الزوج الأساسي من الفترات

في الرياضيات ، يُعرف الزوج الأساسي من الدورات بأنه زوج مرتب من الأعداد المركبة يُحدد شبكة في المستوى المركب . هذا النوع من الشبكات هو الأساس الذي تُعرّف به الدوال الإهليلجية والأشكال النمطية .

الزوج الأساسي من الدورات هو زوج من الأعداد المركبة${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$بحيث تكون نسبتهم${\displaystyle \أوميغا _{2}/\أوميغا _{1}}$ليس حقيقياً. إذا تم اعتباره كمتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$المتغيران مستقلان خطيًا . الشبكة المتولدة بواسطة${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}}$يكون

${\displaystyle \Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

يُشار إلى هذه الشبكة أحيانًا باسم${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})}$لتوضيح أن الأمر يعتمد على${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}.}$ويُشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle \Omega {\vphantom {(}}}$أو${\displaystyle \Omega (\omega _{1},\omega _{2}),}$أو ببساطة عن طريق${\displaystyle (\أوميغا _{1},\أوميغا _{2}).}$المولدان${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}}$تُسمى هذه الأشكال أساس الشبكة . متوازي الأضلاع ذو الرؤوس${\displaystyle (0,\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{2})}$يُطلق عليه اسم متوازي الأضلاع الأساسي .

بينما يقوم الزوج الأساسي بتوليد شبكة، فإن الشبكة ليس لها أي زوج أساسي فريد؛ في الواقع، يتوافق عدد لا نهائي من الأزواج الأساسية مع نفس الشبكة.

يمكن الاطلاع على عدد من العقارات المدرجة أدناه.

التكافؤ

زوجان من الأعداد المركبة${\displaystyle (\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})}$و ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$تُسمى متكافئة إذا ولّدت نفس الشبكة: أي، إذا${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\Lambda (\alpha _{1},\alpha _{2}).}$

المجموعة الأبيلية${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$يرسم المستوى المركب إلى متوازي الأضلاع الأساسي. أي أن كل نقطة${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}}$للأعداد الصحيحة${\displaystyle m,n}$بنقطة${\displaystyle p}$في متوازي الأضلاع الأساسي.

بما أن هذا التحويل يُحدد الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع على أنها متماثلة، فإن متوازي الأضلاع الأساسي له بنية طوبولوجية تشبه الطارة . وبصورة مكافئة، يُقال إن مشعب القسمة${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$هو شكل حلقي.

يُعرِّف${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$لتكون نسبة نصف الدورة . عندئذٍ، يمكن دائمًا اختيار أساس الشبكة بحيث${\displaystyle \tau }$يقع في منطقة خاصة تسمى المجال الأساسي . أو بدلاً من ذلك، يوجد دائمًا عنصر من المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$التي تربط أساس الشبكة بأساس آخر بحيث${\displaystyle \tau }$يقع في المجال الأساسي.

المجال الأساسي معطى بواسطة المجموعة${\displaystyle D,}$والتي تتكون من مجموعة${\displaystyle U}$بالإضافة إلى جزء من حدود${\displaystyle U}$:

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

أين${\displaystyle H}$هو النصف العلوي من المستوى .

المجال الأساسي${\displaystyle D}$ثم يتم بناؤه بإضافة الحد الموجود على اليسار بالإضافة إلى نصف القوس الموجود في الأسفل:

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,\operatorname {Re} (z)\leq 0\right\}.}$

ثلاث حالات ذات صلة:

• لو${\displaystyle \tau \neq i}$و${\textstyle \tau \neq e^{i\pi /3}}$إذن، يوجد قاعدتان شبكيتان فقط لهما نفس${\displaystyle \tau }$في المنطقة الأساسية:${\displaystyle (\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})}$و${\displaystyle (-\أوميغا _{1},-\أوميغا _{2}).}$
• لو${\displaystyle \tau =i}$إذن، فإن قواعد الشبكة الأربع لها نفس${\displaystyle \tau }$: الاثنان المذكوران أعلاه${\displaystyle (\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})}$،${\displaystyle (-\أوميغا _{1},-\أوميغا _{2})}$و${\displaystyle (i\omega _{1},i\omega _{2})}$،${\displaystyle (-i\omega _{1},-i\omega _{2}).}$
• لو${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}}$ثم هناك ست قواعد شبكية لها نفس${\displaystyle \tau }$:${\displaystyle (\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})}$،${\displaystyle (\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})}$،${\displaystyle (\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})}$وسلبياتها.

في إغلاق المجال الأساسي:${\displaystyle \tau =i}$و${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}.}$

• توجد عدة رموز بديلة للشبكة وللزوج الأساسي، وكثيراً ما تُستخدم بدلاً منها. انظر، على سبيل المثال، المقالات المتعلقة بالاسم ، والمعامل الإهليلجي ، وربع الدورة ، ونسبة نصف الدورة .
• منحنى إهليلجي
• شكل معياري
• سلسلة أيزنشتاين

• توم م. أبوستول ، الدوال النمطية ومتسلسلات ديريشليه في نظرية الأعداد (1990)، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. ISBN 0-387-97127-0(انظر الفصلين 1 و 2.)
• يورغن جوست، أسطح ريمان المدمجة (2002)، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. ISBN 3-540-43299-X(انظر الفصل 2.)