رسم بياني موقع

الموسوعة الحرة
توجد ثماني طرق لتوزيع الإشارات على أضلاع المثلث. وبحسب نظرية فريتز هايدر ، فإن العدد الفردي من الإشارات السالبة يُنتج مثلثًا غير متوازن.

في مجال نظرية الرسم البياني في الرياضيات ، الرسم البياني الموقّع هو رسم بياني يكون لكل حافة فيه إشارة موجبة أو سالبة.

يكون الرسم البياني الموقّع متوازنًا إذا كان حاصل ضرب إشارات الحواف حول كل دورة موجبًا. ظهر مصطلح "الرسم البياني الموقّع" ومفهوم التوازن لأول مرة في ورقة بحثية رياضية لفرانك هاراري عام 1953. [ 1 ] وكان دينيس كونيغ قد درس مفاهيم مكافئة عام 1936 بمصطلحات مختلفة، لكن دون إدراك أهمية مجموعة الإشارات. [ 2 ] وفي مركز ديناميكيات الجماعة بجامعة ميشيغان ، عمّم دوروين كارترايت وهاراري نظرية فريتز هايدر النفسية للتوازن في مثلثات المشاعر إلى نظرية نفسية للتوازن في الرسوم البيانية الموقّعة. [ 3 ] [ 4 ]

أُعيد اكتشاف الرسوم البيانية الموقعة مرات عديدة نظرًا لظهورها الطبيعي في العديد من المجالات غير المترابطة. [ 5 ] على سبيل المثال، فهي تُمكّن من وصف وتحليل هندسة المجموعات الفرعية لأنظمة الجذور الكلاسيكية . وتظهر في نظرية الرسوم البيانية الطوبولوجية ونظرية الزمر . كما أنها تُشكّل سياقًا طبيعيًا للتساؤلات حول الدورات الفردية والزوجية في الرسوم البيانية. وتظهر أيضًا في حساب طاقة الحالة الأرضية في نموذج إيزينغ غير المغناطيسي ؛ حيث يتطلب ذلك إيجاد أكبر مجموعة حواف متوازنة في Σ. وقد طُبّقت في تصنيف البيانات في تجميع الارتباطات .

النظرية الأساسية

إشارة المسار هي حاصل ضرب إشارات حوافه. وبالتالي، يكون المسار موجبًا فقط إذا كان عدد الحواف السالبة فيه زوجيًا (حيث الصفر عدد زوجي). في نظرية التوازن الرياضي لفرانك هاراري ، يكون الرسم البياني الموقّع متوازنًا عندما تكون كل دورة فيه موجبة. يثبت هاراري أن الرسم البياني الموقّع يكون متوازنًا عندما (1) يكون لكل زوج من العقد نفس الإشارة لجميع المسارات بينهما، أو (2) تنقسم الرؤوس إلى مجموعتين جزئيتين (قد تكونان فارغتين)، تحتوي كل منهما على حواف موجبة فقط، ولكنها متصلة بحواف سالبة. [ 1 ] تعمم هذه النظريةَ القائلة بأن الرسم البياني العادي (غير الموقّع) يكون ثنائي الأجزاء إذا وفقط إذا كان طول كل دورة فيه زوجيًا.

يستخدم برهان بسيط طريقة التبديل. تبديل الرسم البياني الموقّع يعني عكس إشارات جميع الحواف بين مجموعة جزئية من الرؤوس ومتممتها. لإثبات نظرية هاراري، يُبيّن بالاستقراء أن Σ يمكن تبديلها لتكون جميعها موجبة إذا وفقط إذا كانت متوازنة.

