دالة جومبيرتز

المنحنى${\textstyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=ae^{-e^{-ct+\ln b}}}$له نفس الشكل مثل${\displaystyle f(t)=e^{-e^{-t}}}$بعد تحويل خطي .

يتم إيجاد نقطة المنتصف عن طريق حل${\textstyle f(t)=a/2}$لـ t. $${\displaystyle t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}}$$ نقطة أقصى معدل زيادة (${\textstyle 0.368a}$يتم إيجاد ) عن طريق حل${\textstyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$لـ t. $${\displaystyle t_{max}=\ln(b)/c}$$ الزيادة في${\textstyle t_{max}}$يكون $${\displaystyle \max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}}$$

يمكن اشتقاق منحنى الدالة من قانون جومبيرتز-ماكهام للوفيات ، والذي ينص على أن معدل الوفيات المطلقة (الانحلال) يتناقص أُسّيًا مع الحجم الحالي. رياضيًا،

$${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$$

أين

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$معدل النمو
• k ثابت اختياري.

يهتم علم الأحياء السكاني بشكل خاص بدالة جومبيرتز. وتُعد هذه الدالة مفيدة بشكل خاص في وصف النمو السريع لمجموعة معينة من الكائنات الحية، مع قدرتها أيضًا على تفسير التقارب الأفقي النهائي، بمجرد تحديد القدرة الاستيعابية (عدد الخلايا/السكان في مرحلة الاستقرار).

تم تصميمه على النحو التالي:

$${\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}$$

أين:

• ${\textstyle t}$حان الوقت
• ${\textstyle N_{0}}$الكثافة الأولية للخلايا
• ${\textstyle N_{I}}$هي كثافة الخلايا/السكان في الهضبة
• ${\textstyle b}$هو المعدل الأولي لنمو الورم

إن مراعاة عدد الخلايا في مرحلة الاستقرار في هذه الدالة يجعلها مفيدة في محاكاة ديناميكيات التجمعات السكانية في الواقع بدقة . كما تلتزم الدالة بالدالة السينية ، وهي الطريقة الأكثر شيوعًا لوصف نمو التجمعات السكانية. علاوة على ذلك، تستخدم الدالة معدل النمو الأولي، وهو شائع في تجمعات الخلايا البكتيرية والسرطانية، التي تمر بمرحلة النمو اللوغاريتمي وتنمو بسرعة. على الرغم من شيوع استخدام دالة معدل النمو الأولي للورم، إلا أنه يصعب تحديدها مسبقًا نظرًا لاختلاف البيئات الدقيقة الموجودة لدى المريض، أو اختلاف العوامل البيئية في حالة بيولوجيا التجمعات السكانية. ففي مرضى السرطان، تلعب عوامل مثل العمر، والنظام الغذائي، والعرق، والاستعدادات الوراثية، والتمثيل الغذائي ، ونمط الحياة، ومنشأ النقائل دورًا في تحديد معدل نمو الورم. ومن المتوقع أيضًا أن تتغير القدرة الاستيعابية بناءً على هذه العوامل، ولذا فإن وصف هذه الظواهر أمر صعب.

تُعنى الوظيفة الأيضية بشكل خاص بحساب معدل الأيض داخل الكائن الحي. ويمكن تطبيق هذه الوظيفة لمراقبة الخلايا السرطانية؛ إذ يتسم معدل الأيض بالديناميكية والمرونة العالية، مما يجعله أكثر دقة في وصف نمو السرطان. ويأخذ منحنى الأيض في الاعتبار الطاقة التي يوفرها الجسم للحفاظ على الأنسجة وتكوينها. ويمكن اعتبار هذه الطاقة بمثابة أيض، وهي تتبع نمطًا محددًا في انقسام الخلايا. ويمكن استخدام قانون حفظ الطاقة لنمذجة هذا النمو، بغض النظر عن اختلاف الكتل وأوقات النمو. وتشترك جميع الكائنات الحية في نمط نمو مماثل، ولذلك، يأخذ هذا النموذج في الاعتبار انقسام الخلايا، وهو أساس نمو الورم.

$${\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}$$

• ${\textstyle B}$= الطاقة التي يستخدمها الكائن الحي في حالة الراحة
• ${\textstyle N_{C}}$= عدد الخلايا في الكائن الحي المحدد
• ${\textstyle B_{C}}$= معدل الأيض للخلية الواحدة
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= الطاقة اللازمة للحفاظ على الأنسجة الموجودة
• ${\textstyle E_{C}}$= الطاقة اللازمة لإنشاء نسيج جديد من خلية واحدة

يُتيح التمييز بين الطاقة المُستهلكة في حالة الراحة والطاقة المُستهلكة في عملية الأيض للنموذج تحديد معدل النمو بدقة أكبر. تكون الطاقة المُستهلكة في حالة الراحة أقل من الطاقة المُستهلكة للحفاظ على النسيج، ويمثلان معًا الطاقة اللازمة للحفاظ على النسيج الموجود. يُسهم استخدام هذين العاملين، إلى جانب الطاقة اللازمة لتكوين نسيج جديد، في رسم خريطة شاملة لمعدل النمو، ويؤدي أيضًا إلى تمثيل دقيق لمرحلة التباطؤ .

