007، شارك هاراري في تأليف خمسة كتب أخرى، جميعها في مجال نظرية الرسوم البيانية. وقبل وفاته، جاب هاراري العالم باحثًا وناشرًا أكثر من 800 ورقة بحثية (بمشاركة نحو 300 مؤلف آخر) في مجلات رياضية ومنشورات علمية أخرى، وهو عدد يفوق ما نشره أي عالم رياضيات آخر باستثناء بول إردوس. وسجل هاراري أنه ألقى محاضرات في 166 مدينة مختلفة في الولايات المتحدة، ونحو 274 مدينة في أكثر من 80 دولة. وكان هاراري فخورًا بشكل خاص بأنه ألقى محاضرات في مدن حول العالم تبدأ جميع حروفها الأبجدية، حتى أنه أدرج حرف "X" عندما سافر إلى زانتن في ألمانيا. كما لعب هاراري دورًا مميزًا في فيلم "غود ويل هانتينغ" الحائز على جوائز . وعرض الفيلم معادلات كان قد نشرها حول تعداد الأشجار، والتي كان من المفترض أن تكون بالغة الصعوبة. ^{[ 5 ]}

في عام ١٩٨٦، تقاعد هاراري من منصبه كأستاذ في جامعة ميشيغان عن عمر يناهز ٦٥ عامًا. لم يكن تقاعده أمرًا هيّنًا، فبعد تقاعده عُيّن أستاذًا متميزًا لعلوم الحاسوب في جامعة ولاية نيو مكسيكو في لاس كروسيس، وظلّ يشغل هذا المنصب حتى وفاته عام ٢٠٠٥. وفي العام نفسه، مُنح هاراري زمالة فخرية في الأكاديمية الوطنية للعلوم في الهند ، كما عمل محررًا لنحو ٢٠ مجلة علمية متخصصة في نظرية الرسوم البيانية والتوافقية . بعد تقاعده، انتُخب هاراري عضوًا فخريًا مدى الحياة في جمعية كلكتا الرياضية وجمعية جنوب إفريقيا الرياضية .

توفي في المركز الطبي التذكاري في لاس كروسيس، نيو مكسيكو . ^{[ 6 ]} عند وفاته في لاس كروسيس، شعر أعضاء قسم علوم الحاسوب بفقدان هذا العقل العظيم الذي عمل معهم. وقد صرّح رئيس قسم علوم الحاسوب آنذاك، ديش رانجان، قائلاً: "كان الدكتور هاراري عالماً حقيقياً شغوفاً بنظرية الرسوم البيانية، التي كانت مصدراً لا ينضب للاكتشافات الجديدة والجمال والفضول والمفاجآت والبهجة بالنسبة له حتى آخر لحظة في حياته".

كان عمل هاراري في نظرية الرسوم البيانية متنوعًا. ومن بين المواضيع التي حظيت باهتمام كبير لديه ما يلي:

• تعداد الرسوم البيانية ، أي عدّ الرسوم البيانية من نوع محدد. ^{[ 7 ]} شارك في تأليف كتاب حول هذا الموضوع (هاراري وبالمر، 1973). تكمن الصعوبة الرئيسية في أنه لا ينبغي عدّ رسمين بيانيين متماثلين مرتين؛ لذا، يجب تطبيق نظرية بوليا للعدّ تحت تأثير المجموعة. كان هاراري خبيرًا في هذا المجال.
• الرسوم البيانية الموقعة . ابتكر هاراري هذا الفرع من نظرية الرسوم البيانية، ^{[ 8 ] [ 9 ]} والذي نشأ من مشكلة في علم النفس الاجتماعي النظري بحثها عالم النفس دوروين كارترايت وهاراري. ^{[ 10 ]}
• تطبيقات نظرية الرسم البياني في العديد من المجالات، وخاصة في العلوم الاجتماعية مثل نظرية التوازن ، وديناميكيات الرأي، ونظرية البطولات . ^{[ 11 ]} شارك هاراري في تأليف أول كتاب إلكتروني لجون وايلي ، بعنوان نظرية الرسم البياني والجغرافيا .

من بين أكثر من 700 مقالة علمية كتبها هاراري، تم تأليف اثنتين بالاشتراك مع بول إردوش ، مما أعطى هاراري رقم إردوش 1. ^{[ 12 ]} ألقى محاضرات على نطاق واسع واحتفظ بقوائم أبجدية للمدن التي تحدث فيها.

نُشر كتاب هاراري الكلاسيكي الأشهر، " نظرية الرسوم البيانية" ، عام ١٩٦٩، وقدّم مدخلاً عملياً إلى هذا المجال. من الواضح أن تركيز هاراري في هذا الكتاب، وفي مؤلفاته الأخرى، انصبّ على التطبيقات المتنوعة لنظرية الرسوم البيانية في مجالات أخرى من الرياضيات والفيزياء وغيرها. يُشير هاراري، في مقدمة كتابه " نظرية الرسوم البيانية"، إلى...