تنص نظرية أضعف، ولكن برهانها أبسط، على أنه إذا كانت كل دورة ثلاثية في رسم بياني كامل مُوَقَّع موجبة، فإن الرسم البياني يكون متوازنًا. ولإثبات ذلك، نختار عقدة عشوائية n ونضعها مع جميع العقد المرتبطة بها بحافة موجبة في مجموعة واحدة تُسمى A ، وجميع العقد المرتبطة بها بحافة سالبة في المجموعة الأخرى التي تُسمى B. ولأن هذا الرسم البياني كامل، يجب أن تكون كل عقدتين في A متجاورتين، وكذلك كل عقدتين في B متجاورتين، وإلا ستكون هناك دورة ثلاثية غير متوازنة. (ولأن هذا الرسم البياني كامل، فإن أي حافة سالبة واحدة ستؤدي إلى دورة ثلاثية غير متوازنة). وبالمثل، يجب أن تكون جميع الحواف السالبة بين المجموعتين. [ 6 ]

إحباط

مؤشر الإحباط

مؤشر الإحباط (الذي كان يُسمى سابقًا مؤشر توازن الخط [ 7 ] ) للشبكة Σ هو أصغر عدد من الحواف التي يؤدي حذفها، أو عكس إشارتها (وفقًا لنظرية هاراري [ 7 ] )، إلى توازن الشبكة Σ. ويكمن سبب هذه المعادلة في أن مؤشر الإحباط يساوي أصغر عدد من الحواف التي يؤدي نفيها (أو حذفها، أو ما يعادله) إلى توازن الشبكة Σ.

ثمة طريقة أخرى لوصف مؤشر الإحباط، وهي أنه أصغر عدد من الحواف التي تغطي جميع الدورات السلبية. وقد أطلق على هذه الكمية اسم عدد تغطية الدورات السلبية .

يوجد تعريف مكافئ آخر (يمكن إثباته بسهولة عن طريق التبديل). أعطِ كل رأس قيمة +1 أو -1 ؛ ونسمي هذا حالة من حالات Σ. يُقال إن الحافة مُرضية إذا كانت موجبة وكان لكلا طرفيها نفس القيمة، أو سالبة وكان لكلا طرفيها قيمتان متعاكستان. تُسمى الحافة غير المُرضية مُحبطة . أصغر عدد من الحواف المُحبطة في جميع الحالات هو مؤشر الإحباط. تم تقديم هذا التعريف لأول مرة بصيغة مختلفة بواسطة أبيلسون وروزنبرغ تحت الاسم (القديم) للتعقيد . [ 8 ] مُكمل هذه المجموعة هو رسم بياني فرعي متوازن من Σ يحتوي على أكبر عدد ممكن من الحواف.

إيجاد مؤشر الإحباط هو مشكلة صعبة من نوع NP .

يمكن للمرء أن يرى التعقيد NP-hard من خلال ملاحظة أن مؤشر الإحباط للرسم البياني ذي الإشارة السالبة بالكامل هو نفسه مشكلة القطع الأقصى في نظرية الرسم البياني، وهي مشكلة NP-hard.

يُعدّ مؤشر الإحباط مهمًا في نموذج زجاج الدوران ، وهو نموذج إيزينغ المختلط . في هذا النموذج، يكون الرسم البياني المُوَقَّع ثابتًا. تتكون الحالة من إعطاء "دوران"، إما "لأعلى" أو "لأسفل"، لكل رأس. نعتبر الدوران لأعلى +1 والدوران لأسفل -1 . بالتالي، تحتوي كل حالة على عدد من الحواف المُحبطة. تزداد طاقة الحالة عندما يكون لديها عدد أكبر من الحواف المُحبطة، لذا فإن الحالة الأرضية هي الحالة ذات أقل طاقة مُحبطة. لذلك، لإيجاد طاقة الحالة الأرضية لـ Σ، يجب إيجاد مؤشر الإحباط.

رقم الإحباط

يُعرف عدد الرؤوس المماثل بعدد الإحباط ، وهو أصغر عدد من الرؤوس التي يؤدي حذفها من Σ إلى تحقيق التوازن. وبصورة مكافئة، يُراد الحصول على أكبر رتبة لرسم بياني فرعي متوازن مُستحث من Σ.

