مجموعة الطاقة

في الرياضيات ، تُعرف مجموعة القوى (أو مجموعة القوى ) لمجموعة S $بأنها$ مجموعة جميع المجموعات الجزئية من $S$ ، بما في ذلك المجموعة الفارغة و $S$ نفسها. ^{[ 1 ]} في نظرية المجموعات البديهية (كما طُورت، على سبيل المثال، في بديهيات ZFC )، يُفترض وجود مجموعة القوى لأي مجموعة من خلال بديهية مجموعة القوى . ^{[ 2 ]} يُرمز لمجموعة القوى لـ $S برموز مختلفة مثل$ $P (S)$ ، $و𝒫 (S)$ ، و $P (S)$ . $\mathbb {P} (S)$ ، أو $2 S$ . ^{[ أ ]} أي مجموعة جزئية من $P (S)$ تسمى عائلة من المجموعات على $S$ .

مثال

إذا كانت $S$ هي المجموعة ${x, y, z}$ ، فإن جميع المجموعات الجزئية من $S$ هي

${}$ ( المجموعة الفارغة ، ويرمز لها أيضًا بـ $\varnothing$ أو $\emptyset$ )
${x}$
${y}$
${z}$
${x, y}$
${x, z}$
${y, z}$
${x, y, z}$

وبالتالي فإن مجموعة القوى لـ $S$ هي ${{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}$ . ^{[ 3 ]}

ملكيات

إذا كانت $S$ مجموعة منتهية ذات عدد $عناصر$ $يساوي$ $n$ ( $أي$ $أن$ عدد جميع عناصر المجموعة $S$ هو $n$ )، فإن عدد جميع المجموعات الجزئية من $S$ هو $|$ $P$ $($ $S$ $)$ $|$ $= 2n$ $.$ وسيتم توضيح هذه الحقيقة، بالإضافة إلى سبب استخدام الرمز $2S$ $للدلالة$ على مجموعة القوى $P$ $($ $S$ $)$ ، أدناه.

الدالة المؤشرة أو الدالة المميزة لمجموعة جزئية

A

من مجموعة

S

ذات عدد عناصر

| S | = n

هي دالة من

S

إلى المجموعة الثنائية

{0, 1}

، ويُرمز لها بـ

I <sub>A</sub> : S \to {0, 1}

، وتُشير إلى ما إذا كان عنصر من

S

ينتمي إلى

A

أم لا؛ فإذا كان

x

في

S

ينتمي إلى

A

، فإن

I<sub> A</sub> (x) = 1

، و

0

فيما عدا ذلك. تُعرَّف كل مجموعة جزئية

A

من

S

بالدالة المؤشرة

I<sub> A</sub>

أو تُكافئها ، و

{0,1} S

هي مجموعة جميع الدوال من

S

إلى

{0, 1}،

وتتألف من جميع الدوال المؤشرة لجميع المجموعات الجزئية من

S.

بعبارة أخرى،

{0, 1} S

مكافئة أو تقابلية لمجموعة القوى

P (S)

. بما أن كل عنصر في

S

يُقابل إما

0

أو

1

تحت أي دالة في

{0, 1} S

، فإن عدد جميع الدوال في

{0, 1} S

هو

2 <sup> n

</sup> . بما أن العدد

2

يُمكن تعريفه على أنه

{0، 1}

(انظر، على سبيل المثال، الأعداد الترتيبية لفون نيومان )، فإن

P

(S) يُرمز

لها أيضًا بـ

2S

. من الواضح أن

|

2S | = 2 | S |

. بشكل عام،

XY

هي

مجموعة جميع الدوال من

Y

إلى

X

،

و

| XY | = | X ||

Y

|

.

تُبيّن حجة كانتور القطرية أن مجموعة القوى لمجموعة ما (سواء كانت لانهائية أم لا) لها دائمًا عدد عناصر أكبر من المجموعة نفسها (أو بعبارة أخرى، يجب أن تكون مجموعة القوى أكبر من المجموعة الأصلية). وعلى وجه الخصوص، تُبيّن نظرية كانتور أن مجموعة القوى لمجموعة لانهائية قابلة للعد هي مجموعة لانهائية غير قابلة للعد. ويمكن وضع مجموعة القوى لمجموعة الأعداد الطبيعية في تناظر أحادي مع مجموعة الأعداد الحقيقية (انظر: عدد عناصر المتصل ).

