مجموع المشتقات

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( يوليو 2013 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

Part of a series of articles about
Calculus
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Fundamental theorem Limits Continuity Rolle's theorem Mean value theorem Inverse function theorem
Differential Definitions Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

في الرياضيات ، المشتقة الكلية لدالة f عند نقطة ما هي أفضل تقريب خطي بالقرب من هذه النقطة للدالة بالنسبة لحججها. وعلى عكس المشتقات الجزئية ، تقرب المشتقة الكلية الدالة بالنسبة لجميع حججها، وليس مجرد حجج واحدة. وفي العديد من المواقف، يكون هذا هو نفس النظر في جميع المشتقات الجزئية في وقت واحد. يُستخدم مصطلح "المشتقة الكلية" في المقام الأول عندما تكون f دالة لعدة متغيرات، لأنه عندما تكون f دالة لمتغير واحد، تكون المشتقة الكلية هي نفسها المشتقة العادية للدالة. ^{[1] : 198–203}

ليكن مجموعة جزئية مفتوحة . عندئذٍ يُقال إن الدالة قابلة للاشتقاق ( كليًا ) عند نقطة ما إذا كان هناك تحويل خطي بحيث ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

تسمى الخريطة الخطية المشتقة ( الإجمالية ) أو المشتقة ( الإجمالية ) لـ at . تشمل التدوينات الأخرى للمشتقة الإجمالية و . تكون الدالة قابلة للاشتقاق ( كليًا ) إذا كانت مشتقتها الإجمالية موجودة عند كل نقطة في مجالها. ${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D_{a}f}$${\displaystyle Df(a)}$

من الناحية المفاهيمية، يعبر تعريف المشتقة الكلية عن فكرة أن التقريب الخطي الأفضل عند النقطة . ويمكن أن يصبح هذا دقيقًا من خلال تحديد الخطأ في التقريب الخطي المحدد بواسطة . للقيام بذلك، اكتب ${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

حيث يساوي الخطأ في التقريب. لنفترض أن المشتقة لـ at تعادل العبارة ${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

حيث يكون رمز little-o ويشير إلى أن أصغر كثيرًا من as . المشتقة الكلية هي التحويل الخطي الفريد الذي يكون فيه مصطلح الخطأ صغيرًا، وهذا هو المعنى الذي يكون فيه أفضل تقريب خطي لـ . ${\displaystyle o}$${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\displaystyle \lVert h\rVert }$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$

تكون الدالة قابلة للاشتقاق إذا وفقط إذا كان كل مكون من مكوناتها قابلاً للاشتقاق، لذا عند دراسة المشتقات الكلية، غالبًا ما يكون من الممكن العمل على إحداثي واحد في كل مرة في المجال المشترك. ومع ذلك، لا ينطبق نفس الشيء على الإحداثيات في المجال. صحيح أنه إذا كانت قابلة للاشتقاق عند ، فإن كل مشتق جزئي موجود عند . والعكس ليس صحيحًا: يمكن أن يحدث أن تكون جميع المشتقات الجزئية لـ at موجودة، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند . وهذا يعني أن الدالة "خشنة" جدًا عند ، إلى حد لا يمكن وصف سلوكها بشكل كافٍ من خلال سلوكها في اتجاهات الإحداثيات. عندما ليست خشنة جدًا، لا يمكن أن يحدث هذا. وبتعبير أدق، إذا كانت جميع المشتقات الجزئية لـ at موجودة ومتصلة في جوار ، فإن قابلة للاشتقاق عند . وعندما يحدث هذا، فبالإضافة إلى ذلك، فإن المشتق الكلي لـ هو التحويل الخطي المقابل لمصفوفة جاكوبي للمشتقات الجزئية عند تلك النقطة. ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

عندما تكون الدالة قيد النظر ذات قيمة حقيقية، يمكن إعادة صياغة المشتقة الكلية باستخدام الأشكال التفاضلية . على سبيل المثال، افترض أن هي دالة قابلة للاشتقاق للمتغيرات . يمكن كتابة المشتقة الكلية لـ at من حيث مصفوفة جاكوبيان الخاصة بها، والتي في هذه الحالة هي مصفوفة صف: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