المشاكل الخوارزمية

ثلاثة أسئلة أساسية حول الرسم البياني الموقّع هي: هل هو متوازن؟ ما هو أكبر حجم لمجموعة حواف متوازنة فيه؟ ما هو أقل عدد من الرؤوس التي يجب حذفها لجعله متوازنًا؟ السؤال الأول سهل الحل في وقت متعدد الحدود. يُسمى السؤال الثاني مؤشر الإحباط أو مسألة الرسم البياني الفرعي المتوازن الأقصى . وهو من المسائل الصعبة حسابيًا (NP-hard) لأن حالته الخاصة (عندما تكون جميع حواف الرسم البياني سالبة) هي مسألة القطع الأقصى الصعبة حسابيًا (NP-hard ) . يُسمى السؤال الثالث عدد الإحباط أو مسألة الرسم البياني الفرعي المستحث المتوازن الأقصى ، وهو أيضًا من المسائل الصعبة حسابيًا (NP-hard ) ؛ انظر على سبيل المثال [ 9 ].

نظرية الماترويد

يوجد نوعان من الماترويدات المرتبطة بالرسم البياني الموقّع، وهما ماترويد الرسم البياني الموقّع (ويُسمى أيضًا ماترويد الإطار أو أحيانًا ماترويد الانحياز ) وماترويد الرفع ، وكلاهما يُعمّم ماترويد الدورة للرسم البياني. وهما حالتان خاصتان من نفس الماترويدات للرسم البياني المنحاز .

تتكون مجموعة حواف الماترويد الإطاري ( أو الماترويد البياني الموقّع ) M ( G ) من مجموعة الحواف E. [ 10 ] تكون مجموعة الحواف مستقلة إذا احتوى كل مكون منها إما على دائرة واحدة فقط، وهي سالبة، دون أي دوائر. ( في نظرية الماترويد، تعمل نصف الحافة تمامًا كحلقة سالبة). تتكون دائرة الماترويد إما من دائرة موجبة، أو من زوج من الدوائر السالبة مع مسار بسيط يربط بينهما، بحيث تكون الدائرتان إما منفصلتين (في هذه الحالة، يشترك المسار الرابط في أحد طرفيه مع كل دائرة، ويكون منفصلاً عنهما فيما عدا ذلك) أو تشتركان في رأس واحد فقط (في هذه الحالة، يكون المسار الرابط هو ذلك الرأس). رتبة مجموعة الحواف S هي n - b ، حيث n هو عدد رؤوس G و b هو عدد المكونات المتوازنة في S ، مع احتساب الرؤوس المنفردة كمكونات متوازنة. هذا الماترويد هو ماترويد العمود لمصفوفة الوقوع للرسم البياني الموقّع. ولهذا السبب، فهو يصف التبعيات الخطية لجذور نظام جذري كلاسيكي.

تحتوي الماترويد الممتد L₀ ( G ) على مجموعة أساسية هي E₀، وهي اتحاد مجموعة الحواف E مع نقطة إضافية ، نرمز لها بـ e₀ . الماترويد الممتد L ( G ) هو الماترويد الممتد المقيد بـ E. تعمل النقطة الإضافية تمامًا كحلقة سالبة، لذا سنصف الماترويد الممتد فقط. تكون مجموعة الحواف مستقلة إذا لم تحتوي على أي دوائر أو إذا احتوت على دائرة واحدة فقط، وهي سالبة. (هذه هي القاعدة نفسها التي تُطبق بشكل منفصل على كل مكون في الماترويد ذي الرسم البياني المُوَقَّع). دائرة الماترويد هي إما دائرة موجبة أو زوج من الدوائر السالبة، إما منفصلة أو لها رأس مشترك فقط. رتبة مجموعة الحواف S هي n - c + ε، حيث c هو عدد مكونات S ، مع احتساب الرؤوس المنفردة، و ε تساوي 0 إذا كانت S متوازنة و 1 إذا لم تكن كذلك.

