تكامل ليبيغ

في الرياضيات ، يمكن اعتبار تكامل دالة غير سالبة لمتغير واحد، في أبسط حالاته، المساحة المحصورة بين منحنى تلك الدالة ومحور السينات . يُعد تكامل لوبيغ ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي هنري لوبيغ ، أحد الطرق لجعل هذا المفهوم دقيقًا وتوسيعه ليشمل دوالًا أكثر عمومية.

يُعدّ تكامل لوبيغ أكثر عمومية من تكامل ريمان ، الذي حلّ محله إلى حد كبير في التحليل الرياضي منذ النصف الأول من القرن العشرين. فهو قادر على استيعاب الدوال ذات الانقطاعات التي تظهر في العديد من التطبيقات، والتي تُعتبر شاذة من منظور تكامل ريمان. كما يتمتع تكامل لوبيغ عمومًا بخصائص تحليلية أفضل. فعلى سبيل المثال، في ظل شروط بسيطة، يُمكن استبدال النهايات بتكامل لوبيغ، بينما تكون شروط القيام بذلك مع تكامل ريمان أكثر تقييدًا. علاوة على ذلك، يُمكن تعميم تكامل لوبيغ بسهولة إلى فضاءات أكثر عمومية، مثل فضاءات القياس ، كتلك التي تظهر في نظرية الاحتمالات .

يمكن أن يعني مصطلح تكامل ليبيغ إما النظرية العامة لتكامل دالة بالنسبة إلى مقياس عام ، كما قدمها ليبيغ، أو الحالة الخاصة لتكامل دالة معرفة على مجال فرعي من خط الأعداد الحقيقية بالنسبة إلى مقياس ليبيغ .

يمكن تفسير تكامل دالة حقيقية موجبة f بين الحدين a و b على أنه المساحة تحت منحنى f بين a و b . يتناسب مفهوم المساحة هذا مع بعض الدوال، وخاصة الدوال المتصلة قطاعيًا ، بما في ذلك الدوال الأولية ، مثل كثيرات الحدود . مع ذلك، لا تتوافق منحنيات دوال أخرى، مثل دالة ديريشليه ، مع مفهوم المساحة. تثير منحنيات كهذه التساؤل: "لأي فئة من الدوال يكون مفهوم 'المساحة تحت المنحنى' منطقيًا؟". للإجابة على هذا السؤال أهمية نظرية بالغة.

في إطار حركة عامة نحو الدقة في الرياضيات خلال القرن التاسع عشر، سعى علماء الرياضيات إلى إرساء أسس متينة لحساب التكامل. ويُعدّ تكامل ريمان، الذي اقترحه برنارد ريمان (1826-1866)، محاولة ناجحة إلى حد كبير لتوفير هذه الأسس. يبدأ تعريف ريمان بإنشاء سلسلة من المساحات سهلة الحساب التي تتقارب إلى تكامل دالة معينة. ويكمن نجاح هذا التعريف في أنه يُعطي الإجابة المتوقعة للعديد من المسائل التي تم حلها بالفعل، كما يُقدّم نتائج مفيدة للعديد من المسائل الأخرى.

مع ذلك، لا يتفاعل تكامل ريمان جيدًا مع حساب نهايات متتابعات الدوال، مما يجعل تحليل هذه العمليات النهائية صعبًا. وهذا مهم، على سبيل المثال، في دراسة متسلسلات فورييه ، وتحويلات فورييه ، ومواضيع أخرى. يصف تكامل لوبيغ بشكل أفضل كيفية ووقت إمكانية حساب النهايات تحت علامة التكامل (عبر نظرية التقارب الرتيب ونظرية التقارب المسيطر ).

بينما يعتبر تكامل ريمان المساحة تحت المنحنى مكونة من مستطيلات رأسية، فإن تعريف لوبيغ يأخذ في الاعتبار شرائح أفقية ليست بالضرورة مستطيلات فقط، ولذا فهو أكثر مرونة. لهذا السبب، يُتيح تعريف لوبيغ حساب التكاملات لفئة أوسع من الدوال. على سبيل المثال، دالة ديريشليه، التي تساوي 1 عندما يكون وسيطها عددًا نسبيًا و 0 فيما عدا ذلك، لها تكامل لوبيغ، ولكن ليس لها تكامل ريمان. علاوة على ذلك، فإن تكامل لوبيغ لهذه الدالة يساوي صفرًا، وهو ما يتوافق مع الحدس القائل بأنه عند اختيار عدد حقيقي عشوائيًا وبشكل منتظم من الفترة [0, 1] ، فإن احتمال اختيار عدد نسبي يجب أن يكون صفرًا.