تشير خاصية التقريب الخطي للمشتقة الكلية إلى أنه إذا

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

إذا كان متجهًا صغيرًا (حيث يشير إلى النقل، بحيث يكون هذا المتجه متجهًا عموديًا)، إذن ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

من الناحية التجريبية، يشير هذا إلى أنه إذا كانت هناك زيادات لا نهائية في اتجاهات الإحداثيات، إذن ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$

في الواقع، يمكن تجهيز مفهوم اللانهائي في الصغر، والذي هو مجرد رمز هنا، ببنية رياضية واسعة النطاق. تقدم التقنيات، مثل نظرية الأشكال التفاضلية ، أوصافًا تحليلية وجبرية لأشياء مثل الزيادات اللانهائية في الصغر، . على سبيل المثال، يمكن نقشها كدالة خطية على فضاء المتجه . يقيس التقييم عند متجه في مقدار النقاط في اتجاه الإحداثيات th. المشتقة الكلية هي تركيبة خطية من الدوال الخطية وبالتالي فهي في حد ذاتها دالة خطية. يقيس التقييم مقدار النقاط في الاتجاه الذي يحدده عند ، وهذا الاتجاه هو التدرج . وجهة النظر هذه تجعل المشتقة الكلية مثالاً للمشتقة الخارجية . ${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle df_{a}(h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a}$

لنفترض الآن أن دالة ذات قيمة متجهية، أي . في هذه الحالة، تكون مكونات دوال ذات قيمة حقيقية، لذا فهي لها أشكال تفاضلية مرتبطة بها . يدمج المشتق الإجمالي هذه الأشكال في كائن واحد وبالتالي فهو مثال لشكل تفاضلي ذي قيمة متجهية . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df_{i}}$${\displaystyle df}$

تحتوي قاعدة السلسلة على بيان أنيق بشكل خاص فيما يتعلق بالمشتقات الكلية. فهي تنص على أنه بالنسبة لدالتين و ، فإن المشتقة الكلية للدالة المركبة عند تلبي ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.}$

إذا تم تحديد المشتقات الكلية لـ و باستخدام مصفوفات جاكوبيان الخاصة بها، فإن المركب على الجانب الأيمن هو ببساطة ضرب المصفوفات. هذا مفيد للغاية في التطبيقات، لأنه يجعل من الممكن حساب التبعيات التعسفية بشكل أساسي بين وسيطات الدالة المركبة. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

افترض أن f دالة لمتغيرين، x و y . إذا كان هذان المتغيران مستقلين، بحيث يكون مجال f هو ، فيمكن فهم سلوك f من حيث مشتقاتها الجزئية في اتجاهي x و y . ومع ذلك، في بعض المواقف، قد يكون x و y تابعين. على سبيل المثال، قد يحدث أن تكون f مقيدة بمنحنى . في هذه الحالة، نحن مهتمون بالفعل بسلوك الدالة المركبة . لا يعطي المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى x المعدل الحقيقي لتغير f بالنسبة لتغيير x لأن تغيير x يغير y بالضرورة . ومع ذلك، فإن قاعدة السلسلة للمشتقة الكلية تأخذ مثل هذه التبعيات في الاعتبار. اكتب . ثم تقول قاعدة السلسلة ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=y(x)}$${\displaystyle f(x,y(x))}$${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$

من خلال التعبير عن المشتقة الإجمالية باستخدام مصفوفات جاكوبيان، يصبح هذا:

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}$

من خلال قمع التقييم من أجل الوضوح، يمكننا أيضًا كتابة هذا على النحو التالي ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.}$

وهذا يعطي صيغة واضحة للمشتقة من حيث المشتقات الجزئية والمشتقة لـ . ${\displaystyle f(x,y(x))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y(x)}$

على سبيل المثال، افترض

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

معدل تغير f بالنسبة إلى x هو عادةً المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى x ؛ في هذه الحالة،

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

ومع ذلك، إذا كان y يعتمد على x ، فإن المشتقة الجزئية لا تعطي المعدل الحقيقي لتغير f مع تغير x لأن المشتقة الجزئية تفترض أن y ثابتة. لنفترض أننا مقيدين بالخط

${\displaystyle y=x.}$

ثم

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

والمشتقة الكلية لـ f بالنسبة إلى x هي

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

الذي نرى أنه لا يساوي المشتقة الجزئية . بدلاً من استبدال y على الفور من حيث x ، يمكننا أيضًا استخدام قاعدة السلسلة كما هو موضح أعلاه: ${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