Other kinds of "signed graph"

Sometimes the signs are taken to be +1 and −1. This is only a difference of notation, if the signs are still multiplied around a circle and the sign of the product is the important thing. However, there are two other ways of treating the edge labels that do not fit into signed graph theory.

The term signed graph is applied occasionally to graphs in which each edge has a weight, w(e) = +1 or −1. These are not the same kind of signed graph; they are weighted graphs with a restricted weight set. The difference is that weights are added, not multiplied. The problems and methods are completely different.

The name is also applied to graphs in which the signs function as colors on the edges. The significance of the color is that it determines various weights applied to the edge, and not that its sign is intrinsically significant. This is the case in knot theory, where the only significance of the signs is that they can be interchanged by the two-element group, but there is no intrinsic difference between positive and negative. The matroid of a sign-colored graph is the cycle matroid of the underlying graph; it is not the frame or lift matroid of the signed graph. The sign labels, instead of changing the matroid, become signs on the elements of the matroid.

In this article we discuss only signed graph theory in the strict sense. For sign-colored graphs see colored matroids.

Signed digraph

A signed digraph is a directed graph with signed arcs. Signed digraphs are far more complicated than signed graphs, because only the signs of directed cycles are significant. For instance, there are several definitions of balance, each of which is hard to characterize, in strong contrast with the situation for signed undirected graphs.

Signed digraphs should not be confused with oriented signed graphs. The latter are bidirected graphs, not directed graphs (except in the trivial case of all positive signs).

Vertex signs

الرسم البياني ذو الإشارات الرأسية ، والذي يُسمى أحيانًا الرسم البياني المُعلَّم ، هو رسم بياني تُعطى رؤوسه إشارات. تُسمى الدائرة متسقة (لكن هذا لا علاقة له بالاتساق المنطقي) أو متناغمة إذا كان حاصل ضرب إشارات رؤوسها موجبًا، وغير متسقة أو غير متناغمة إذا كان حاصل الضرب سالبًا. لا يوجد توصيف بسيط للرسوم البيانية المتناغمة ذات الإشارات الرأسية يُشابه نظرية هاراري للتوازن؛ بل كان التوصيف مشكلة معقدة، وقد حلّها جوجليكار وشاه وديوان (2012) على نحو أفضل (وبشكل أعم). [ 11 ]

غالباً ما يكون من السهل إضافة إشارات الحواف إلى نظرية إشارات الرؤوس دون تغيير جوهري؛ لذا، فإن العديد من نتائج الرسوم البيانية ذات إشارات الرؤوس (أو "الرسوم البيانية ذات الإشارات المميزة") تمتد بشكل طبيعي إلى الرسوم البيانية ذات إشارات الرؤوس والحواف. وينطبق هذا بشكل خاص على توصيف التناغم الذي قدمه جوجليكار وشاه وديوان (2012).

الفرق بين الرسم البياني الموقع المحدد والرسم البياني الموقع مع دالة الحالة (كما في § الإحباط ) هو أن علامات الرؤوس في الأول هي جزء من البنية الأساسية، بينما دالة الحالة هي دالة متغيرة على الرسم البياني الموقع.

لاحظ أن مصطلح "الرسم البياني المميز" يستخدم على نطاق واسع في شبكات بتري بمعنى مختلف تمامًا؛ انظر المقالة حول الرسوم البيانية المميزة .

تلوين

كما هو الحال مع الرسوم البيانية غير الموقعة ، يوجد مفهوم تلوين الرسوم البيانية الموقعة. فبينما يُعرَّف تلوين الرسم البياني بأنه ربط بين مجموعة الرؤوس والأعداد الطبيعية، فإن تلوين الرسم البياني الموقع هو ربط بين مجموعة الرؤوس والأعداد الصحيحة. وتنشأ قيود التلوين الصحيح من حواف الرسم البياني الموقع. يجب أن يكون العددان الصحيحان المُعيَّنان لرأسين مختلفين إذا كانا متصلين بحافة موجبة. ويجب ألا تكون القيم على الرؤوس المتجاورة معكوسة جمعيًا إذا كانت الرؤوس متصلة بحافة سالبة. ولا يمكن أن يكون هناك تلوين صحيح لرسم بياني موقع يحتوي على حلقة موجبة.