لخص لوبيغ نهجه في الاندماج في رسالة إلى بول مونتيل :

عليّ أن أدفع مبلغًا معينًا جمعته في جيبي. أُخرج الأوراق النقدية والعملات المعدنية من جيبي وأُعطيها للدائن بالترتيب الذي وجدتها به حتى أصل إلى المبلغ الإجمالي. هذا هو تكامل ريمان. لكن يُمكنني اتباع طريقة مختلفة. بعد أن أُخرج كل النقود من جيبي، أُرتب الأوراق النقدية والعملات المعدنية وفقًا للقيم المتطابقة، ثم أدفع الأكوام المختلفة واحدة تلو الأخرى للدائن. هذا هو تكاملي.

يكمن جوهر الفكرة في إمكانية إعادة ترتيب قيم الدالة بحرية مع الحفاظ على قيمة التكامل. هذه العملية من إعادة الترتيب قادرة على تحويل دالة شاذة إلى دالة "جيدة" من وجهة نظر التكامل، وبالتالي تمكين تكامل هذه الدوال الشاذة.

تفسير بديهي

يلخص فولاند (1999) الفرق بين نهج ريمان ونهج ليبيغ على النحو التالي: "لحساب تكامل ريمان لـ f ، يتم تقسيم المجال [ a , b ] إلى فترات فرعية"، بينما في تكامل ليبيغ، "يتم في الواقع تقسيم نطاق f " .

في حساب تكامل ريمان، يُقسّم المجال إلى فترات، وتُرسم أشرطة لتتوافق مع ارتفاع الرسم البياني. تُجمع مساحات هذه الأشرطة، وهذا يُقارب التكامل، وذلك فعلياً بجمع مساحات على شكل ∫f ( x ) dx حيث f ( x ) هو ارتفاع المستطيل و dx هو عرضه.

بالنسبة لتكامل لوبيغ، يُقسّم المدى إلى فترات، وبالتالي تُقسّم المنطقة أسفل الرسم البياني إلى "شرائح" أفقية (قد لا تكون مجموعات متصلة). مساحة "شريحة" أفقية صغيرة أسفل الرسم البياني للدالة f ، بارتفاع dy ، تساوي قياس عرض الشريحة مضروبًا في dy . $${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.}$$يمكن تعريف تكامل لوبيغ بجمع مساحات هذه الشرائح الأفقية. من هذا المنظور، يكمن الاختلاف الرئيسي مع تكامل ريمان في أن "الشرائح" لم تعد مستطيلة (حاصل ضرب ديكارتي لفترتين)، بل هي حاصل ضرب ديكارتي لمجموعة قابلة للقياس مع فترة.

وظائف بسيطة

ثمة طريقة مكافئة لتقديم تكامل لوبيغ وهي استخدام ما يُسمى بالدوال البسيطة ، التي تُعمم دوال الخطوة في تكامل ريمان. لنأخذ على سبيل المثال تحديد العدد التراكمي لحالات الإصابة بفيروس كوفيد-19 من رسم بياني للحالات المُعدّلة يوميًا (على اليمين).

نهج ريمان-داربو

قسّم المجال (الفترة الزمنية) إلى فترات (ثماني فترات في المثال) وارسم أعمدة بارتفاعات تتوافق مع الرسم البياني. يُحسب العدد التراكمي بجمع حاصل ضرب عرض الفترة (المدة بالأيام) وارتفاع العمود (عدد الحالات في اليوم) على جميع الأعمدة.

نهج لوبيغ

اختر عددًا محدودًا من القيم المستهدفة (ثماني قيم في المثال) ضمن نطاق الدالة. من خلال إنشاء أعمدة بارتفاعات مساوية لهذه القيم، ولكن أسفل الدالة، فإنك بذلك تُقسّم المجال إلى العدد نفسه من المجموعات الفرعية (المجموعات الفرعية، المشار إليها بالألوان في المثال، ليست بالضرورة متصلة). هذه "دالة بسيطة"، كما هو موضح أدناه. يُحسب العدد التراكمي بجمع حاصل ضرب القياس على كل مجموعة فرعية من المجال ( إجمالي الوقت بالأيام) في ارتفاع العمود (عدد الحالات في اليوم).