" ...هناك تطبيقات لنظرية الرسم البياني في بعض مجالات الفيزياء والكيمياء وعلوم الاتصالات وتكنولوجيا الحاسوب والهندسة الكهربائية والمدنية والهندسة المعمارية وبحوث العمليات وعلم الوراثة وعلم النفس وعلم الاجتماع والاقتصاد وعلم الإنسان واللغويات. " ^{[ 13 ]}

سرعان ما بدأ هاراري بالترويج للتعلم القائم على الاستقصاء من خلال مؤلفاته، ويتضح ذلك من خلال إشارته إلى منهج مور . وقدّم هاراري إسهامات فريدة في نظرية الرسوم البيانية، إذ استكشف مجالات دراسية متنوعة وحاول بنجاح ربطها بهذه النظرية. يبدأ كتاب هاراري الكلاسيكي " نظرية الرسوم البيانية" بتزويد القارئ بجزء كبير من المعرفة الأساسية بالرسوم البيانية، ثم ينتقل مباشرةً إلى إثبات تنوع المحتوى الذي تتضمنه هذه النظرية. وتظهر بعض المجالات الرياضية الأخرى التي يربطها هاراري مباشرةً بنظرية الرسوم البيانية في كتابه في الفصل الثالث عشر تقريبًا، وتشمل هذه المواضيع الجبر الخطي والجبر المجرد .

كما قدم هاراري إسهاماً مؤثراً في نظرية التعلم الاجتماعي المستخدمة في علم الاجتماع والاقتصاد السلوكي، حيث استنبط معياراً للتوافق في نموذج جون آر بي فرينش للقوة الاجتماعية. ^{[ 14 ]} وقد سبق هذا النموذج، وإن كان في حالة خاصة، نموذج دي جروت للتعلم واسع الانتشار، وذلك بعدة عقود .

أحد دوافع دراسة نظرية الرسوم البيانية هو تطبيقها على المخططات الاجتماعية التي وصفها جاكوب ل. مورينو . فعلى سبيل المثال، استخدم ليون فيستينجر مصفوفة التجاور للمخطط الاجتماعي. ^{[ 15 ]} وقد ربط فيستينجر الزمرة في نظرية الرسوم البيانية بالزمرة الاجتماعية ، وفحص قطر مكعب مصفوفة تجاور المجموعات للكشف عن الزمر. وانضم هاراري إلى إيان روس لتحسين طريقة فيستينجر في الكشف عن الزمر. ^{[ 16 ]}

أدى قبول قوى مصفوفة التجاور إلى ملاحظة هاراري وروس أنه يمكن الحصول على رسم بياني كامل من مربع مصفوفة تجاور شجرة . وبالاعتماد على دراستهما لاكتشاف الزمر، وصفا فئة من الرسوم البيانية التي تكون فيها مصفوفة التجاور هي مربع مصفوفة تجاور شجرة. ^{[ 17 ]}

• إذا كان الرسم البياني G هو مربع شجرة، فإنه يمتلك جذرًا تربيعيًا فريدًا للشجرة
• بعض المفردات الضرورية لفهم هذا البرهان والأساليب المستخدمة هنا موجودة في كتاب هاراري " مربع الشجرة" : (Cliqual، unicliqual، multicliqual، cocliqual، neighbor، neighborly، cut point، block)
• كيفية تحديد ما إذا كان الرسم البياني G يمثل مربع شجرة .

إذا كان الرسم البياني G كاملاً أو يحقق الخصائص الخمس التالية، فإن G = T ²

(i) كل نقطة من G متجاورة و G متصلة.

(ii) إذا التقت مجموعتان متقاربتان عند نقطة واحدة فقط b، فهناك مجموعة ثالثة تشترك معها في b ونقطة أخرى واحدة بالضبط.

(iii) هناك تطابق واحد لواحد بين الزمر والنقاط متعددة الزمر b من G بحيث تحتوي الزمرة C(b) المقابلة لـ b على عدد من النقاط متعددة الزمر يساوي عدد الزمر التي تشمل b.

(رابعاً) لا تتقاطع مجموعتان في أكثر من نقطتين.

(v) عدد أزواج الزمر التي تلتقي في نقطتين هو أقل بواحد من عدد الزمر.

• خوارزمية لإيجاد الجذر التربيعي للشجرة في الرسم البياني G.

الخطوة 1: إيجاد جميع الزمر الكاملة للمجموعة G.

