دالة لوجستية معممة

الدالة اللوجستية المعممة أو المنحنى اللوجستي المعمم هو امتداد للدالة اللوجستية أو الدالة السينية . طُوِّرت في الأصل لنمذجة النمو، وهي تسمح برسم منحنيات أكثر مرونة على شكل حرف S. تُسمى هذه الدالة أحيانًا منحنى ريتشاردز نسبةً إلى ف.  ج.  ريتشاردز ، الذي اقترح الشكل العام لمجموعة النماذج في عام 1959.

يأخذ منحنى ريتشاردز الشكل التالي:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}$

أين${\displaystyle Y}$= الوزن، والطول، والحجم، وما إلى ذلك، و${\displaystyle t}$= الوقت. له ستة معايير:

• ${\displaystyle A}$: الخط المقارب الأفقي الأيسر؛
• ${\displaystyle K}$: الخط المقارب الأفقي الأيمن عندما${\displaystyle C=1}$. لو${\displaystyle A=0}$و${\displaystyle C=1}$ثم${\displaystyle K}$يُطلق عليها القدرة الاستيعابية ؛
• ${\displaystyle B}$معدل النمو؛
• ${\displaystyle \nu >0}$ : يؤثر على المنطقة التي يحدث عندها أقصى نمو مقارب.
• ${\displaystyle Q}$: يرتبط بالقيمة${\displaystyle Y(0)}$
• ${\displaystyle C}$تأخذ عادةً قيمة 1. وإلا، فإن الخط المقارب العلوي هو${\displaystyle A+{K-A \over C^{\,1/\nu }}}$

ويمكن كتابة المعادلة أيضاً على النحو التالي:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

أين${\displaystyle M}$يمكن اعتبارها نقطة بداية، والتي عندها${\displaystyle Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}}$بما في ذلك كليهما${\displaystyle Q}$و${\displaystyle M}$قد يكون ذلك مناسباً:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

يُبسط هذا التمثيل عملية تحديد كل من وقت البدء وقيمة${\displaystyle Y}$في ذلك الوقت.

الدالة اللوجستية ، ذات معدل النمو الأقصى في الوقت${\displaystyle M}$، هو الحالة التي${\displaystyle Q=\nu =1}$.

إحدى الحالات الخاصة للدالة اللوجستية المعممة هي:

${\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}$

وهو حل معادلة ريتشاردز التفاضلية (RDE):

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}$

مع الشرط الابتدائي

${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$

أين

${\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}$

بشرط أن${\displaystyle \nu >0}$و${\displaystyle \alpha >0}$

تُعدّ المعادلة التفاضلية اللوجستية الكلاسيكية حالة خاصة من المعادلة المذكورة أعلاه، مع${\displaystyle \nu =1}$بينما يمكن استعادة منحنى جومبيرتز في الحد${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$بشرط أن:

${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$

في الواقع، بالنسبة للصغار${\displaystyle \nu }$إنها

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}$

يقوم نموذج RDE بنمذجة العديد من ظواهر النمو، التي تنشأ في مجالات مثل علم الأورام وعلم الأوبئة.

عند تقدير المعلمات من البيانات، غالباً ما يكون من الضروري حساب المشتقات الجزئية للدالة اللوجستية بالنسبة للمعلمات عند نقطة بيانات معينة.${\displaystyle t}$(انظر ^{[ 1 ]} ). في الحالة التي${\displaystyle C=1}$،

${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}$

الدوال التالية هي حالات خاصة من منحنيات ريتشاردز:

• الدالة اللوجستية
• منحنى جومبيرتز
• دالة فون بيرتالانفي
• منحنى أحادي الجزيء

• ريتشاردز، إف جيه (1959). "دالة نمو مرنة للاستخدام التجريبي". مجلة علم النبات التجريبي . 10 (2): 290-300 . doi : 10.1093/jxb/10.2.290 .
• بيلا، جيه إس؛ توملينسون، بي كيه (1969). "نموذج عام لإنتاج المخزون". نشرة لجنة التونة الاستوائية الأمريكية 13 : 421-496 .
• لي، واي سي؛ تشانغ، إس واي (2004). "خصائص ومشتقات جزئية لنموذج بيرتالانفي-ريتشاردز للنمو في مجال الغابات" . التحليل غير الخطي: النمذجة والتحكم . 9 (1): 65-73 . doi : 10.15388/NA.2004.9.1.15171 .