تتطلب نظرية التكامل Lebesgue نظرية للمجموعات القابلة للقياس والقياسات على هذه المجموعات، بالإضافة إلى نظرية للدوال القابلة للقياس والتكاملات على هذه الدوال.

عبر وظائف بسيطة

إحدى طرق بناء تكامل لوبيغ هي استخدام ما يُسمى بالدوال البسيطة : وهي عبارة عن تراكيب خطية حقيقية محدودة من دوال المؤشر . يمكن بناء الدوال البسيطة التي تقع مباشرةً تحت دالة معينة f بتقسيم مدى f إلى عدد محدود من الطبقات. يُحدد تقاطع الرسم البياني لـ f مع طبقة ما مجموعة من الفترات في مجال f ، والتي تُعرف مجتمعةً بأنها الصورة العكسية للحد الأدنى لتلك الطبقة، تحت تأثير الدالة البسيطة. وبهذه الطريقة، يستلزم تقسيم مدى f تقسيم مجالها. يُحسب تكامل الدالة البسيطة بجمع حاصل ضرب قياس المجموعة الفرعية وصورتها تحت تأثير الدالة البسيطة (الحد الأدنى للطبقة المقابلة) على هذه المجموعات الفرعية (غير المتصلة بالضرورة) من المجال؛ وبشكل بديهي، فإن هذا الناتج هو مجموع مساحات جميع الأعمدة ذات الارتفاع نفسه. يُعرَّف تكامل دالة عامة قابلة للقياس غير سالبة بأنه قيمة عليا مناسبة للتقريبات بواسطة دوال بسيطة، وتكامل دالة قابلة للقياس (ليست بالضرورة موجبة) هو الفرق بين تكاملين لدوال قابلة للقياس غير سالبة. ^{[ 1 ]}

وظائف المؤشر

لتعيين قيمة لتكامل دالة المؤشر 1 _S لمجموعة قابلة للقياس S بما يتوافق مع المقياس المعطى μ ، فإن الخيار المعقول الوحيد هو تعيين: $${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).}$$

لاحظ أن النتيجة قد تساوي +∞ ، إلا إذا كانت μ مقياسًا محدودًا .

وظائف بسيطة

توليفة خطية محدودة من دوال المؤشر $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$ حيث تكون المعاملات a_{_k} أعدادًا حقيقية و S_{_k} مجموعات قابلة للقياس منفصلة، ​​تُسمى دالة بسيطة قابلة للقياس . نُعمم التكامل بالخطية ليشمل الدوال البسيطة القابلة للقياس غير السالبة . عندما تكون المعاملات a _{_k} موجبة، نضع $${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})}$$ سواء كان هذا المجموع محدودًا أو +∞ . يمكن كتابة دالة بسيطة بطرق مختلفة كتركيبة خطية من دوال المؤشر، لكن التكامل سيكون هو نفسه بسبب خاصية جمع القياسات.

يلزم توخي الحذر عند تعريف تكامل دالة بسيطة ذات قيم حقيقية ، لتجنب التعبير غير المعرف ∞ − ∞ : يفترض المرء أن التمثيل $${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$ إذا كان μ ( Sk ₎ < ∞ عندما k ≠ 0 ، فإن الصيغة المذكورة أعلاه لتكامل f تكون منطقية، ولا تعتمد النتيجة على التمثيل المحدد لـ f الذي يحقق الافتراضات. ^{[ 2 ]} (من المهم أن يكون التمثيل عبارة عن _توليفة خطية منتهية ، أي أن k لا تأخذ إلا عددًا محدودًا من القيم).

إذا كانت B مجموعة جزئية قابلة للقياس من E و s دالة بسيطة قابلة للقياس، فإننا نُعرّف $${\displaystyle \int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).}$$

الدوال غير السالبة

لنفترض أن f دالة قابلة للقياس وغير سالبة على E ، والتي نسمح لها بأن تأخذ القيمة +∞ ، بمعنى آخر، تأخذ f قيمًا غير سالبة في خط الأعداد الحقيقية الممتد . نُعرّف $${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}$$

علينا أن نُثبت أن هذا التكامل يتطابق مع التكامل السابق، المُعرَّف على مجموعة الدوال البسيطة، عندما تكون E قطعة مستقيمة [ a , b ] . كما يُثار التساؤل حول ما إذا كان هذا التكامل يُطابق بأي شكل من الأشكال مفهوم ريمان للتكامل. ويمكن إثبات أن الإجابة على كلا السؤالين هي نعم.