مجموعة القوى لمجموعة $S$ ، بالإضافة إلى عمليات الاتحاد والتقاطع والمتممة ، تُشكّل جبرًا سيجما على $S،$ ويمكن اعتبارها مثالًا نموذجيًا للجبر البولياني . في الواقع، يُمكن إثبات أن أي جبر بولياني منتهٍ متماثل مع الجبر البولياني لمجموعة القوى لمجموعة منتهية. بالنسبة للجبر البولياني غير المنتهي ، لا ينطبق هذا، ولكن يُمكن تمثيل كل جبر بولياني غير منتهٍ كجبر فرعي من جبر بولياني لمجموعة القوى (انظر نظرية تمثيل ستون ).

تشكل مجموعة القوى لمجموعة $S$ زمرة تبديلية عند النظر إليها مع عملية الفرق المتناظر (حيث تكون المجموعة الفارغة هي العنصر المحايد، وكل مجموعة هي معكوسها)، وتشكل شبه زمرة تبديلية عند النظر إليها مع عملية التقاطع (حيث تكون المجموعة $S$ بأكملها هي العنصر المحايد). ومن ثم، يمكن إثبات، من خلال إثبات قوانين التوزيع ، أن مجموعة القوى عند النظر إليها مع هاتين العمليتين تشكل حلقة منطقية .

تمثيل المجموعات الجزئية كدوال

في نظرية المجموعات ، يُرمز إلى مجموعة جميع الدوال من $Y$ إلى $X$ $بالرمز$ $XY$ . وبما أن العدد $2$ يُعرَّف بأنه ${0, 1}$ (انظر، على سبيل المثال، ترتيبات فون نيومان )، فإن $2S$ (أي ${0, 1}$ $S$ $)$ هي مجموعة جميع الدوال من $S$ إلى ${0, 1}$ . وكما هو موضح أعلاه ، تُعتبر $2S$ ومجموعة القوى لـ $S$ ، $P$ $($ $S$ $) ، متطابقتين$ $من$ الناحية النظرية للمجموعات.

يمكن تطبيق هذا التكافؤ على المثال أعلاه ، حيث $S = {x, y, z}$ ، للحصول على التماثل مع التمثيلات الثنائية للأعداد من 0 إلى $2n$ $- 1$ ، حيث $n$ هو عدد عناصر المجموعة $S$ أو $| S | = n$ . أولًا، تُعرَّف المجموعة المعدودة ${(x, 1), (y, 2), (z, 3) }،$ حيث يُمثل الرقم في كل زوج مرتب موضع العنصر المقابل له في $S$ ضمن سلسلة من الأرقام الثنائية مثل ${x, y} = 011 (2)$ ؛ يقع $x$ في $S في الموضع الأول من اليمين في هذه السلسلة، ويقع$ $y$ في الموضع الثاني من اليمين، ويعني الرقم 1 في السلسلة أن العنصر المقابل له في $S موجود في المجموعة الجزئية من$ $S$ لهذه السلسلة، بينما يعني الرقم 0 أنه غير موجود.

بالنسبة لمجموعة القوى الكاملة لـ $S$ ، نحصل على:

عناصر $P (S)$ حيث $S = {x, y, z}$
مجموعة فرعية	سلسلة من الأرقام الثنائية	التفسير الثنائي	المكافئ العشري
${ }$	$0, 0, 0$	$000 (2)$	$0 (10)$
${x}$	$0، 0، 1$	$001 (2)$	$1 (10)$
${y}$	$0، 1، 0$	$010 (2)$	$2 (10)$
${x, y}$	$0، 1، 1$	$011 (2)$	$3 (10)$
${z}$	$1، 0، 0$	$100 (2)$	$4 (10)$
${x, z}$	$1، 0، 1$	$101 (2)$	$5 (10)$
${y, z}$	$1، 1، 0$	$110 (2)$	$6 (10)$
${x, y, z}$	$1، 1، 1$	$111 (2)$	$7 (10)$