عند حصر تسميات الرؤوس في مجموعة الأعداد الصحيحة التي لا تتجاوز قيمتها عددًا طبيعيًا k ، تكون مجموعة التلوينات الصحيحة للرسم البياني الموقّع محدودة. العلاقة بين عدد هذه التلوينات الصحيحة و k هي دالة متعددة الحدود في k ؛ عند التعبير عنها بدلالة2ك+1{\displaystyle 2k+1}يُطلق عليه اسم متعددة الحدود اللونية للرسم البياني المُوَقَّع. وهو مماثل لمتعددة الحدود اللونية للرسم البياني غير المُوَقَّع.

التطبيقات

علم النفس الاجتماعي

في علم النفس الاجتماعي ، تُستخدم الرسوم البيانية الموقعة لنمذجة المواقف الاجتماعية، حيث تمثل الحواف الموجبة الصداقات، والحواف السالبة العداوات بين العقد التي تمثل الأفراد. [ 3 ] فعلى سبيل المثال، تتكون الدورة الثلاثية الموجبة إما من ثلاثة أصدقاء مشتركين، أو صديقين لهما عدو مشترك؛ بينما تتكون الدورة الثلاثية السالبة إما من ثلاثة أعداء مشتركين، أو عدوين لهما صديق مشترك. ووفقًا لنظرية التوازن ، فإن الدورات الموجبة متوازنة، ويُفترض أنها تمثل مواقف اجتماعية مستقرة، بينما الدورات السالبة غير متوازنة، ويُفترض أنها تمثل مواقف اجتماعية غير مستقرة. ووفقًا لهذه النظرية، في حالة وجود ثلاثة أعداء مشتركين، يُرجح أن يؤدي اشتراكهم في عدو مشترك إلى توطيد علاقة صداقة بين اثنين منهم . أما في حالة وجود عدوين لهما صديق مشترك، فمن المرجح أن يختار الصديق المشترك أحدهما على الآخر، مما قد يحول إحدى صداقاته إلى عداء.

يعتبر أنتال وكرابيفسكي وريدر الديناميكيات الاجتماعية بمثابة تغيير في إشارة حافة في رسم بياني مُوَقَّع. [ 12 ] تُستخدم العلاقات الاجتماعية مع الأصدقاء السابقين لزوجين مُطلَّقين لتوضيح تطور الرسم البياني المُوَقَّع في المجتمع. ويصف مثال آخر التحالفات الدولية المتغيرة بين القوى الأوروبية في العقود التي سبقت الحرب العالمية الأولى . ويتناولون ديناميكيات الثلاثيات المحلية وديناميكيات الثلاثيات المُقَيَّدة، حيث لا يحدث تغيير في العلاقة في الحالة الأخيرة إلا عند تقليل العدد الإجمالي للثلاثيات غير المتوازنة. تفترض المحاكاة رسمًا بيانيًا كاملًا بعلاقات عشوائية مع اختيار ثلاثي غير متوازن عشوائي للتحويل. تتم دراسة تطور الرسم البياني المُوَقَّع ذي N عقدة في ظل هذه العملية ومحاكاته لوصف الكثافة الثابتة للروابط الودية.

واجهت نظرية التوازن تحديات كبيرة، لا سيما عند تطبيقها على الأنظمة الكبيرة، وذلك استنادًا إلى الأسس النظرية التي تفترض أن العلاقات الودية تربط المجتمع، بينما يكون المجتمع المنقسم إلى معسكرين من الأعداء غير مستقر للغاية. [ 13 ] كما لم تقدم الدراسات التجريبية سوى تأكيد ضعيف لتوقعات نظرية التوازن الهيكلي. [ 14 ]

نظارات دوارة

في الفيزياء، تعتبر الرسوم البيانية الموقعة سياقًا طبيعيًا لنموذج إيزينغ غير المغناطيسي الحديدي ، والذي يتم تطبيقه على دراسة الزجاج المغزلي .