الخطوة الثانية: لتكن الزمر الكاملة للمخطط G هي C₁ _, ..., Cₙ _، ولنعتبر مجموعة من النقاط متعددة الزمر b₁ _, ..., _bₙ المناظرة لهذه الزمر وفقًا للشرط iii. عناصر هذه المجموعة هي النقاط غير الطرفية للمخطط T. أوجد جميع التقاطعات الثنائية للزمر الكاملة n، وشكّل المخطط S بربط النقطتين bᵢ _و bⱼ _بخط مستقيم إذا وفقط إذا تقاطعت الزمر الكاملة المناظرة Cᵢ _و Cⱼ _في نقطتين. عندئذٍ يكون S شجرة وفقًا للشرط v.

الخطوة 3: لكل مجموعة فرعية Cᵢ _من G، ليكن nᵢ _{عدد النقاط المتساوية في المجموعة الفرعية الواحدة. أضف nᵢ} نقطة نهاية إلى bᵢ _للشجرة S التي تم الحصول عليها في الخطوة 2، لتحصل على الشجرة T التي كنا نبحث عنها.

بمجرد الحصول على الشجرة المطلوبة، يمكننا إنشاء مصفوفة تجاور لها والتحقق من أنها بالفعل الشجرة التي نبحث عنها. يُفترض أن يؤدي تربيع مصفوفة تجاور T إلى الحصول على مصفوفة تجاور لرسم بياني متماثل مع الرسم البياني G الذي بدأنا به. ولعل أبسط طريقة لملاحظة هذه النظرية عمليًا هي دراسة الحالة التي ذكرها هاراري في كتابه "مربع الشجرة". يصف المثال المذكور تحديدًا الشجرة التي تُطابق الرسم البياني K ₅

لنفترض شجرة تتكون من نقطة واحدة متصلة بجميع النقاط الأخرى. عند تربيع الشجرة، نحصل على الرسم البياني الكامل. نريد توضيح ذلك... T ²${\displaystyle =}$K ₅ "

عند تربيع مصفوفة التجاور للشجرة المذكورة سابقًا، نلاحظ صحة النظرية. كما نلاحظ أن هذا النمط من إنشاء الشجرة، حيث "ترتبط نقطة واحدة بجميع النقاط الأخرى"، يُنتج دائمًا الشجرة الصحيحة لجميع الرسوم البيانية الكاملة.

• 1965: (مع روبرت ز. نورمان ودوروين كارترايت)، النماذج الهيكلية: مقدمة لنظرية الرسوم البيانية الموجهة ، نيويورك: وايلي MR 0184874 
• 1967: (محرر) نظرية الرسم البياني والفيزياء النظرية ، دار النشر الأكاديمية MR 0232694 
• 1969: نظرية الرسم البياني ، أديسون-ويسلي MR 0256911 
• 1971: (محرر مع هربرت ويلف ) الجوانب الرياضية لتحليل الشبكات الكهربائية ، وقائع SIAM-AMS، المجلد 3، الجمعية الرياضية الأمريكية MR 0329788 
• 1973: (محرر) اتجاهات جديدة في نظرية الرسوم البيانية: وقائع مؤتمر آن أربور لعام 1971 حول نظرية الرسوم البيانية ، جامعة ميشيغان، دار النشر الأكاديمية MR 0340065 
• 1973: (مع إدغار م. بالمر) التعداد البياني ، دار النشر الأكاديمية MR 0357214 
• 1979: (محرر) موضوعات في نظرية الرسم البياني ، أكاديمية نيويورك للعلوم MR 0557879 
• 1984: (مع بير هاج) النماذج الهيكلية في الأنثروبولوجيا ، دراسات كامبريدج في الأنثروبولوجيا الاجتماعية والثقافية، مطبعة جامعة كامبريدج MR 0738630 
• 1990: (مع فريد باكلي) المسافة في الرسوم البيانية ، دار نشر بيرسيوس MR 1045632 
• 1991: (مع بير هاج) التبادل في أوقيانوسيا: تحليل نظري للرسم البياني ، دراسات أكسفورد في الأنثروبولوجيا الاجتماعية والثقافية، مطبعة جامعة أكسفورد .
• 2002: (مع ساندرا لاش أرلينغهاوس وويليام سي. أرلينغهاوس) نظرية الرسم البياني والجغرافيا: كتاب إلكتروني تفاعلي ، جون وايلي وأولاده MR 1936840 
• 2007: (مع بير هاج) شبكات الجزر: التواصل والقرابة وهياكل التصنيف في أوقيانوسيا (التحليل الهيكلي في العلوم الاجتماعية) ، مطبعة جامعة كامبريدج.

• فرانك هاراري في مشروع علم الأنساب الرياضي
• نصب تذكاري لفرانك هاراري من جامعة ولاية نيو مكسيكو