متوازي الأضلاع

في الهندسة الإقليدية ، متوازي الأضلاع هو شكل رباعي بسيط غير متقاطع (لا يتقاطع مع نفسه ) له زوجان من الأضلاع المتوازية . الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية في الطول، والزوايا المتقابلة متساوية في القياس. تطابق الأضلاع والزوايا المتقابلة هو نتيجة مباشرة لمسلمة التوازي الإقليدية ، ولا يمكن إثبات أي من الشرطين دون الرجوع إلى مسلمة التوازي الإقليدية أو إحدى صيغها المكافئة.

بالمقارنة، فإن الشكل الرباعي الذي يحتوي على زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية هو شبه منحرف في اللغة الإنجليزية الأمريكية أو شبه منحرف في اللغة الإنجليزية البريطانية.

الشكل ثلاثي الأبعاد المقابل لمتوازي الأضلاع هو متوازي المستطيلات .

كلمة "متوازي الأضلاع" تأتي من الكلمة اليونانية παρανηό-γραμμον، parallēló-grammon ، والتي تعني "شكل من الخطوط المتوازية".

• المستطيل – متوازي أضلاع ذو أربع زوايا قائمة.
• المعين – متوازي أضلاع له أربعة أضلاع متساوية الطول.
• المربع – متوازي أضلاع له أربعة أضلاع متساوية الطول وأربعة زوايا قائمة.
• المعين – متوازي أضلاع ذو أضلاع متجاورة غير متساوية الطول وزوايا غير قائمة (وبالتالي فهو ليس مستطيلاً ولا معيناً). لا يُستخدم هذا المصطلح في الرياضيات الحديثة، ولكنه لا يزال مستخدماً في بعض السياقات البيولوجية في أسماء مثل عضلات المعين أو أشكال أوراق المعين . ^{[ 1 ]}

يكون الشكل الرباعي البسيط (غير المتقاطع مع نفسه) متوازي أضلاع إذا وفقط إذا كانت أي من العبارات التالية صحيحة: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• زوجان من الأضلاع المتقابلة متوازيان (بحسب التعريف).
• زوجان من الأضلاع المتقابلة متساويان في الطول.
• زوجان من الزوايا المتقابلة متساويان في القياس.
• يقسم القطران بعضهما البعض إلى نصفين .
• يكون أحد أزواج الأضلاع المتقابلة متوازياً ومتساوياً في الطول.
• الزوايا المتجاورة متكاملة .
• يقسم كل قطر الشكل الرباعي إلى مثلثين متطابقين .
• مجموع مربعات الأضلاع يساوي مجموع مربعات الأقطار. (هذا هو قانون متوازي الأضلاع .)
• يتمتع بتناظر دوراني من الرتبة 2.
• إن مجموع المسافات من أي نقطة داخلية إلى الجوانب لا يعتمد على موقع تلك النقطة. ^{[ 4 ]} (هذا امتداد لنظرية فيفياني ).
• توجد نقطة X في مستوى الشكل الرباعي بحيث أن كل خط مستقيم يمر عبر X يقسم الشكل الرباعي إلى منطقتين متساويتين في المساحة. ^{[ 5 ]}

وبالتالي، فإن جميع متوازيات الأضلاع لها جميع الخصائص المذكورة أعلاه، وعلى العكس من ذلك ، إذا كانت أي واحدة من هذه العبارات صحيحة في شكل رباعي بسيط، فإنه يعتبر متوازي أضلاع.

• الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متوازية (بحسب التعريف) وبالتالي لن تتقاطع أبدًا.
• مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة المثلث الناتج عن أحد قطريه.
• مساحة متوازي الأضلاع تساوي أيضًا مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لضلعين متجاورين .
• أي خط يمر بمنتصف متوازي الأضلاع ينصف مساحته. ^{[ 6 ]}
• أي تحويل أفيني غير منحل يحول متوازي الأضلاع إلى متوازي أضلاع آخر.
• يتمتع متوازي الأضلاع بتناظر دوراني من الرتبة الثانية (بزاوية 180 درجة) (أو من الرتبة الرابعة إذا كان مربعًا). إذا كان له أيضًا محوران فقط من محاور التناظر الانعكاسي، فإنه يكون معينًا أو مستطيلًا (مستطيلًا غير مربع). أما إذا كان له أربعة محاور من محاور التناظر الانعكاسي، فهو مربع .
• محيط متوازي الأضلاع هو 2( أ + ب ) حيث أ و ب هما طولا الضلعين المتجاورين.
• على عكس أي مضلع محدب آخر، لا يمكن رسم متوازي الأضلاع داخل أي مثلث تقل مساحته عن ضعف مساحته. ^{[ 7 ]}
• مراكز أربعة مربعات تم إنشاؤها إما داخليًا أو خارجيًا على أضلاع متوازي الأضلاع هي رؤوس مربع. ^{[ 8 ]}
• إذا تم إنشاء خطين متوازيين مع أضلاع متوازي أضلاع يتقاطعان مع قطر، فإن متوازيات الأضلاع المتكونة على الجانبين المتقابلين من ذلك القطر تكون متساوية في المساحة. ^{[ 8 ]}
• تقسم أقطار متوازي الأضلاع الشكل إلى أربعة مثلثات متساوية المساحة.