في ستينيات القرن العشرين، استخدم أ. ك. ليرد ^{[ 13 ]} لأول مرة بنجاح منحنى جومبيرتز لمطابقة بيانات نمو الأورام. في الواقع، الأورام عبارة عن تجمعات خلوية تنمو في حيز محدود حيث يكون توافر العناصر الغذائية محدودًا. وباعتبار حجم الورم X(t)، فمن المفيد كتابة منحنى جومبيرتز على النحو التالي:

${\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}$

أين:

• ${\textstyle X(0)}$حجم الورم عند وقت بدء الملاحظة؛
• ${\textstyle K}$هي القدرة الاستيعابية، أي أقصى حجم يمكن الوصول إليه بالعناصر الغذائية المتاحة. في الواقع، هي:$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}$$

بشكل مستقل عن X(0)>0. لاحظ أنه في حالة عدم وجود علاجات وما إلى ذلك، عادة ما يكون X(0) < K، بينما في حالة وجود علاجات، قد يكون X(0) > K؛

• ${\textstyle \alpha }$هو ثابت مرتبط بقدرة الخلايا على التكاثر.
• ${\textstyle \log()}$يشير إلى اللوغاريتم الطبيعي .

يمكن إثبات أن ديناميكيات X(t) تخضع لمعادلة جومبيرتز التفاضلية:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

أي يكون على الشكل التالي عند تحليله:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}$$

يمثل F(X) معدل التكاثر اللحظي للخلايا، ويعود تناقصه إلى التنافس على المغذيات نتيجةً لزيادة عدد الخلايا، على غرار معدل النمو اللوجستي. مع ذلك، ثمة فرق جوهري: ففي حالة النمو اللوجستي، يكون معدل التكاثر محدودًا بالنسبة للخلايا الصغيرة.

$${\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }$$

أما في حالة جومبيرتز، فإن معدل التكاثر غير محدود:

$${\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }$$

كما لاحظ ستيل ^{[ 14 ]} وويلدون ^{[ 15 ]،} فإن معدل تكاثر الخلايا محدودٌ في نهاية المطاف بزمن انقسام الخلية . لذا، قد يكون هذا دليلاً على أن معادلة جومبيرتز غير مناسبة لنمذجة نمو الأورام الصغيرة. علاوة على ذلك، لوحظ مؤخرًا ^{[ 16 ]} أنه عند تضمين التفاعل مع الجهاز المناعي ، فإن معادلة جومبيرتز وغيرها من القوانين التي تتميز بقيمة F(0) غير محدودة، ستستبعد إمكانية المراقبة المناعية.

أظهرت الدراسة النظرية التي أجراها فورنالسكي وآخرون ^{[ 17 ]} الأساس الفيزيائي الحيوي لمنحنى جومبيرتز لنمو السرطان، باستثناء المرحلة المبكرة جدًا حيث يكون المنحنى القطعي المكافئ أكثر ملاءمة. كما وجدوا أن منحنى جومبيرتز يصف الحالة الأكثر شيوعًا ضمن مجموعة واسعة من دوال ديناميكيات السرطان.

معادلة جومبيرتز التفاضلية

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

هي الحالة الحدية للمعادلة التفاضلية اللوجستية المعممة

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}$$

(أين${\displaystyle \nu >0}$(عدد حقيقي موجب) لأن

$${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}$$.

بالإضافة إلى ذلك، توجد نقطة انعطاف في الرسم البياني للدالة اللوجستية المعممة عندما

$${\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}$$

وواحد في الرسم البياني لدالة جومبيرتز عندما

$${\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}$$.

استنادًا إلى الاعتبارات المذكورة أعلاه، اقترح ويلدون ^{[ 15 ]} نموذجًا رياضيًا لنمو الأورام، يُسمى نموذج جومب-إكس، يُعدّل قانون جومبيرتز تعديلًا طفيفًا. يفترض نموذج جومب-إكس عدم وجود تنافس على الموارد في البداية، ما يؤدي إلى تزايد عدد الخلايا وفقًا للقانون الأسي. مع ذلك، يوجد حدٌّ حرجٌ لحجم الورم.${\displaystyle X_{C}}$بحيث يكون لـ${\displaystyle X>X_{C}}$إن افتراض عدم وجود منافسة على الموارد صحيح في معظم الحالات. ومع ذلك، يمكن أن يتأثر هذا الافتراض بعوامل محددة ، مما يستلزم إنشاء متغيرات عوامل فرعية.

يتبع النمو قانون جومبيرتز:

$${\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}$$

لهذا السبب:

$${\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}$$

فيما يلي بعض التقديرات العددية ^{[ 15 ]} لـ${\displaystyle X_{C}}$:

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$لعلاج الأورام البشرية
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$لأورام الفئران​