إنّ هذا النوع من التطبيقات الأحادية من $P (S)$ إلى الأعداد الصحيحة هو تطبيق اعتباطي، لذا فإنّ هذا التمثيل لجميع المجموعات الجزئية من $S$ ليس فريدًا، ولكن ترتيب فرز المجموعة المعدودة لا يُغيّر عدد عناصرها. (على سبيل المثال، يمكن استخدام ${(y, 1), (z, 2), (x, 3)}$ لإنشاء تطبيق أحادي آخر من $P (S)$ إلى الأعداد الصحيحة دون تغيير عدد التطابقات الأحادية).

مع ذلك، لا يمكن تمثيل المجموعة $S$ تمثيلاً ثنائياً محدوداً إلا إذا أمكن تعداد عناصرها. (في هذا المثال، يتم تعداد $x$ و $y$ و $z$ $حيث تمثل 1$ و $2$ و $3$ على التوالي مواقع تسلسلات الأرقام الثنائية). ويكون التعداد ممكناً حتى لو كانت $S$ ذات عدد عناصر لانهائي (أي أن عدد عناصرها $لانهائي$ )، كما هو الحال في مجموعة الأعداد الصحيحة أو النسبية، ولكنه غير ممكن مثلاً إذا كانت $S$ هي مجموعة الأعداد الحقيقية، حيث لا يمكننا في هذه الحالة تعداد جميع الأعداد غير النسبية.

العلاقة بنظرية ذات الحدين

ترتبط نظرية ذات الحدين ارتباطًا وثيقًا بمجموعة القوى. إنّ التوليفة المكونة من $k$ عنصرًا من مجموعة ما هي اسم آخر لمجموعة جزئية مكونة $من k$ عنصرًا، لذا فإنّ عدد التوليفات ، الذي يُرمز له بـ $C(n, k)$ (ويُسمى أيضًا معامل ذات الحدين )، هو عدد المجموعات الجزئية التي تحتوي على $k$ عنصرًا في مجموعة تحتوي على $n$ عنصرًا؛ بعبارة أخرى، هو عدد المجموعات التي تحتوي على $k$ عنصرًا والتي تُمثّل عناصر من مجموعة القوى لمجموعة تحتوي على $n$ عنصرًا.

على سبيل المثال، مجموعة القوى لمجموعة مكونة من ثلاثة عناصر، تحتوي على:

$C(3, 0) = 1$ مجموعة جزئية تحتوي على $0$ عناصر (المجموعة الجزئية الفارغة)،
$C(3, 1) = 3$ مجموعات جزئية تحتوي على عنصر $واحد$ (المجموعات الجزئية المفردة)،
$C(3, 2) = 3$ مجموعات جزئية تحتوي على $عنصرين$ (مكملات المجموعات الجزئية المفردة)،
$C(3, 3) =$ مجموعة جزئية واحدة تحتوي على $3$ عناصر (المجموعة الأصلية نفسها).

باستخدام هذه العلاقة، يمكننا حساب $| 2 S |$ باستخدام الصيغة التالية: $\left|2^{S}\right|=\sum _{k=0}^{|S|}{\binom {|S|}{k}}$

لذلك، يمكن استنتاج المتطابقة التالية، بافتراض أن $| S | = n$ : $\left|2^{S}\right|=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}$

التعريف التكراري

إذا كانت $S$ مجموعة منتهية ، فإن التعريف التكراري لـ $P (S)$ يتم على النحو التالي:

إذا كانت $S = {}$ ، فإن $P (S) = { {} }$ .
وإلا، فليكن $e \in S$ و $T = S ∖ {e}$ ؛ ثم $P (S) = P (T) \cup {t \cup {e} : t \in P (T)}$ .

