حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

انطلاقًا من مفهوم النهاية على طول مسار، يمكننا اشتقاق تعريف الاستمرارية متعددة المتغيرات بنفس الطريقة، أي: نقول بالنسبة لدالة ما:${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$الذي - التي${\displaystyle f}$تكون متصلة عند النقطة${\displaystyle x_{0}}$، إذا وفقط إذا

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})}$

5

لجميع الدوال المتصلة${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$بحيث${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$.

كما هو الحال مع الحدود، فإن الاستمرارية على طول مسار واحد${\displaystyle s(t)}$لا يعني ذلك استمرارية متعددة المتغيرات.

يمكن ملاحظة أن استمرارية كل وسيط على حدة لا تكفي لاستمرارية المتغيرات المتعددة من المثال التالي. ^{[ 1 ] : 17-19} على سبيل المثال، بالنسبة لدالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$بمعاملين حقيقيين،${\displaystyle f(x,y)}$استمرارية${\displaystyle f}$في${\displaystyle x}$للثابت${\displaystyle y}$واستمرارية${\displaystyle f}$في${\displaystyle y}$للثابت${\displaystyle x}$لا يعني ذلك استمرارية${\displaystyle f}$.

يعتبر

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{إذا}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{إذا}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{إذا}}\quad 0<x=y\\0&{\text{في أي مكان آخر}}.\end{cases}}}$

من السهل التحقق من أن هذه الدالة تساوي صفرًا بحكم تعريفها على حدود المربع وخارجه.${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$علاوة على ذلك، فإن الدوال المعرفة للثوابت${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$و${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$بواسطة

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$و${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

متصلة. تحديداً،

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$لكل قيم x و y . لذلك،${\displaystyle f(0,0)=0}$وعلاوة على ذلك، على طول محاور الإحداثيات،${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$و${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$لذلك فإن الدالة متصلة على طول كلا المتغيرين الفرديين.

ومع ذلك، ضع في اعتبارك المسار البارامتري${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$تصبح الدالة البارامترية

${\displaystyle f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

6

لذلك،

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0}$

7

ومن ثم يتضح أن الدالة ليست متعددة المتغيرات متصلة، على الرغم من كونها متصلة في كلا الإحداثيين.

• تنتقل جميع خصائص الخطية والتراكب من حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد إلى حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.
• التركيب : إذا${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$و${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$كلاهما دالتان متصلتان متعددتا المتغيرات عند النقاط${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$على التوالي، ثم${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$وهي أيضًا دالة متعددة المتغيرات متصلة عند النقطة${\displaystyle x_{0}}$.
• الضرب : إذا${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$و${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$كلاهما دالتان متصلتان عند النقطة${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$، ثم${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$متصل عند${\displaystyle x_{0}}$، و${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$وهو مستمر أيضًا عند${\displaystyle x_{0}}$بشرط أن${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$.
• لو${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$هي دالة متصلة عند النقطة${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$، ثم${\displaystyle |f|}$وهي متصلة أيضاً عند نفس النقطة.
• لو${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$تكون الدالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز (مع استخدام الفضاءات المعيارية المناسبة حسب الحاجة) في جوار النقطة${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$، ثم${\displaystyle f}$متغير متعدد المتغيرات مستمر عند${\displaystyle x_{0}}$.

دليل

من شرط استمرارية ليبشيتز لـ${\displaystyle f}$لدينا ${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|}$ 8 أين${\displaystyle K}$هو ثابت ليبشيتز. لاحظ أيضًا أنه، عندما${\displaystyle s(t)}$متصل عند${\displaystyle t_{0}}$لكل${\displaystyle \delta >0}$يوجد${\displaystyle \epsilon >0}$بحيث${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$${\displaystyle \forall |t-t_{0}|<\epsilon }$. وبالتالي، لكل${\displaystyle \alpha >0}$، يختار${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{K}}}$يوجد${\displaystyle \epsilon >0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle t}$مُرضٍ${\displaystyle |t-t_{0}|<\epsilon }$،${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$، و${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha }$. لذلك${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}$يتقارب إلى${\displaystyle f(s(t_{0}))}$بغض النظر عن الشكل الدقيق لـ${\displaystyle s(t)}$.

