المجال الأساسي

بفرض وجود فضاء طوبولوجي ومجموعة تؤثر عليه، فإن صور نقطة واحدة تحت تأثير المجموعة تُشكّل مدارًا لهذا التأثير. المجال الأساسي أو المنطقة الأساسية هي مجموعة جزئية من الفضاء تحتوي على نقطة واحدة فقط من كل مدار من هذه المدارات. وهي بمثابة تمثيل هندسي لمجموعة مجردة من ممثلي هذه المدارات.

توجد طرق عديدة لاختيار المجال الأساسي. عادةً، يُشترط أن يكون المجال الأساسي مجموعة فرعية متصلة مع بعض القيود على حدودها، كأن تكون ملساء أو متعددة الأوجه. ثم تُغطي صور المجال الأساسي المُختار، تحت تأثير المجموعة، الفضاء. ومن الطرق الشائعة لإنشاء المجالات الأساسية استخدام خلايا فورونوي .

بالنظر إلى تأثير مجموعة G على فضاء طوبولوجي X بواسطة التشاكلات ، فإن المجال الأساسي لهذا التأثير هو مجموعة D من ممثلي المدارات. يُشترط عادةً أن تكون مجموعة جيدة طوبولوجيًا، بإحدى الطرق المحددة بدقة. أحد الشروط النموذجية هو أن تكون D مجموعة مفتوحة تقريبًا ، بمعنى أن D هي الفرق المتناظر بين مجموعة مفتوحة في X ومجموعة قياسها صفر ، وذلك لمقياس (شبه) ثابت معين على X. يحتوي المجال الأساسي دائمًا على مجموعة منتظمة حرة U ، وهي مجموعة مفتوحة تُنقل بواسطة G إلى نسخ منفصلة ، ​​وتُعدّ جيدة تقريبًا مثل D في تمثيل المدارات. غالبًا ما يُشترط أن تكون D مجموعة كاملة من ممثلي المشاركات مع بعض التكرارات، ولكن الجزء المُكرر قياسه صفر. هذه حالة نموذجية في نظرية الإرجودية . إذا استُخدم مجال أساسي لحساب تكامل على X / G ، فإن مجموعات القياس الصفري لا تُؤثر.

على سبيل المثال، عندما يكون X هو الفضاء الإقليدي Rⁿ ذو البعد n ^، و G هي الشبكة Zⁿ المؤثرة عليه بالإزاحات، فإن حاصل قسمة X على G هو الطارة n- البُعدية . يمكن اعتبار المجال الأساسي D ^هنا هو [0,1] ^ⁿ ، والذي يختلف عن المجموعة المفتوحة (0,1) ^ⁿ بمجموعة قياسها صفر، أو المكعب المغلق [0,1] ^ⁿ ، الذي تتكون حدوده من النقاط التي يمثل مدارها أكثر من نقطة واحدة في D.

أمثلة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R ³ .

• بالنسبة للدوران ذي n نقطة: يكون المدار إما مجموعة من n نقطة حول المحور، أو نقطة واحدة على المحور؛ المجال الأساسي هو قطاع
• بالنسبة للانعكاس في مستوى: يكون المدار إما مجموعة من نقطتين، واحدة على كل جانب من المستوى، أو نقطة واحدة في المستوى؛ والمجال الأساسي هو نصف فضاء محصور بذلك المستوى.
• بالنسبة للانعكاس حول نقطة: المدار هو مجموعة من نقطتين، واحدة على كل جانب من المركز، باستثناء مدار واحد يتكون من المركز فقط؛ المجال الأساسي هو نصف فضاء محدد بأي مستوى يمر عبر المركز
• للدوران بزاوية 180 درجة حول خط مستقيم: يكون المدار إما مجموعة من نقطتين متقابلتين بالنسبة للمحور، أو نقطة واحدة على المحور؛ والمجال الأساسي هو نصف فضاء محصور بأي مستوى يمر عبر الخط.
• بالنسبة للتناظر الانتقالي المنفصل في اتجاه واحد: المدارات هي انتقالات لشبكة أحادية البعد في اتجاه متجه الانتقال؛ المجال الأساسي عبارة عن لوح لانهائي
• للتناظر الانتقالي المنفصل في اتجاهين: المدارات هي انتقالات لشبكة ثنائية الأبعاد في المستوى المار عبر متجهات الانتقال؛ المجال الأساسي عبارة عن قضيب لانهائي ذي مقطع عرضي متوازي الأضلاع
• بالنسبة للتناظر الانتقالي المنفصل في ثلاثة اتجاهات: المدارات هي انتقالات للشبكة؛ المجال الأساسي هو خلية بدائية وهي على سبيل المثال متوازي مستطيلات ، أو خلية ويغنر-سيتز ، وتسمى أيضًا خلية/مخطط فورونوي .

في حالة التناظر الانتقالي المقترن بتناظرات أخرى، يكون المجال الأساسي جزءًا من الخلية الأولية. على سبيل المثال، بالنسبة لمجموعات ورق الجدران، يكون المجال الأساسي أصغر من الخلية الأولية بمعامل 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 6 أو 8 أو 12.

يوضح الرسم التخطيطي الموجود على اليمين جزءًا من بناء المجال الأساسي لتأثير المجموعة النمطية Γ على النصف العلوي من المستوى H.

يظهر هذا الرسم التخطيطي الشهير في جميع الكتب الكلاسيكية حول الدوال النمطية . (ربما كان معروفًا جيدًا لـ CF Gauss ، الذي تناول المجالات الأساسية في إطار نظرية اختزال الأشكال التربيعية ). هنا، كل منطقة مثلثة (محصورة بالخطوط الزرقاء) هي مجموعة منتظمة حرة لتأثير Γ على H. الحدود (الخطوط الزرقاء) ليست جزءًا من المجموعات المنتظمة الحرة. لإنشاء مجال أساسي لـ H /Γ، يجب أيضًا مراعاة كيفية تعيين النقاط على الحدود، مع الحرص على عدم احتساب هذه النقاط مرتين. وبالتالي، فإن المجموعة المنتظمة الحرة في هذا المثال هي

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

يتم بناء المجال الأساسي عن طريق إضافة الحد الموجود على اليسار بالإضافة إلى نصف القوس الموجود في الأسفل بما في ذلك النقطة الموجودة في المنتصف:

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,{\mbox{Re}}(z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,-{\tfrac {1}{2}}<{\mbox{Re}}(z)\leq 0\right\}.}$

إن اختيار نقاط الحدود التي يجب تضمينها كجزء من المجال الأساسي هو أمر تعسفي، ويختلف من مؤلف لآخر.

إن الصعوبة الأساسية في تحديد المجال الأساسي لا تكمن في تعريف المجموعة بحد ذاتها ، بل في كيفية التعامل مع التكاملات على المجال الأساسي، عند تكامل الدوال ذات الأقطاب والأصفار على حدود المجال.

• مجموعة عادية مجانية
• المضلع الأساسي
• منطقة بريلوين
• الزوج الأساسي من الفترات
• المنتج الداخلي لبيترسون
• حي كاسب

• وايسستين، إريك دبليو. “المجال الأساسي” . عالم الرياضيات .