تنطبق جميع صيغ حساب مساحة الأشكال الرباعية المحدبة العامة على متوازيات الأضلاع. وهناك صيغ أخرى خاصة بمتوازيات الأضلاع:

يمكن تقسيم متوازي الأضلاع ذي القاعدة b والارتفاع h إلى شبه منحرف ومثلث قائم الزاوية ، ثم إعادة ترتيبه ليصبح مستطيلاً ، كما هو موضح في الشكل على اليسار. وهذا يعني أن مساحة متوازي الأضلاع هي نفسها مساحة المستطيل الذي له نفس القاعدة والارتفاع.

${\displaystyle K=bh.}$

يمكن أيضًا اشتقاق صيغة مساحة القاعدة × الارتفاع باستخدام الشكل الموجود على اليمين. مساحة متوازي الأضلاع K على اليمين (المساحة الزرقاء) هي المساحة الكلية للمستطيل مطروحًا منها مساحة المثلثين البرتقاليين. مساحة المستطيل هي

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

ومساحة المثلث الواحد هي

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,}$

إذن، مساحة متوازي الأضلاع هي

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$

صيغة أخرى لحساب المساحة، لضلعين B و C وزاوية θ، هي

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

بافتراض أن متوازي الأضلاع هو معين، يمكن التعبير عن المساحة باستخدام الضلعين B و C والزاوية${\displaystyle \gamma }$عند تقاطع الأقطار: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

عندما يُحدد شكل متوازي الأضلاع من خلال طولي الضلعين المتجاورين B و C بالإضافة إلى طول أي من قطريه D1 ، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام صيغة هيرون . وتحديدًا _، هي

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(SB)(SC)(S-D_{1})}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(B+C+D_{1})(-B+C+D_{1})(B-C+D_{1})(B+C-D_{1})}},}$

أين${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$ويأتي العامل الرئيسي 2 من حقيقة أن القطر المختار يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.

لإثبات أن قطري متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر، سنستخدم المثلثات المتطابقة :

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$(الزوايا الداخلية المتبادلة متساوية في القياس)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$(الزوايا الداخلية المتبادلة متساوية في القياس) .

(لأن هذه زوايا يصنعها قاطع مع الخطوط المتوازية AB و DC ).

أيضًا، الضلع AB يساوي في الطول الضلع DC ، لأن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية في الطول.

لذلك، فإن المثلثين ABE و CDE متطابقان (مسلمة ASA، زاويتان متناظرتان والضلع المحصور بينهما ).

لذلك،

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

بما أن القطرين AC و BD يقسمان بعضهما البعض إلى قطع متساوية الطول، فإن القطرين ينصفان بعضهما البعض.

وبشكل منفصل، بما أن القطرين AC و BD ينصف كل منهما الآخر عند النقطة E ، فإن النقطة E هي نقطة المنتصف لكل قطر.

يمكن للمتوازيات أن تقسم المستوى عن طريق الإزاحة. إذا كانت الأضلاع متساوية، أو كانت الزوايا قائمة، فإن تناظر الشبكة يكون أعلى. هذه تمثل شبكات برافي الأربع في بعدين .

الشبكات

استمارة	مربع	المستطيل	معين	معيني
نظام	مربع (رباعي الأضلاع)	مستطيل (معيني قائم)	مستطيل مركزي (معيني قائم)	مائل (أحادي الميل)
قيود	α=90°، a=b	α=90°	أ = ب	لا أحد
التناظر	p4m، [4،4]، رتبة 8 ن	pmm، [∞،2،∞]، رتبة 4 ن		p1، [∞ + ،2،∞ + ]، الرتبة 2 ن
استمارة

• متوازي الأضلاع ، تعميم يشمل الأشكال السداسية بالإضافة إلى الأشكال الرباعية
• zonogon ، تعميم للمضلعات ذات أي عدد زوجي من الأضلاع
• متوازي الأضلاع المضاد
• متوازي أضلاع ليفي-تشيفيتا

• متوازي الأضلاع والمعين - دورة متحركة (الإنشاء، المحيط، المساحة)
• وايسشتاين، إريك دبليو. "متوازي الأضلاع" . عالم الرياضيات .
• متوازي الأضلاع التفاعلي - الأضلاع والزوايا والميل
• مساحة متوازي الأضلاع عند نقطة قطع العقدة
• المثلثات متساوية الأضلاع على أضلاع متوازي الأضلاع عند قطع العقدة
• تعريف وخصائص متوازي الأضلاع مع تطبيق متحرك
• تطبيق تفاعلي يعرض حساب مساحة متوازي الأضلاع