لقد عرّفنا تكامل الدالة f لأي دالة قابلة للقياس ذات قيم حقيقية موسعة غير سالبة على E. بالنسبة لبعض الدوال، يكون هذا التكامل${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$لا نهائي.

من المفيد غالبًا امتلاك متتالية معينة من الدوال البسيطة التي تُقارب تكامل ليبيغ جيدًا (على غرار مجموع ريمان). بالنسبة لدالة قابلة للقياس وغير سالبة f ، لنفترض أن s _{_n} ( x ) هي الدالة البسيطة التي قيمتها k / ²ⁿ عندما يكون k / ²ⁿ ≤ f ( x ) < ( k + 1)/ ²ⁿ ، حيث k عدد صحيح غير سالب أقل من، على سبيل المثال، 4n ^. عندئذٍ يمكن إثبات ذلك مباشرةً. $${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu }$$ وأن النهاية على الجانب الأيمن موجودة كعدد حقيقي موسع. وهذا يربط بين منهج حساب تكامل لوبيغ باستخدام الدوال البسيطة، والدافع وراء حساب تكامل لوبيغ باستخدام تجزئة المدى.

الدوال الموقعة

للتعامل مع الدوال الموقعة، نحتاج إلى بعض التعريفات الإضافية. إذا كانت f دالة قابلة للقياس على المجموعة E إلى الأعداد الحقيقية (بما في ذلك ±∞ )، فيمكننا كتابة $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{إذا كان }}f(x)>0,\\0&{\text{فيما عدا ذلك}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{إذا كان }}f(x)<0,\\0&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

لاحظ أن كلاً من f ⁺ و f- ^دالتان قابلتان للقياس وغير سالبتين. لاحظ أيضاً أن $${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

نقول إن تكامل ليبيغ للدالة القابلة للقياس f موجود ، أو مُعرَّف، إذا كان واحد على الأقل مما يلي موجودًا أو مُعرَّفًا:${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$و${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$محدود: $${\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .}$$

في هذه الحالة نحدد$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$$

لو $${\displaystyle \int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,}$$ نقول إن f قابلة للتكامل ^وفقًا لمعيار ليبيغ . أي أن f تنتمي إلى الفضاء L1 . ^{[ 3 ]}

اتضح أن هذا التعريف يعطي الخصائص المرغوبة للتكامل.

لنفترض دالة المؤشر للأعداد النسبية، 1 _Q ، والمعروفة أيضًا بدالة ديريشليه. هذه الدالة غير متصلة في أي مكان .

• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ليست قابلة للتكامل وفقًا لريمان على الفترة [ 0، 1 ] : بغض النظر عن كيفية تقسيم المجموعة [ 0، 1 ] إلى فترات جزئية، فإن كل تقسيم يحتوي على عدد نسبي واحد على الأقل وعدد غير نسبي واحد على الأقل، لأن الأعداد النسبية وغير النسبية كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية. وبالتالي، فإن مجموع داربو العلوي يساوي واحدًا، ومجموع داربو السفلي يساوي صفرًا.
• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$هي قابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ على الفترة [ 0، 1 ] باستخدام مقياس ليبيغ : في الواقع، هي دالة المؤشر للأعداد النسبية، وبالتالي، بحسب التعريف،$${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,}$$لأن Q قابل للعد .

تتمثل إحدى المشكلات التقنية في تكامل لوبيغ في أن مجال التكامل يُعرَّف على أنه مجموعة (مجموعة جزئية من فضاء القياس)، دون وجود مفهوم للاتجاه . في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، يُعرَّف التكامل بالنسبة إلى اتجاه معين. $${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.}$$ يؤدي تعميم هذا إلى أبعاد أعلى إلى تكامل الأشكال التفاضلية على المشعبات ، وإلى نظرية ستوكس باعتبارها تعميمًا للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل . في المقابل، يوفر تكامل لوبيغ تعميمًا بديلًا، حيث يُكامل على مجموعات جزئية بالنسبة إلى مقياس؛ ويمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$$ للدلالة على التكامل على مجموعة جزئية A. لمزيد من التفاصيل حول العلاقة بين هذه التعميمات، انظر الشكل التفاضلي §  العلاقة مع المقاييس . النظرية الرئيسية التي تربط هذه الأفكار هي نظرية التكامل الهومولوجي (التي تسمى أحيانًا نظرية التكامل الهندسي)، والتي رائدها جورج دي رام وهاسلر ويتني . ^{[ 8 ]}