بالكلمات:

مجموعة القوى للمجموعة الفارغة هي مجموعة أحادية العنصر، وعنصرها الوحيد هو المجموعة الفارغة.
بالنسبة لمجموعة غير فارغة $S$ ، ليكن $e$ ليكن أي عنصر من المجموعة و $T$ مكملها النسبي ؛ عندئذٍ تكون مجموعة القوى لـ $S$ عبارة عن اتحاد لمجموعة قوى لـ $T$ ومجموعة قوى لـ $T$ يتم توسيع كل عنصر فيها بالعنصر $e$ .

مجموعات فرعية ذات عدد محدود من العناصر

يُرمز أحيانًا إلى مجموعة المجموعات الجزئية من $S$ التي يقل $عدد$ عناصرها عن أو يساوي $κ بالرمز$ $Pκ (S)$ أو $[S] κ$ ، ويُرمز أحيانًا إلى مجموعة المجموعات الجزئية التي يقل عدد عناصرها تمامًا عن $κ بالرمز$ $P < κ (S)$ أو $[S] < κ$ $. وبالمثل$ $،$ قد يُرمز إلى مجموعة المجموعات الجزئية غير الفارغة من $S بالرمز$ $P\geq1 (S)$ أو $P⁺ (S)$ .

كائن القوة

يمكن اعتبار المجموعة جبرًا لا يحتوي على عمليات غير تافهة أو معادلات تعريفية. من هذا المنظور، فإن مفهوم مجموعة القوى لـ $X$ ، باعتبارها مجموعة جميع المجموعات الجزئية من $X$ ، يُعمم بشكل طبيعي ليشمل مجموعة جميع الجبر الجزئي لبنية جبرية أو جبر كامل. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

مجموعة القوى لمجموعة ما، عند ترتيبها حسب الاحتواء، هي دائمًا جبر بولياني ذري كامل، وكل جبر بولياني ذري كامل ينشأ كشبكة لجميع المجموعات الجزئية لمجموعة ما. والتعميم على الجبر العشوائي هو أن مجموعة الجبر الجزئي لجبر ما، مرتبة أيضًا حسب الاحتواء، هي دائمًا شبكة جبرية ، وكل شبكة جبرية تنشأ كشبكة للجبر الجزئي لجبر ما. ^{[ 6 ]} لذا، في هذا الصدد، تتصرف الجبر الجزئية بشكل مشابه للمجموعات الجزئية.

مع ذلك، توجد خاصيتان مهمتان للمجموعات الجزئية لا تنطبقان على الجبر الجزئي عمومًا. أولًا، على الرغم من أن المجموعات الجزئية لمجموعة ما تُشكّل مجموعة (وكذلك شبكة)، إلا أنه في بعض الفئات قد لا يكون من الممكن تنظيم الجبر الجزئي لجبر ما كجبر في تلك الفئة نفسها، مع أنه يمكن دائمًا تنظيمها كشبكة. ثانيًا، في حين أن المجموعات الجزئية لمجموعة ما تكون تقابلية مع الدوال من تلك المجموعة إلى المجموعة ${0, 1} = 2$ ، فليس هناك ما يضمن أن فئة من الجبر تحتوي على جبر يمكنه أن يؤدي دور $2$ بهذه الطريقة.

تتمتع بعض فئات الجبر بهاتين الخاصيتين. الخاصية الأولى أكثر شيوعًا، أما امتلاك كلتيهما فهو نادر نسبيًا. ومن الفئات التي تمتلك كلتيهما فئة الرسوم البيانية المتعددة . بفرض وجود رسمين بيانيين متعددين $G$ و $H$ ، فإن التشاكل $h : G \to H$ يتكون من دالتين، إحداهما تربط الرؤوس ببعضها والأخرى تربط الحواف ببعضها. ويمكن تنظيم مجموعة $H G$ للتشاكلات من $G$ إلى $H$ على أنها الرسم البياني الذي تكون رؤوسه وحوافه على التوالي هي دوال الرؤوس والحواف الظاهرة في تلك المجموعة. علاوة على ذلك، فإن الرسوم البيانية الجزئية للرسم البياني المتعدد $G$ تكون تقابلية مع تشاكلات الرسوم البيانية من $G$ إلى الرسم البياني المتعدد $Ω،$ والذي يمكن تعريفه على أنه الرسم البياني الموجه الكامل على رأسين (وبالتالي أربعة حواف، وهما حلقتان ذاتيتان وحافتان إضافيتان تشكلان دورة) مضافًا إليه حافة خامسة، وهي حلقة ذاتية ثانية عند أحد الرؤوس. وبالتالي يمكننا تنظيم الرسوم البيانية الفرعية لـ G $على$ شكل الرسم البياني المتعدد $Ω G$ ، والذي يسمى كائن القوة لـ $G.$