الأنظمة المعقدة

رسم بياني موجه ذو ثلاثة متغيرات يمثل نظامًا غذائيًا بسيطًا

باستخدام أسلوب تحليلي طُوِّر في الأصل في علم الأحياء السكاني وعلم البيئة، ولكنه يُستخدم الآن في العديد من التخصصات العلمية، وجدت الرسوم البيانية الموجهة الموقعة تطبيقًا في الاستدلال حول سلوك الأنظمة السببية المعقدة. [ 15 ] [ 16 ] تجيب هذه التحليلات على أسئلة حول التغذية الراجعة عند مستويات معينة من النظام، وحول اتجاه استجابات المتغيرات عند حدوث اضطراب في النظام عند نقطة واحدة أو أكثر، وارتباطات المتغيرات عند حدوث هذه الاضطرابات، وتوزيع التباين عبر النظام، وحساسية أو عدم حساسية متغيرات معينة لاضطرابات النظام.

تجميع البيانات

يبحث التجميع الارتباطي عن التجميع الطبيعي للبيانات بناءً على التشابه. تُمثل نقاط البيانات برؤوس الرسم البياني، حيث يربط ضلع موجب العناصر المتشابهة، بينما يربط ضلع سالب العناصر غير المتشابهة.

علم الأعصاب

يمكن اعتبار الدماغ بمثابة رسم بياني مُوَقَّع، حيث يُحدِّد التزامن وعدم التزامن بين أنماط نشاط مناطق الدماغ الحواف الإيجابية والسلبية. وفي هذا السياق، يُمكن استكشاف استقرار وطاقة شبكة الدماغ. [ 17 ] كما استُخدم مفهوم الإحباط مؤخرًا في تحليل شبكة الدماغ لتحديد التجمعات غير البسيطة للوصلات العصبية وإبراز العناصر القابلة للتعديل في الدماغ. [ 18 ]

التعميمات

الرسم البياني المُوَقَّع هو نوع خاص من رسوم بيانية الكسب، حيث تكون رتبة مجموعة الكسب فيه 2. الزوج ( G , B (Σ)) المُحدد بواسطة الرسم البياني المُوَقَّع Σ هو نوع خاص من الرسوم البيانية المُنحازة . تتميز مجموعة الإشارة بخاصية فريدة، لا تشترك فيها مجموعات الكسب الأكبر، وهي أن إشارات الحواف تُحدد حتى التبديل بواسطة مجموعة B (Σ) من الدورات المتوازنة. [ 19 ]