مع ظهور متسلسلات فورييه ، نشأت العديد من المسائل التحليلية التي تتضمن التكاملات، والتي تطلب حلها المرضي تبديل عمليات النهايات وإشارات التكامل. ومع ذلك، فإن الشروط التي تكون فيها التكاملات $${\displaystyle \sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx\quad {\text{and}}\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$$ أثبتت المساواة صعوبة بالغة في إطار ريمان. توجد بعض الصعوبات التقنية الأخرى المتعلقة بتكامل ريمان، وهي مرتبطة بصعوبة حساب النهايات التي نوقشت سابقًا.

يقال إن دالتين متساويتان تقريبًا في كل مكان (${\displaystyle f\ {\stackrel {\text{ae}}{=}}\ g}$باختصار) إذا${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$هي مجموعة جزئية من مجموعة فارغة . قابلية قياس المجموعة ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$ليس مطلوباً .

تم إثبات النظريات التالية في معظم الكتب الدراسية المتعلقة بنظرية القياس وتكامل لوبيغ. ^{[ 9 ]}

• إذا كانت f و g دالتين قابلتين للقياس وغير سالبتين (ربما تأخذان القيمة +∞ ) بحيث تكون f = g تقريبًا في كل مكان، فإن$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$وبالتالي، فإن التكامل يحترم علاقة التكافؤ للمساواة في كل مكان تقريبًا.
• إذا كانت f و g دالتين بحيث f = g في كل مكان تقريبًا، فإن f قابلة للتكامل وفقًا لمعيار Lebesgue إذا وفقط إذا كانت g قابلة للتكامل وفقًا لمعيار Lebesgue، وتكون تكاملات f و g متساوية إذا كانت موجودة.
• الخطية : إذا كانت f و g دالتين قابلتين للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، وكان a و b عددين حقيقيين، فإن af + bg دالة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ.$${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$
• الرتابة : إذا كانت f ≤ g ، فإن$${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$
• نظرية التقارب الرتيب : لنفترض أن { f _k } _{k ∈ N} هي متتالية من الدوال القابلة للقياس غير السالبة بحيث$${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.}$$عندئذٍ، تكون النهاية النقطية f للدالة f _k قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ.$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$يُسمح بأن تكون قيمة أي من التكاملات لانهائية.
• مبرهنة فاتو : إذا كانت { f _k } _{k ∈ N} متتالية من الدوال القابلة للقياس غير السالبة، فإن$${\displaystyle \int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .}$$ومرة أخرى، قد تكون قيمة أي من التكاملات لانهائية.
• نظرية التقارب المسيطر : لنفترض أن { f _{_k}} ، حيث k _{∈ N،} متتالية من الدوال المركبة القابلة للقياس ذات النهاية النقطية f ، وأن هناك دالة قابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ g (أي أن g تنتمي إلى الفضاء L_¹ ) بحيث يكون | f _{_k}| ≤ g لجميع قيم k . عندئذٍ تكون f قابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ.$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

^{أثبت كافييرو [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} الشروط اللازمة والكافية لتبادل النهايات والتكاملات، معمماً بذلك أعمالاً سابقة لريناتو كاتشوبولي وفلاديمير دوبروفسكي وجايتانو فيشيرا. ^{[ 14 ]}

من الممكن اشتقاق التكامل بالنسبة إلى مقياس لوبيغ دون الاعتماد على كامل أدوات نظرية القياس. ويُعدّ تكامل دانييل أحد هذه الأساليب .

يوجد أيضًا نهج بديل لتطوير نظرية التكامل عبر أساليب التحليل الوظيفي . يوجد تكامل ريمان لأي دالة متصلة f ذات دعم مضغوط معرفة على R^ ⁿ (أو مجموعة جزئية مفتوحة ثابتة). ويمكن بناء تكاملات دوال أكثر عمومية انطلاقًا من هذه التكاملات.