ما يُميز الرسم البياني المتعدد كجبر هو أن عملياته أحادية. يتكون الرسم البياني المتعدد من نوعين من العناصر: مجموعة $V$ من الرؤوس ومجموعة $E$ من الحواف، وله عمليتان أحاديتان $s و t : E \to V$ تُحددان رأسي البداية والنهاية لكل حافة. يُسمى الجبر الذي تكون جميع عملياته أحادية " حزمة مسبقة" . تحتوي كل فئة من الحزم المسبقة على حزمة مسبقة $Ω$ تؤدي دور الجبر الجزئي كما يؤديه الجبر الجزئي $2$ للمجموعات الجزئية. تُعد هذه الفئة حالة خاصة من المفهوم الأعم للطوبولوجيا الأولية كفئة مغلقة (ومغلقة ديكارتية أيضًا ) ولها كائن $Ω$ يُسمى مُصنف الكائنات الفرعية . على الرغم من أن مصطلح "كائن القوة" يُستخدم أحيانًا كمرادف للكائن الأسي $Y$ $X$ ، إلا أنه في نظرية الطوبولوجيا، يُشترط أن يكون $Y$ $هو Ω$ . ^[⁷^]

الدوال والكميات

يوجد نوعان من دوال مجموعة القوى: المتغيرة والمتغيرة عكسيًا ، $P : Set \to Set$ و $P : Set op \to Set$ . تُعرَّف الدالة المتغيرة ببساطة على أنها الدالة التي تُرسل مجموعة $S$ إلى $P (S)$ وتشاكل $f : S \to T$ (وهنا، دالة بين مجموعتين) إلى تشاكل الصورة. أي، بالنسبة لـ $A = {x1, x2, ...} \in P (S)، فإن P f (A) = {f (x1), f (x2), ...} \in P (T)$ . في موضع آخر من هذه المقالة، عُرِّفت مجموعة القوى بأنها مجموعة الدوال التي تُحوِّل $S$ $إلى$ مجموعة تحتوي على عنصرين. رسميًا، يُعرِّف هذا تشاكلًا طبيعيًا $P ≅ Set(-,2)$ . يختلف مُؤثر مجموعة القوى المُتغاير عن نظيره المُتغاير في أنه يُرسل $f$ إلى تشاكل الصورة المُسبقة ، بحيث إذا كان $f (A) = B \subseteq T ، فإن Pf (B) = A.$ وذلك لأن المُؤثر العام $C(-, c)$ يأخذ تشاكل $h : a \to b$ إلى التركيب المُسبق بواسطة h ، وبالتالي فإن الدالة $h *: C(b, c) \to C(a, c)$ ، التي تأخذ التشاكلات من b إلى c وتحولها إلى تشاكلات من a إلى c ، مرورًا بـ b عبر h . ^{[ 8 ]}

في نظرية الفئات ونظرية الطوبولوجيا الأولية ، يمكن فهم المُكمِّم الكلي على أنه المرافق الأيمن لدالة بين مجموعات القوى، ودالة الصورة العكسية لدالة بين المجموعات؛ وبالمثل، فإن المُكمِّم الوجودي هو المرافق الأيسر . ^[⁹^]

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ يُستخدمالرمز $2S ،$ الذي يعني مجموعة جميع الدوال من $S$ إلى مجموعة معينة من عنصرين (مثل ${0، 1} )، لأن مجموعة القوى لـ$ $S$ يمكن تعريفها، أو أنها مكافئة، أو أنها تقابلية مع مجموعة جميع الدوال من $S$ إلى المجموعة المعطاة المكونة من عنصرين.^{[ 1 ]}

