معضلة الزيادة الأساسية

في حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ، تُعتبر مبرهنة الزيادة الأساسية نتيجة مباشرة لتعريف المشتقة .${\textstyle f'(a)}$دالة​${\textstyle f}$في نقطة${\textstyle a}$:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

تؤكد اللمة أن وجود هذه المشتقة يستلزم وجود دالة${\displaystyle \varphi }$بحيث

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}$

لقيم صغيرة بما فيه الكفاية ولكنها غير صفرية${\textstyle h}$ولإثبات ذلك، يكفي تعريف

${\displaystyle \varphi (h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}-f'(a)}$

وتحقق من ذلك${\displaystyle \varphi }$يفي بالمتطلبات.

تقول اللمة، على الأقل عندما${\displaystyle h}$يكون قريبًا بما فيه الكفاية من الصفر، بحيث يكون حاصل قسمة الفرق

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

يمكن كتابتها على شكل المشتقة f' بالإضافة إلى حد الخطأ${\displaystyle \varphi (h)}$الذي يختفي عند${\displaystyle h=0}$.

أي أن المرء لديه

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)+\varphi (h).}$

في ذلك وجود${\displaystyle \varphi }$يتميز هذا الرقم بشكل فريد${\displaystyle f'(a)}$يمكن القول إنّ مبرهنة الزيادة الأساسية تُحدد قابلية اشتقاق الدوال ذات المتغير الواحد. ولهذا السبب، يمكن استخدام تعميم لهذه المبرهنة في تعريف قابلية الاشتقاق في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات . على وجه الخصوص، لنفترض أن f تُحول مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$يُقال إن الدالة f قابلة للتفاضل عند النقطة a إذا كانت هناك دالة خطية

${\displaystyle M:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

ووظيفة

${\displaystyle \Phi :D\to \mathbb {R} ,\qquad D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{\mathbf {0} \},}$

بحيث

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}\Phi (\mathbf {h} )=0\qquad {\text{and}}\qquad f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=M(\mathbf {h} )+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

بالنسبة لقيم h غير الصفرية القريبة بما فيه الكفاية من الصفر . في هذه الحالة، M هي المشتقة الوحيدة (أو المشتقة الكلية ، للتمييز بينها وبين المشتقات الاتجاهية والجزئية ) للدالة f عند النقطة a . والجدير بالذكر أن M تُعطى بواسطة مصفوفة جاكوبي للدالة f عند النقطة a .

يمكننا كتابة المعادلة أعلاه بدلالة المشتقات الجزئية${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$مثل

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{i}}}h_{i}+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

• تعميمات المشتقة

• تالمان، لويس (12 سبتمبر 2007). "قابلية التفاضل للدوال متعددة المتغيرات" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 20 يونيو 2010. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يونيو 2012 .
• ستيوارت، جيمس (2008). حساب التفاضل والتكامل (  الطبعة السابعة). سينجايج ليرنينج. ص  942. ISBN 978-0538498845.
• فولاند، جيرالد. "المشتقات والتقريب الخطي" (PDF) .