ملحوظات

  1. 1 2 هاراري، فرانك (1955)، "حول مفهوم توازن الرسم البياني الموقّع" ، مجلة ميشيغان الرياضية ، 2 : 143-146 ، MR 0067468 {{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  2. ^ كونيغ، دينس (1936)، Akademische Verlagsgesellschaft (محرر)، Theorie der endlichen und unendlichen Graphen
  3. 1 2 كارترايت، د.؛ هاراري، فرانك (1956). "التوازن الهيكلي: تعميم لنظرية هايدر" (ملف PDF) . مجلة علم النفس . 63 (5): 277-293 . doi : 10.1037/h0046049 . PMID 13359597 . 
  4. ↑ ستيفن ستروغاتز (2010)، عدو عدوي ، صحيفة نيويورك تايمز ، 14 فبراير 2010
  5. ↑ زاسلافسكي، توماس (1998)، "ببليوغرافيا رياضية للرسوم البيانية الموقعة ورسوم الربح والمجالات ذات الصلة" ، المجلة الإلكترونية للتوافقية ، 5 ، الدراسات الديناميكية 8، 124 صفحة، MR 1744869 .
  6. ↑ لويس فون آن، علم الويب، المحاضرة 3، صفحة 28
  7. 1 2 هاراري، فرانك (1959)، حول قياس التوازن الهيكلي، العلوم السلوكية 4، 316-323.
  8. ↑ روبرت ب. أبيلسون؛ ميلتون ج. روزنبرغ (1958)، المنطق النفسي الرمزي: نموذج للإدراك السلوكي، العلوم السلوكية 3، 1-13.
  9. ↑ غولبينار، ن.؛ غوتين، ج .؛ ميترا، ج.؛ زفيروفيتش، أ. (2004). "استخراج المصفوفات الفرعية للشبكة البحتة في البرامج الخطية باستخدام الرسوم البيانية الموقعة". الرياضيات التطبيقية المنفصلة 137 (3): 359-372 . doi : 10.1016/S0166-218X(03)00361-5 .
  10. ↑ زاسلافسكي، توماس (1982)، "الرسوم البيانية الموقعة"، الرياضيات التطبيقية المنفصلة ، ​​4 (1): 47-74 ، doi : 10.1016/0166-218X(82)90033-6 ، hdl : 10338.dmlcz/127957 ، MR 0676405 تصحيح. الرياضيات التطبيقية المنفصلة ، ​​5 (1983)، 248
  11. ↑ ماناس جوجليكار، نيسارج شاه، وأجيت أ. ديوان (2012)، "الرسوم البيانية المصنفة للمجموعات المتوازنة"، الرياضيات المتقطعة ، المجلد 312، العدد 9، الصفحات 1542-1549.
  12. ↑ تي. أنتال، بي. إل. كرابيفسكي، وإس. ريدنر (2006) التوازن الاجتماعي على الشبكات: ديناميكيات الصداقة والعداء
  13. ↑ ب. أندرسون، في كتاب "وجهات نظر حول أبحاث الشبكات الاجتماعية" ، تحرير ب. و. هولاند وس. لينهارت. نيويورك: دار النشر الأكاديمية، 1979.
  14. ↑ موريسيت، جوليان أو.؛ ​​جانكي، جون سي. (1967). "انعدام العلاقات وعلاقات القوة الصفرية في نظرية التوازن الهيكلي". العلاقات الإنسانية . 20 (2): 189-195 . doi : 10.1177/001872676702000207 . S2CID 143210382 . 
  15. ↑ بوتشيا، تشارلز جيه وليفينز، ريتشارد (1986). النمذجة النوعية للأنظمة المعقدة: مقدمة في تحليل الحلقات والمتوسط ​​الزمني . مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس.
  16. ↑ دامباخر، جيفري م.؛ لي، حيرام و.؛ روسينيول، فيليب أ. (2002). "أهمية بنية المجتمع في تقييم عدم حتمية التنبؤات البيئية". علم البيئة . 83 (5): 1372-1385 . doi : 10.1890/0012-9658(2002)083 [ 1372: rocsia ] 2.0.co ; 2. JSTOR 3071950 . 
  17. ↑ صابري م، خسروابادي ر، خطيبي أ، ميسيتش ب، جعفري ج (يناير 2021). "التأثير الطوبولوجي للروابط السلبية على استقرار شبكة الدماغ في حالة الراحة" . التقارير العلمية . 11 (1): 2176. Bibcode : 2021NatSR..11.2176S . doi : 10.1038/ s41598-021-81767-7 . PMC 7838299. PMID 33500525 .  
  18. ↑ صابري م، خسروابادي ر، خطيبي أ، ميسيتش ب، جعفري ج (أكتوبر 2022). "نمط تكوين الإحباط في الشبكة الدماغية الوظيفية" . علم الأعصاب الشبكي . 6 (4): 1334-1356 . doi : 10.1162/netn_a_00268 . PMC 11117102. PMID 38800463 .  
  19. ↑ زاسلافسكي، توماس (1981). "خصائص الرسوم البيانية الموقعة". مجلة نظرية الرسوم البيانية . 5 (4): 401-406 . doi : 10.1002/jgt.3190050409 .

مراجع