مراجع

1 2 وايسشتاين
↑ ديفلين 1979 ، ص 50
^ بونتامبيكار 2007 ، ص 1-2
↑ بيرغمان، جورج م. "مقدمة إلى الجبر العام والجبر الشامل" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات بجامعة كاليفورنيا، بيركلي . تاريخ الاسترجاع: 23 نوفمبر 2025 .
↑ "شبكة الجبر الفرعي" . موسوعة الرياضيات . تم الاسترجاع في 23-11-2025 .
↑ بيركوف، غاريت ؛ فرينك، أورين الابن (1948). "تمثيلات الشبكات بواسطة المجموعات" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 64 (2): 299-316 . doi : 10.1090/S0002-9947-1948-0027263-2 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
↑ ماك لين، سوندرز؛ مورديك، إيكي (1992). الحزم في الهندسة والمنطق: مقدمة أولية لنظرية التوبوس . سلسلة يونيفرسيتكست. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-97710-2.
↑ ريهل، إميلي (16 نوفمبر 2016). نظرية الفئات في السياق . منشورات كوريير دوفر. ISBN 978-0486809038.
↑ ماك لين ومورديك 1992 ، ص 58 خطأ في رقم المرجع: أهداف متعددة (2×): CITEREFMac_LaneMoerdijk1992 ( مساعدة )

فهرس

ديفلين، كيث ج. (1979). أساسيات نظرية المجموعات المعاصرة . سلسلة يونيفرسيتكست. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003 .
هالموس، بول ر. (1960). نظرية المجموعات الساذجة . سلسلة الجامعة في الرياضيات الجامعية. شركة فان نوستراند. Zbl 0087.04403 .
ماك لين، سوندرز ؛ مورديك، إيكي (1992)، الحزم في الهندسة والمنطق ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-97710-4
بونتامبيكار، أ.أ. (2007). نظرية الأوتوماتا واللغات الرسمية . منشورات تقنية. رقم ISBN 978-81-8431-193-8.
وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة القوى" . mathworld.wolfram.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2023-04-06 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-09-05 .

روابط خارجية

[3] يُستخدمالرمز $2S ،$ الذي يعني مجموعة جميع الدوال من $S$ إلى مجموعة معينة من عنصرين (مثل ${0، 1} )، لأن مجموعة القوى لـ$ $S$ يمكن تعريفها، أو أنها مكافئة، أو أنها تقابلية مع مجموعة جميع الدوال من $S$ إلى المجموعة المعطاة المكونة من عنصرين.^{[ 1 ]}

[FOOTNOTEWeisstein-1] 1 2 وايسشتاين

[FOOTNOTEDevlin197950-2] ديفلين 1979 ، ص 50

[FOOTNOTEPuntambekar20071–2-4] بونتامبيكار 2007 ، ص 1-2

[5] بيرغمان، جورج م. "مقدمة إلى الجبر العام والجبر الشامل" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات بجامعة كاليفورنيا، بيركلي . تاريخ الاسترجاع: 23 نوفمبر 2025 .

[6] "شبكة الجبر الفرعي" . موسوعة الرياضيات . تم الاسترجاع في 23-11-2025 .

[7] بيركوف، غاريت ؛ فرينك، أورين الابن (1948). "تمثيلات الشبكات بواسطة المجموعات" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 64 (2): 299-316 . doi : 10.1090/S0002-9947-1948-0027263-2 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[8] ماك لين، سوندرز؛ مورديك، إيكي (1992). الحزم في الهندسة والمنطق: مقدمة أولية لنظرية التوبوس . سلسلة يونيفرسيتكست. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-97710-2.

[9] ريهل، إميلي (16 نوفمبر 2016). نظرية الفئات في السياق . منشورات كوريير دوفر. ISBN 978-0486809038.

[FOOTNOTEMac_LaneMoerdijk199258-10] ماك لين ومورديك 1992 ، ص 58 خطأ في رقم المرجع: أهداف متعددة (2×): CITEREFMac_LaneMoerdijk1992 ( مساعدة )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ أ ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[