في حين يمكن للمرء غالبًا إجراء عمليات استبدال لإزالة التبعيات غير المباشرة، فإن قاعدة السلسلة توفر تقنية أكثر كفاءة وعمومية. افترض أن دالة الوقت والمتغيرات التي تعتمد بدورها على الوقت. إذن، المشتق الزمني لـ هو ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

تعبر قاعدة السلسلة عن هذه المشتقة من حيث المشتقات الجزئية والمشتقات الزمنية للوظائف : ${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

غالبًا ما يستخدم هذا التعبير في الفيزياء لتحويل مقياس لاجرانجي ، حيث يؤدي لاجرانجيان يختلفان فقط في المشتق الزمني الكلي لدالة الزمن والإحداثيات المعممة إلى نفس معادلات الحركة. هناك مثال مثير للاهتمام يتعلق بحل السببية فيما يتعلق بنظرية ويلر-فينمان المتناظرة زمنيًا . يُطلق على العامل بين قوسين (في التعبير الأخير أعلاه) أيضًا عامل المشتق الكلي (بالنسبة إلى ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

على سبيل المثال، المشتقة الكلية لـ هي ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

لا يوجد هنا مصطلح لأنه في حد ذاته لا يعتمد على المتغير المستقل بشكل مباشر. ${\displaystyle \partial f/\partial t}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$

المعادلة التفاضلية الكلية هي معادلة تفاضلية يتم التعبير عنها من حيث المشتقات الكلية. ونظرًا لأن المشتق الخارجي خالٍ من الإحداثيات، بمعنى يمكن إعطاؤه معنى تقنيًا، فإن مثل هذه المعادلات جوهرية وهندسية .

في الاقتصاد ، من الشائع أن ينشأ المشتق الإجمالي في سياق نظام من المعادلات. ^{[1] : ص 217-220} على سبيل المثال، قد يحدد نظام العرض والطلب البسيط الكمية q من منتج مطلوب كدالة D لسعره p ودخل المستهلكين I ، حيث يكون الأخير متغيرًا خارجيًا ، وقد يحدد الكمية المعروضة من قبل المنتجين كدالة S لسعره ومتغيرين خارجيين لتكلفة الموارد r و w . نظام المعادلات الناتج

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

يحدد قيم توازن السوق للمتغيرين p و q . المشتقة الكلية لـ p بالنسبة إلى r ، على سبيل المثال، تعطي إشارة وحجم رد فعل سعر السوق على المتغير الخارجي r . في النظام المشار إليه، يوجد إجمالي ستة مشتقات كلية محتملة، تُعرف أيضًا في هذا السياق بالمشتقات الثابتة المقارنة : dp / dr و dp / dw و dp / dI و dq / dr و dq / dw و dq / dI . يتم العثور على المشتقات الكلية عن طريق التفاضل التام لنظام المعادلات، والقسمة على، على سبيل المثال dr ، ومعاملة dq / dr و dp / dr كمجهولين، وتعيين dI = dw = 0 ، وحل المعادلتين المتفاضلتين تمامًا في وقت واحد، عادةً باستخدام قاعدة كرامر . ${\displaystyle dp/dr}$

• المشتقة الاتجاهية  – معدل التغير اللحظي للدالة
• مشتقة فريشيه  – مشتقة محددة في فضاءات معيارية – تعميم المشتقة الكلية
• مشتقة الجاتوه  – تعميم لمفهوم المشتقة الاتجاهية
• تعميمات المشتقة  – البناء الأساسي لحساب التفاضل
• التدرج#المشتقة الكلية  – المشتقة المتعددة المتغيرات (رياضيات)

• AD Polyanin وVF Zaitsev، Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (الطبعة الثانية) ، Chapman & Hall/CRC Press، بوكا راتون، 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• من thesaurus.maths.org المشتقة الكلية

• وايسستين، إريك دبليو. “إجمالي المشتقات”. عالم الرياضيات .
• رونالد د. كريز (2007) تصور المشتقات الكلية للوظائف القياسية ذات البعدين باستخدام الأسطح المرتفعة والمستويات المماسية من معهد فرجينيا للتكنولوجيا