مشتقة دالة ذات متغير واحد تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

9

باستخدام توسيع النهايات الذي نوقش أعلاه، يمكن للمرء بعد ذلك توسيع تعريف المشتقة إلى دالة ذات قيمة عددية${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$على طول مسار ما${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}}$

10

بخلاف الحدود، التي تعتمد قيمتها على الشكل الدقيق للمسار${\displaystyle s(t)}$، يمكن إثبات أن المشتقة على طول المسار تعتمد فقط على متجه المماس للمسار عند${\displaystyle s(t_{0})}$، أي${\displaystyle s'(t_{0})}$بشرط أن${\displaystyle f}$هل ليبشيتز متصلة عند${\displaystyle s(t_{0})}$وأن الحد موجود لمسار واحد على الأقل من هذا القبيل.

دليل

ل${\displaystyle s(t)}$متصلة حتى المشتقة الأولى (هذه العبارة محددة جيدًا على النحو التالي)${\displaystyle s}$(إذا كانت دالة لمتغير واحد)، فيمكننا كتابة متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle s}$حول${\displaystyle t_{0}}$باستخدام نظرية تايلور لإنشاء الباقي: ${\displaystyle s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})}$ 11 أين${\displaystyle \tau \in [t_{0},t]}$. وباستبدال هذا في 10 ، ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}}$ 12 أين${\displaystyle \tau (h)\in [t_{0},t_{0}+h]}$. يمنحنا استمرارية ليبشيتز${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}$لبعض محدود${\displaystyle K}$،${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle |f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)}$. لاحظ أيضًا أنه بالنظر إلى استمرارية${\displaystyle s'(t)}$،${\displaystyle s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)}$مثل${\displaystyle h\to 0}$. بإدخال هذين الشرطين في المعادلة 12 ، ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}}$ 13 التي يعتمد حدها فقط على${\displaystyle s'(t_{0})}$باعتباره المصطلح المهيمن.

لذا، يمكن تعميم تعريف المشتقة الاتجاهية على النحو التالي: المشتقة الاتجاهية لدالة ذات قيمة عددية${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$على طول متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$في مرحلة ما${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$يكون

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}}$

14

أو، عند التعبير عنها بمصطلحات التفاضل العادي،

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}}$

15

وهو تعبير محدد جيداً لأن${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$هي دالة عددية ذات متغير واحد${\displaystyle t}$.

لا يمكن تعريف مشتقة قياسية فريدة بدون اتجاه؛ من الواضح على سبيل المثال أن${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$ومن الممكن أيضاً أن توجد مشتقات اتجاهية لبعض الاتجاهات ولكن ليس لغيرها.

يُعمم الاشتقاق الجزئي مفهوم الاشتقاق ليشمل أبعادًا أعلى. الاشتقاق الجزئي لدالة متعددة المتغيرات هو مشتق بالنسبة لمتغير واحد مع ثبات جميع المتغيرات الأخرى. ^{[ 1 ] : 26 وما بعدها}

يمكن اعتبار المشتق الجزئي بمثابة المشتق الاتجاهي للدالة على طول محور إحداثي.

يمكن دمج المشتقات الجزئية بطرق مثيرة للاهتمام لإنشاء تعبيرات أكثر تعقيدًا للمشتقة. في حساب المتجهات ، يُستخدم عامل دل (${\displaystyle \nabla }$يُستخدم هذا المصطلح لتعريف مفاهيم التدرج والتباعد والالتفاف بدلالة المشتقات الجزئية. ويمكن استخدام مصفوفة المشتقات الجزئية، وهي مصفوفة جاكوبي ، لتمثيل مشتقة دالة بين فضاءين ذوي أبعاد عشوائية. وبالتالي، يمكن فهم المشتقة على أنها تحويل خطي يتغير مباشرةً من نقطة إلى أخرى في مجال الدالة.

تُسمى المعادلات التفاضلية التي تحتوي على مشتقات جزئية بالمعادلات التفاضلية الجزئية . وعادةً ما يكون حل هذه المعادلات أصعب من حل المعادلات التفاضلية العادية ، التي تحتوي على مشتقات بالنسبة لمتغير واحد فقط. ^{[ 1 ] : 654 وما بعدها}

في حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد، تُرسّخ النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل صلةً بين المشتقة والتكامل. أما في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، فتتجسد هذه الصلة في نظريات التكامل في حساب المتجهات: ^{[ 1 ] : 543 وما بعدها}

• نظرية التدرج
• نظرية ستوكس
• نظرية التباعد
• نظرية غرين .

في دراسة أكثر تقدماً لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، يتضح أن هذه النظريات الأربع هي تجسيدات محددة لنظرية أكثر عمومية، وهي نظرية ستوكس المعممة ، والتي تنطبق على تكامل الأشكال التفاضلية على المشعبات . ^{[ 2 ]}