ليكن C _{_c} فضاء جميع الدوال الحقيقية ذات الدعم المدمج والمتصلة في R. عرّف معيارًا على C_{_c} كما يلي: $${\displaystyle \left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.}$$

إذن، C  c  فضاء متجهي معياري (وهو فضاء متري على وجه الخصوص). جميع الفضاءات المترية لها إتمامات هاوسدورف ، لذا ليكن L 1  إتمامها. هذا الفضاء متماثل مع فضاء الدوال القابلة للتكامل وفقًا لليبيغ، بتردد الفضاء الجزئي للدوال ذات التكامل الصفري. علاوة على ذلك، فإن تكامل ريمان ∫ دالة متصلة بانتظام بالنسبة للمعيار على C c ، وهو كثيف في L 1  . بالتالي، فإن ∫ له امتداد وحيد إلى L 1  بأكمله . هذا التكامل هو تحديدًا تكامل ليبيغ.

بشكلٍ أعم، عندما يكون فضاء القياس الذي تُعرَّف عليه الدوال فضاءً طوبولوجيًا متراصًا محليًا (كما هو الحال مع الأعداد الحقيقية R )، فإن القياسات المتوافقة مع الطوبولوجيا بمعنى مناسب ( قياسات رادون ، ومنها قياس ليبيغ) يُمكن تعريف التكامل بالنسبة لها بنفس الطريقة، بدءًا من تكاملات الدوال المتصلة ذات الدعم المتراص . وبشكلٍ أدق، تُشكِّل الدوال ذات الدعم المتراص فضاءً متجهيًا يحمل طوبولوجيا طبيعية ، ويُعرَّف قياس رادون كدالة خطية متصلة على هذا الفضاء. وبالتالي، فإن قيمة القياس عند دالة ذات دعم متراص هي، بحكم التعريف، تكامل تلك الدالة. بعد ذلك، يُمكن توسيع القياس (التكامل) ليشمل دوالًا أكثر عمومية عن طريق الاتصال، ويُعرَّف قياس مجموعة ما على أنه تكامل دالة المؤشر الخاصة بها. هذا هو النهج الذي اتبعه نيكولاس بورباكي ^{[ 15 ]} وعدد من المؤلفين الآخرين. لمزيد من التفاصيل، انظر قياسات رادون .

يتمثل الهدف الرئيسي لتكامل لوبيغ في توفير مفهوم تكاملي تكون فيه نهايات التكاملات صحيحة في ظل افتراضات بسيطة. لا يوجد ما يضمن أن كل دالة قابلة للتكامل وفقًا لمفهوم لوبيغ، ولكن قد توجد تكاملات غير محددة لدوال غير قابلة للتكامل وفقًا لهذا المفهوم. ومن الأمثلة على ذلك دالة sinc . $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$ على كامل خط الأعداد الحقيقية. هذه الدالة غير قابلة للتكامل وفقًا لمقياس لوبيغ، كما هو الحال في $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .}$$ على الجانب الآخر،${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$يوجد كتكامل غير صحيح ويمكن حسابه ليكون محدودًا؛ إنه ضعف تكامل ديريشليه ويساوي π .

• للحصول على وصف غير تقني لتكامل ليبيغ، يُرجى الرجوع إلى هنري لوبيغ.
• مجموعة فارغة
• اندماج
• يقيس
• جبر سيجما
• مساحة ليبيغ
• تكامل ليبيغي-ستيلتجيس
• تكامل ريمان
• تكامل هينستوك-كورزويل

• بارتل، روبرت ج. (1995). عناصر التكامل ومقياس لوبيغ . مكتبة وايلي كلاسيكس. نيويورك: جون وايلي وأولاده. xii+179. ISBN 0-471-04222-6MR 1312157 .​ 
• باور، هاينز (2001). نظرية القياس والتكامل . دراسات دي جرويتر في الرياضيات 26. برلين: دي جرويتر. 236. ردمك 978-3-11-016719-1.
• بورباكي، نيكولاس (2004). التكامل. الجزء الأول. الفصول 1-6. ترجمة ستيرلينغ ك. بربريان عن النسخ الفرنسية الأصلية الصادرة في أعوام 1959 و1965 و1967. عناصر الرياضيات (برلين). برلين: سبرينغر-فيرلاغ. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901 . 
• دادلي، ريتشارد م. (1989). التحليل الحقيقي والاحتمالات . سلسلة وادزورث وبروكس/كول للرياضيات. باسيفيك غروف، كاليفورنيا: وادزورث وبروكس/كول للكتب والبرمجيات المتقدمة. 436 صفحة + 12 صفحة تمهيدية. ISBN 0-534-10050-3MR 0982264 .​ معالجة شاملة للغاية، خاصة لعلم الاحتمالات، مع ملاحظات جيدة ومراجع تاريخية.
• فولاند، جيرالد ب. (1999). التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها . الرياضيات البحتة والتطبيقية (نيويورك) (  الطبعة الثانية). نيويورك: جون وايلي وأولاده. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0MR 1681462 .​ 
• هالموس، بول ر. (1950). نظرية القياس . نيويورك، نيويورك: D. Van Nostrand Company, Inc.، الصفحات من  xi+304. السيد 0033869 . عرض كلاسيكي، وإن كان قديماً بعض الشيء.
• "تكامل ليبيغ" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• ليبيغ، هنري (1904)، دروس حول التكامل والبحث عن الوظائف البدائية ، باريس: غوتييه فيلار
• ليبيسج، هنري (1972). Oeuvres scientifiques (في مجلدات cinq) (بالفرنسية). جنيف: معهد الرياضيات بجامعة جنيف. ص.  405. م.ر 0389523 . 
• ليب، إليوت ؛ لوس، مايكل (2001). التحليل . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  14 (  الطبعة الثانية). الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-0821827833.
• لوميس، لين هـ. (1953). مقدمة في التحليل التوافقي المجرد . تورنتو-نيويورك-لندن: شركة دي. فان نوستراند، ص.  س+190. MR 0054173 . يتضمن عرضًا لتكامل دانييل.
• مارسدن (1974)، التحليل الكلاسيكي الابتدائي ، دبليو إتش فريمان
• مونرو، م. إ. (1953). مقدمة في القياس والتكامل . كامبريدج، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشر. الصفحات:  310+x. MR 0053186 . معالجة جيدة لنظرية التدابير الخارجية.
• رويدن، إتش إل (1988). التحليل الحقيقي (  الطبعة الثالثة). نيويورك: شركة ماكميلان للنشر. الصفحات:  xx+444. ISBN 0-02-404151-3MR 1013117 .​ 
• رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: شركة ماكجرو هيل للنشر. الصفحات:  342 صفحة + 10 صفحات تمهيدية. MR 0385023 .  يُعرف باسم "ليتل رودين" ، ويحتوي على أساسيات نظرية لوبيغ، ولكنه لا يتناول مواد مثل نظرية فوبيني .
• رودين، والتر (1966). التحليل الحقيقي والمركب . نيويورك: شركة ماكجرو هيل للنشر. الصفحات:  11+412. MR 0210528 . يُعرف باسم "رودين الكبير" . يقدم عرضًا وافيًا ودقيقًا للنظرية، وعرضًا جيدًا لنظريات ريز للتمديد. مع ذلك، يوجد خلل بسيط (في الطبعة الأولى) في برهان إحدى نظريات التمديد، والتي يُمثل اكتشافها التمرين 21 من الفصل الثاني.
• ساكس، ستانيسلاف (1937). نظرية التكامل . مونوغرافيا Matematyczne. المجلد.  7 (  الطبعة الثانية). وارسو - لفيف : GE Stechert & Co. JFM 63.0183.05 . زبل 0017.30004 .  الترجمة الإنجليزية من قبل لورانس تشيشولم يونغ ، مع ملاحظتين إضافيتين من ستيفان باناش .
• شيلوف، جي إي؛ غوريفيتش، بي إل (1977). التكامل والقياس والاشتقاق: منهج موحد. ترجمة من الروسية وتحرير ريتشارد أ. سيلفرمان . سلسلة كتب دوفر في الرياضيات المتقدمة. نيويورك: منشورات دوفر. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR 0466463 . يؤكد على التكامل دانييل .
• سيغموند شولتز، راينهارد (2008)، “هنري ليبيغ”، في تيموثي جاورز؛ يونيو بارو جرين؛ ايمري ليدر (محرران)، رفيق برينستون للرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون
• تيشل، جيرالد . مواضيع في التحليل الحقيقي والوظيفي . (ملاحظات المحاضرة).
• ويتني، هـ. (1957)، نظرية التكامل الهندسي ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد  21، برينستون، نيوجيرسي ولندن: مطبعة جامعة برينستون ومطبعة جامعة أكسفورد ، الصفحات  387+15، MR 0087148 ، Zbl 0083.28204  
• يه، جيمس (2006). التحليل الحقيقي: نظرية القياس والتكامل، الطبعة الثانية، غلاف ورقي . سنغافورة: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر المحدودة، ص  760. ISBN 978-981-256-6.